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数的整除性


二 数的整除性(一)
年级 一、填空题
1. 四位数“3AA1”是 9 的倍数,那么 A=_____. 2. 在“25□79 这个数的□内填上一个数字,使这个数能被 11 整除,方格内 应填_____. 3. 能同时被 2、3、5 整除的最大三位数是_____. 4. 能同时被 2、5、7 整除的最大五位数是_____. 5. 1 至 100 以内所有不能被 3 整除的数的和是_____. 6. 所有能被 3 整除的两位数的和是______. 7. 已知一个五位数□691□能被 55 整除,所有符合题意的五位数是_____. 8. 如果六位数 1992□□能被 105 整除,那么它的最后两位数是_____. 9. 42□28□是 99 的倍数,这个数除以 99 所得的商是_____. 10. 从左向右编号为 1 至 1991 号的 1991 名同学排成一行,从左向右 1 至 11 报数,报数为 11 的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右 1 至 11 报数,报数为 11 的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右 1 至 11 报数,报到 11 的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一 个人的最初编号是_____号.



姓名

得分

二、解答题
11. 173□是个四位数字.数学老师说: “我在这个□中先后填入 3 个数字, 所得到的 3 个四位数,依次可被 9、11、6 整除.”问:数学老师先后填入的 3 个 数字的和是多少? 12.在 1992 后面补上三个数字,组成一个七位数,使它们分别能被 2、3、 5、11 整除,这个七位数最小值是多少? 13.在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换 成 3 张其他票券,也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将 100 张黄油票 换成 100 张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了 1991 张票券? 14.试找出这样的最小自然数,它可被 11 整除,它的各位数字之和等于 13.

———————————————答 案——————————————————————

1. 7 已知四位数 3AA1 正好是 9 的倍数,则其各位数字之和 3+A+A+1 一定是 9 的 倍数,可能是 9 的 1 倍或 2 倍,可用试验法试之. 设 3+A+A+1=9,则 A=2.5,不合题意.再设 3+A+A+1=18,则 A=7,符合题意.事实

上,3771 ? 9=419. 2. 1 这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是 0 或是 11 的倍数,那么这个 数能被 11 整除.偶数位上数字和是 5+7=12,因而,奇数位上数字和 2+□+9 应等于 12,□内应填 12-2-9=1. 3. 990 要同时能被 2 和 5 整除,这个三位数的个位一定是 0.要能被 3 整除,又要是 最大的三位数,这个数是 990. 4. 99960 解法一: 能被 2、5 整除,个位数应为 0,其余数位上尽量取 9,用 7 去除 999 □0,可知方框内应填 6.所以,能同时被 2、5、7 整除的最大五位数是 99960. 解法二: 或者这样想,2,5,7 的最小公倍数是 70,而能被 70 整除的最小六位 是 100030.它减去 70 仍然是 70 的倍数,所以能被 2,5,7 整除的最大五位数是 100030-70=99960. 5. 3367 先求出 1~100 这 100 个数的和,再求 100 以内所有能被 3 整除的数的和,以上 二和之差就是所有不能被 3 整除的数的和. (1+2+3+?+100)-(3+6+9+12+?+99) =(1+100) ? 2 ? 100-(3+99) ? 2 ? 33 =5050-1683 =3367 6. 1665 能被 3 整除的二位数中最小的是 12,最大的是 99,所有能被 3 整除的二位数 如下: 12,15,18,21,?,96,99 这一列数共 30 个数,其和为 12+15+18+?+96+99 =(12+99) ? 30 ? 2 =1665 7. 96910 或 46915 五位数 A691B 能被 55 整除,即此五位数既能被 5 整除,又能被 11 整除.所以 B=0 或 5.当 B=0 时, A6910能被 11 整除,所以(A+9+0)-(6+1)=A+2 能被 11 整除, 因此 A=9;当 B=5 时,同样可求出 A=4.所以,所求的五位数是 96910 或 46915. 8. 90 因为 105=3 ? 5 ? 7,根据数的整除性质,可知这个六位数能同时被 3、5 和 7 整 除。 根据能被 5 整除的数的特征,可知这个六位数的个位数只能是 0 或 5 两种, 再根据能被 3 整除的数的特征,可知这个六位数有如下七个可能: 199200,199230,199260,199290,199215,199245,199275. 最后用 7 去试除知,199290 能被 7 整除. 所以,199290 能被 105 整除,它的最后两位数是 90.
[注]此题也可以这样思考:先把后面两个方框中填上 0 后的 199200 除以 105,根据余数

的大小来决定最后两个方框内应填什么. 199200 ? 105=1897?15 105-15=90 如果 199200 再加上 90,199290 便可被 105 整除,故最后两位数是 90.

9. 4316 因为 99=9 ? 11,所以 42□28□既是 9 的倍数,又是 11 的倍数.根据是 9 的倍 数的特点,这个数各位上数字的和是 9 的倍数.42□28□这个六位数中已知的四 个数的和是 4+2+2+8=16,因此空格中两个数字的和是 2 或 11.我们把右起第一、 三、五位看做奇位,那么奇位上已知两个数字的和是 2+2=4,而偶位上已知两个 数字的和是 4+8=12,再根据是 11 的倍数的特点,奇位上数字的和与偶位上数的 和之差是 0 或 11 的倍数,所以填入空格的两个数应该相差 3 或相差 8.从以上分 析可知填入的两个数字的和不可能是 2,应该是 11.显然它们的差不可能是 8,应 该是 3,符合这两个条件的数字只有 7 和 4.填入空格时要注意 7 填在偶位上,4 填 在奇位上,即原六位数是 42 7 28 4 , 427284 ? 99=4316, 又 所以所得的商是 4316. 10. 1331 第一次报数后留下的同学最初编号都是 11 倍数; 第二次报数后留下的同学最初编号都是 121 的倍数; 第三次报数后留下的同学最初编号都是 1331 的倍数. 所以最后留下的只有一位同学,他的最初编号是 1331. 11. ∵能被 9 整除的四位数的各位数字之和能被 9 整除, 1+7+3+□=11+□ ∴□内只能填 7. ∵能被 11 整除的四位数的个位与百位的数字和减去十位与千位的数字和所 得的差能被 11 整除. ∴ (7+□)-(1+3)=3+□ 能被 11 整除, ∴□内只能填 8. ∵能被 6 整除的自然数是偶数,并且数字和能被 3 整除, 而 1+7+3+□=11+□, ∴□内只能填 4. 所以,所填三个数字之和是 7+8+4=19. 12. 设补上的三个数字组成三位数 abc,由这个七位数能被 2,5 整除,说明 c=0; 由这个七位数能被 3 整除知 1+9+9+2+a+b+c=21+a+b+c 能被 11 整除,从而 a+b 能被 3 整除; 由这个七位数又能被 11 整除, 可知(1+9+a+c)-(9+2+b)=a-b-1 能被 11 整除; 由所组成的七位数应该最小,因而取 a+b=3,a-b=1,从而 a=2,b=1. 所以这个最小七位数是 1992210.
[注]小朋友通常的解法是:根据这个七位数分别能被 2,3,5,11 整除的条件,这个七位数 必定是 2,3,5,11 的公倍数,而 2,3,5,11 的最小公倍数是 2 ? 3 ? 5 ? 11=330. 这样,1992000 ? 330=6036?120,因此符合题意的七位数应是(6036+1)倍的数,即 1992000+(330-120)=1992210.

13. 不可能.由于瓦夏原有 100 张票,最后还有 100 张票,所以他作了多少次 “两换三”,那么也就作了多少次“三换两”,因此他一共出手了 2k+3k=5k 张票, 而 1991 不是 5 的倍数.

14.

显然,这样的自然数不可能为两位数,因为如果是两位数的话,则必然

具有形式 xx ,但 x ? x ? 2 x 为偶数,与它的各位数字之和等于 13 矛盾.现设求之数 为三位数 xyz .于是由题意 x ? y ? z ? 13,且由被 11 整除的判别法则知 x ? y ? z 是 11 的倍数.又由于所求之数为最小,故有 x ? y ? z =11.两式相减得 y ? 1.于是

x ? z ? 12,由于 z ? 9, 从而x ? 3 .当 x ? 3时, z ? 9 .
所以,所求的最小自然数是 319.


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