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大学数学-课件-第一章多项式第一节


第一节 数
主要内容
前言



数域的定义 举例

一、前言
多项式是代数学中最基本的对象之一,它不 但与高次方程的讨论有关,而且在进一步学习代数以 及其他数学分支时也都会碰到. 本章就来介绍一些
有关多项式的基本知识. 在中学代数中我们学过多 项式,现在的讨论可以认为是中学所学知识的加

深,并且推广到更一般的情况.

我们知道,数是数学的一个最基本的概念. 我 们的讨论就从这里开始. 在历史上,数的概念经历 了一个长期发展的过程,大体上看,是由自然数到 整数、有理数,然后是实数,再到复数. 这个过程

反映了人们对客观世界的认识的不断深入. 中学数 学的学习也基本上反映了这样一个发展过程. 回想

一下,中学数学中数的涵义在不同的阶段实际上是
不同的,只是没有明确指出而已.

按照所研究的问题,我们常常需要明确规定所
考虑的数的范围. 譬如说,在解决一个实际问题中 列出了一个二次方程,这个方程有没有解就与未知

量所代表的对象有关,也就是与未知量所允许的取 值范围有关. 又如,任意两个整数的商不一定是整
数,这就是说,限制在整数的范围内,除法不是普

遍可以做的,而在有理数范围内,只要除数不为零,
除法总是可以做的.

因此,在数的不同的范围内同一个问题的回答
可能是不同的. 我们经常会遇到的数的范围有全体

有理数、全体实数以及全体复数,它们显然具有一
些不同的性质. 当然,它们也有很多共同的性质,

在代数中经常是将有共同性质的对象统一进行讨论.
关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数 的代数性质. 代数所研究的问题主要涉及数的代数 性质,这方面的大部分性质是有理数、实数、复数

的全体所共有的. 有时我们还会碰到一些其他的数 的范围,为了方便起见,当我们把这些数当作整体 来考虑的时候,常称它为一个数的集合 , 简称数集. 有些数集也具有与有理数、实数、复数的全体所共 有的代数性质. 为了在讨论中能够把它们统一起来 ,

我们引入一个一般的概念.

二、数域的定义
定义 1 设 P 是由一些复数组成的集合,其中
包括 0 与 1 . 如果 P 中任意两个数(这两个数也可
以相同)的和、差、积、商(除数不为零)仍然是 P 中

的数,那么 P 就称为一个数域. 显然,全体有理数组成的集合、全体实数组成 的集合、全体复数组成的集合都是数域. 这三个数 域我们分别用字母 Q, R, C 来代表. 全体整数组

成的集合就不是数域,因为不是任意两个整数的商
都是整数.

如果数的集合 P 中任意两个数作某一运算的结
果都仍在 P 中,我们就说数集 P 对这个运算是封

闭的. 因此,数域的定义也可以说成,如果一个
包含 0 , 1 在内的数集 P 对于加法、减法、乘法与 除法(除数不为 0)是封闭的,那么 P 就称为一个数 域.

下面来举一些例子.

三、举例

例 1 所有具有形式

a?b 2
的数(其中 a , b 是任何有理数),构成一个数域. 通
常用 Q( 2 ) 来表示这个数域. 显然,数集 Q( 2 ) 包含 0 与 1 并且它对加减法是封闭的. 现在证明它 对乘除法也是封闭的. 我们知道

(a ? b 2 )(c ? d 2 )
? (ac ? 2bd) ? (ad ? bc) 2 .
因为 a , b , c , d 都是有理数,所以 ac + 2bd , ad + bc 也是有理数. 这就是说乘积

(a ? b 2 )(c ? d 2 )
还在 Q( 2 ) 内, 所以 Q( 2 ) 对于乘法是封闭的.



a ?b 2 ? 0 ,

于是

a ?b 2 ? 0 ,



c ? d 2 (c ? d 2 )(a ? b 2 ) ? a ? b 2 (a ? b 2 )(a ? b 2 )
ac ? 2bd ad ? bc ? 2 ? 2 2 a ? 2b a ? 2b 2
因为 a , b , c , d 都是有理数,所以

2,

ac ? 2bd ad ? bc , 2 2 2 2 a ? 2b a ? 2b
也是有理数. 这就证明了Q( 2 ) 对除法封闭.

例 2 所有可以表成形式

a0 ? a1π ? ? ? an π m b0 ? b1π ? ? ? bn π

n

的数组成一数域,其中 n,m为任意非负整数,ai , bj ( i = 0, 1, … , n; j = 0 , 1 , … , m)是整数.

例 3 所有奇数组成的数集,对于乘法是封闭
的,但对于加、减法不是封闭的.

2 的整数倍的

全体组成一数集,它对于加、减法是封闭的,但对

于乘除法不封闭. 所以,以上两个数集都不是数域.
最后,我们指出数域的一个重要性质. 所有的 数域都包含有理数域作为它的一部分. 事实上,设 P 是一个数域,由定义,P 含有 1 . 根据 P 对于加 法的封闭性,1 + 1 = 2 , 2 + 1 = 3 , … , n + 1 = n + 1,

… 全在 P 中,换句话说,P 包含全体自然数.

又因 0 在 P 中,再由 P 对减法的封闭性,0–n= – n 也在 P 中,因而 P 包含全体整数. 任何一个有理数

都可以表成两个整数的商,由 P 对除法的封闭性即
得上述结论.

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