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二次函数与幂函数


第二章 函数概念与基本初等函数 I

§2.4 二次函数与幂函数

内容 索引

基础知识 自主学习

题型分类 深度剖析 思想与方法系列
思想方法 感悟提高 练出高分

基础知识 自主学习

1

知识梳理

/>1.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式
2+bx+c(a≠0) ax ①一般式:f(x)= . 2+n(a≠0) a ( x - m ) ②顶点式:f(x)= .

③零点式:f(x)= a(x-x1)(x-x2)(a≠0) . (2)二次函数的图象和性质
解析式 f(x)=ax2+bx+c(a>0) f(x)=ax2+bx+c(a<0)

图象
答案

定义域 值域 在 单调性

(-∞,+∞)
?4ac-b2 ? ? ? ,+ ∞ _____________________ ? 4a ?
? ? b ? - ∞ ,- x∈? ? ?上单 2 a ? ?

(-∞,+∞)
? 4ac-b2? ?-∞, ? _____________________ 4a ? ?



调递减; 在
? ? b ? ? - ,+ ∞ ? ? 2a ? ? x∈__________________

? ? b ? x∈ ?-∞,- ? ? 2 a ? ? _____________________

上单调递增; 在 x∈
? ? b ? ? - ,+ ∞ ? ? 2a ? ?

上单调递增 对称性

上单调递减 b 函数的图象关于 x=-2a对称

答案

2.幂函数
α (1)定义:形如 y=x (α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.

(2)幂函数的图象比较

答案

(3)幂函数的性质 ①幂函数在(0,+∞)上都有定义; ②幂函数的图象过定点(1,1); ③当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递 增; ④当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.

思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 2 4 ac - b (1)二次函数y=ax2+bx+c,x∈[a,b]的最值一定是 .( × ) 4a (2)二次函数y=ax2+bx+c,x∈R,不可能是偶函数.( × )

(3)在y=ax2+bx+c(a≠0)中,a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标
系中的开口大小.( √ )

(4)函数y=2x 是幂函数.( × )
(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.( √ ) (6)当n<0时,幂函数y=xn是定义域上的减函数.( × )
答案

1 2

2

考点自测

1.已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),则( A ) A.a>0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 解析 因为f(0)=f(4)>f(1), B.a<0,4a+b=0 D.a<0,2a+b=0

所以函数图象应开口向上,即a>0,且其对称轴为x=2,

b 即-2a=2,所以 4a+b=0,故选 A.
1 2 3 4 5
解析答案

2.已知函数 f(x)=ax2+x+5 的图象在 x 轴上方, 则 a 的取值范围是( C )
? 1? ? ? A.?0,20? ? ? ?1 ? ? ? C.?20,+∞? ? ? ? 1? ? ? B.?-∞,-20? ? ? ? ? 1 ? ? D.?-20,0? ? ?

解析

? ?a>0, 由题意知? ? ?Δ<0,

? ?a>0, 1 即? 得 a>20. ? ?1-20a<0,
1 2 3 4 5
解析答案

3.函数 y=x 的图象是( B )

1 3

解析 显然f(-x)=-f(x),说明函数是奇函数,
同时由当 0<x<1 时,x >x;
1 3

当 x>1 时,x <x,知只有 B 选项符合.
1 2 3 4 5
解析答案

1 3

4. “m = 1” 是 “ 函数 f(x) = x2 - 6mx + 6 在区间 ( - ∞ , 3]上为减函数 ” 的( B ) A.必要不充分条件 C.充分必要条件 解析 3m≥3, 即m∈[1,+∞).又{1}是[1,+∞)的真子集, 所以 “m = 1” 是 “ 函数 f(x) = x2 - 6mx + 6 在区间 ( - ∞ , 3] 上为减函数 ” 的充分不必要条件,故选B.
1 2 3 4 5
解析答案

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

函数f(x)=x2-6mx+6在区间(-∞,3]上为减函数的充要条件是

? 5.已知幂函数 y=f(x)的图象过点? ?2, ?

1 ? 2? ? 2 y = x , 则此函数的解析式为 ________ ; ? 2?

(0,+∞)上递减. 在区间________

1 2 3 4 5

解析答案

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题型分类 深度剖析

题型一

求二函数的解析式
已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是

例1

8,试确定此二次函数的解析式.

解析答案

跟踪训练1
(1)二次函数的图象过点 (0,1),对称轴为x=2,最小值为-1,则它的 1 2 f ( x ) = x - 2 x + 1 解析式是________________________. 2 解析 依题意可设f(x)=a(x-2)2-1,

又其图象过点(0,1), 1 ∴4a-1=1,∴a= . 2 1 ∴f(x)= (x-2)2-1. 2 1 2 ∴f(x)= x -2x+1. 2
解析答案

(2)若函数 f(x)=(x+ a)(bx+2a)(常数a , b∈R) 是偶函数,且它的值域为 (-∞,4],则该函数的解析式f(x)=- ________. 2x2+4 解析 由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称, ∴b=-2,∴f(x)=-2x2+2a2, 又f(x)的值域为(-∞,4], ∴2a2=4, 故f(x)=-2x2+4.

解析答案

题型二

二次函数的图象与性质

命题点1 二次函数的单调性
例2 已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6],
(1)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数;

2a 解 函数 f(x)=x +2ax+3 的图象的对称轴为 x=- 2 =-a, ∴要使f(x)在[-4,6]上为单调函数,只需-a≤-4或-a≥6,
2

解得a≥4或a≤-6. 故a的取值范围是(-∞,-6]∪[4,+∞).
解析答案

(2)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间. 解 当a=-1时,f(|x|)=x2-2|x|+3

2 2 ? x + 2 x + 3 = ? x + 1 ? +2,x≤0, ? =? 2 2 ? ?x -2x+3=?x-1? +2,x>0,

其图象如图所示. 又∵x∈[-4,6],∴f(|x|)在区间[-4,-1)和[0,1)上为减函数,在区

间[-1,0)和[1,6]上为增函数.
解析答案

命题点2 二次函数的最值
例3 已知函数 f(x) = x2 - 2x ,若 x∈[ - 2,3] ,则函 数 f(x) 的最大值为
8 ________.

解析

f(x)=(x-1)2-1,∵-2≤x≤3(如图),

∴[f(x)]max=f(-2)=8.

解析答案

已知函数f(x)=x2-2x,若x∈[-2,a],求f(x)的最小值. 解 ∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1, ∴对称轴为直线x=1, ∵x=1不一定在区间[-2,a]内, ∴应进行讨论,当-2<a≤1时,函数在[-2,a]上单调递减, 则当x=a时,y取得最小值,即ymin=a2-2a;

引申探究

当a>1时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,则当x=1 时,y取得最小值,即ymin=-1. 综上,当-2<a≤1时,ymin=a2-2a, 当a>1时,ymin=-1.
解析答案

命题点3 二次函数中的恒成立问题
(1)设函数f(x)=ax2-2x+2,对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0, ?1 ? ? ? ? ,+∞? ?2 ? 则实数a的取值范围为________. 2 2 解析 由题意得 a>x-x2对 1<x<4 恒成立, 例4
?1 1? 2 2 1 1 1 ? ?2 又x -x2=-2?x -2? +2,4< x<1, ? ?

?2 2? 1 1 ? ? ∴?x -x2?max=2,∴a>2. ? ?

解析答案

(2)已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在x∈[-1,1]上恒小于零,则实 ? 1? ? ? ?-∞, ? 2? 数a的取值范围为?________.

解析

2ax2+2x-3<0在[-1,1]上恒成立.

当x=0时,适合;

1? 3? 1 ?1 ?2 当 x≠0 时,a< ?x-3? - , 2? 6 ? 1 因为 x∈(-∞,-1]∪[1,+∞), 1 1 当 x=1 时,右边取最小值2,所以 a<2. ? 1? ? ? 综上,实数 a 的取值范围是 ?-∞,2?. ? ?
思维升华 解析答案

若二次函数f(x)=ax2+bx+c =16x且f(0)=2. (1)求函数f(x)的解析式; 解 由f(0)=2,得c=2,

(a≠0),满足f(x+2)-f(x)

跟踪训练2

所以f(x)=ax2+bx+2 (a≠0), f(x+2)-f(x)=[a(x+2)2+b(x+2)+2]-[ax2+bx+2] =4ax+4a+2b. 因为f(x+2)-f(x)=16x,所以4ax+4a+2b=16x, 解得a=4,b=-8. 所以f(x)=4x2-8x+2.
解析答案

(2)若存在x∈[1,2],使不等式f(x)>2x+m成立,求实数m的取值范围. 解 由f(x)>2x+m,

可得m<f(x)-2x=4x2-10x+2, 设g(x)=4x2-10x+2,x∈[1,2]. 则g(x)max=g(2)=-2,∴m<-2. 故实数m的取值范围是(-∞,-2).

解析答案

题型三

幂函数的图象和性质
?1 的图象过点? ? , ?2

例5 1 A. 2

(1)已知幂函数 f(x)=k· x B.1

α

2? ? ?,则 k+α 等于( C ) 2? D.2

3 C. 2
?1? ? ? ? ?= ?2?

解析

由幂函数的定义知 k=1.又 f

2 2,

?1? ?α 所以? ? ? = ?2?

2 1 3 ,解得 α= ,从而 k+α= . 2 2 2

解析答案

2 (2 m + 1) ? ( m +m- 1) ,则实数 m 的取值范围是( (2)若

1 2

1 2

)

? - 5-1? ? A.?-∞, 2 ? ?

? 5-1 ? ? B.? ,+ ∞ ? 2 ? ? 5-1 ? ? D.? , 2 ? 2 ?

C.(-1,2)

解析答案

跟踪训练3
(1)已知幂函数 f(x)的图象经过(9,3),则 f(2)-f(1)等于( C ) A.3 C. 2-1
解析

B.1- 2 D.1

设幂函数为f(x)=xα,则f(9)=9α=3,即32α=3,

1 所以 2α=1,α=2,
即 f(x)=

x

1 2

= x,

所以 f(2)-f(1)= 2-1,故选 C.
解析答案

2 [-1, ) 1) ? (3-2a) ,则实数 a 的取值范围是________. (2)若 (a+ 3
1 2 1 2

解析

易知函数 y= x 的定义域为[0, +∞), 在定义域内为增函数,

1 2

? ?a+1≥0, ? 所以?3-2a≥0, ? ? ?a+1<3-2a,

2 解之得-1≤a<3.

解析答案

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思想与方法系列

思想与方法系列

3.分类讨论思想在二次函数最值中的应用

典例

(14分)已知f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求f(x)的最小值.

思维点拨 参数a的值确定f(x)图象的形状;a≠0时,函数f(x)的图象为
抛物线,还要考虑开口方向和对称轴与所给范围的关系.

思维点拨

解析答案

温馨提醒

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思想方法 感悟提高

方法与技巧

1.二次函数的三种形式 (1)已知三个点的坐标时,宜用一般式. (2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量 时,常使用顶点式. (3) 已知二次函数与 x 轴有两个交点,且横坐标已知时,选用零点式求 f(x)更方便.

方法与技巧

2.研究二次函数的性质要注意: (1)结合图象分析; (2)含参数的二次函数,要进行分类讨论. 3.利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧 在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,转化为同指数幂, 再选择适当的函数,借助其单调性进行比较.

失误与防范

1.对于函数y=ax2+bx+c,要认为它是二次函数,就必须满足 a≠0, 当题目条件中未说明a≠0时,就要讨论a=0和a≠0两种情况. 2.幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限, 至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图象 最多能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交,则交 点一定是原点.

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1.如果函数f(x)=x2-ax-3在区间(-∞,4]上单调递减,则实数a 满足的条件是( A ) A.a≥8 B.a≤8 C.a≥4 D.a≥-4

解析

a 函数图象的对称轴为 x= , 2

a 由题意得 ≥4,解得 a≥8. 2

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2.函数f(x)=(m2- m-1)xm是幂函数,且在x∈(0,+∞)上为增函数, 则实数m的值是( B ) A.-1 C.3 解析 B.2 D.-1或2 f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数?m2-m-1=1

?m=-1或m=2.又在x∈(0,+∞)上是增函数, 所以m=2.

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3.设函数f(x)=x2+x+a(a>0),且f(m)<0,则( C ) A.f(m+1)≥0 C.f(m+1)>0 B.f(m+1)≤0 D.f(m+1)<0

解析

1 ∵f(x)的对称轴为 x=-2,f(0)=a>0,

∴f(x)的大致图象如图所示. 由f(m)<0,得-1<m<0, ∴m+1>0,∴f(m+1)>f(0)>0.
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4. 若函数 f(x) = x2 - ax - a 在区间 [0,2] 上的最大值为 1 ,则实数 a 等于 B ( ) B.1 D.-2 ∵函数f(x)=x2-ax-a的图象为开口向上的抛物线, A.-1 C.2 解析 ∴函数的最大值在区间的端点取得, ∵? f(0) =- a, f(2) 3a ? -a ≥4- 3a ,=4- a, ≤4-3a, ? ?- ∴? 或? 解得 a=1. ? ? ?-a=1, ?4-3a=1,
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5.幂函数y=x-1,y=xm与y=xn在第一象限内的图象

如图所示,则m与n的取值情况为( D )
A.-1<m<0<n<1 C.-1<m<0<n 解析 可作直线x=2, B.-1<n<0<m D.-1<n<0<m<1

观察直线x=2和各图象交点的纵坐标可知2-1<2n<20<2m<21, ∴-1<n<0<m<1.
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6.对于任意实数x,函数f(x)=(5-a)x2-6x+a+5恒为正值,则a的取值范 (-4,4) 围是________.

解析

? ?5-a>0, 由题意得? ? ?36-4?5-a??a+5?<0,

解得-4<a<4.

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7. 当 0<x<1 时,函数 f(x) = x1.1 , g(x) = x0.9 , h(x) = x - 2 的大小关系是 h(x)>g(x)>f(x) ________________. 解析 如图所示为函数f(x),g(x),h(x)在(0,1)上的图象, 由此可知,h(x)>g(x)>f(x).

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8.已知函数f(x)=x2-2ax+2a+4的定义域为R,值域为[1,+∞),则a的
-1或3 值为________.

解析

由于函数f(x)的值域为[1,+∞),

所以f(x)min=1.

又f(x)=(x-a)2-a2+2a+4,
当x∈R时,f(x)min=f(a)=-a2+2a+4=1,

即a2-2a-3=0,
解得a=3或a=-1.
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9.已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数,a≠0,x∈R). (1)若函数f(x)的图象过点(-2,1),且方程f(x)=0有且只有一个根,求f(x) 的表达式; 解 因为f(-2)=1, 即4a-2b+1=1,所以b=2a. 因为方程f(x)=0有且只有一个根, 所以Δ=b2-4a=0. 所以4a2-4a=0,所以a=1,所以b=2. 所以f(x)=x2+2x+1.
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(2)在(1)的条件下,当x∈[-1,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的 取值范围. 解 g(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx=x2-(k-2)x+1
2

? ?k-2? k-2?2 ? +1- =?x- . 4 2 ? ?

由g(x)的图象知:要满足题意,

k-2 k-2 则 2 ≥2 或 2 ≤-1,即 k≥6 或 k≤0,
所以所求实数k的取值范围为(-∞,0]∪[6,+∞).
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10.已知函数f(x) =x2 +ax+3 -a ,若x∈[ -2,2]时,f(x)≥0恒成立,求a 的取值范围.

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11.已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3),x1<x2,x1+x2=1-a,则( B ) A.f(x1)=f(x2) B.f(x1)<f(x2) C.f(x1)>f(x2) D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定

x1+x2 解析 函数的对称轴为 x=-1,设 x0= , 2 1-a 1 由 0<a<3 得到-1< < . 2 2 又x1<x2,用单调性和离对称轴的远近作判断得f(x1)<f(x2).
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-∞,1) 12.已知幂函数f(x)=xα,当x>1时,恒有f(x)<x,则α的取值范围是( ________.
解析 当x>1时,恒有f(x)<x, 即当x>1时,函数f(x)=xα的图象在y=x的图象的下方, 作出幂函数f(x)=xα在第一象限的图象, 由图象可知α<1时满足题意.

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3 2 13.已知 a≤4x -3x+4≤b 的解集为[ a,b] ,则 b=______ 4 ,a+b 的值为
4 ________.

3 2 解析 设 f(x)=4x -3x+4, 则f(x)的最小值为1,因此a≤1(如果a>1,则a≤f(x)≤b的解集由两个区
域构成),于是有f(a)=f(b)=b, 4 而由 f(b)=b,得 b=4 或3, 而函数y=f(x)图象的对称轴为x=2,故b=4, 则f(a)=4,解得a=0(a=4舍去),所以a+b=4.
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14.设0≤α≤π,不等式8x2-(8sin α)x+cos 2α≥0对x∈R恒成立,则α的 取值范围为____________.

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15.设函数f(x)=x2+px+q (p,q∈R).

(1)若p=2,当x∈[-4,-2]时,f(x)≥0恒成立,求q的取值范围;
解 当p=2时,f(x)=x2+2x+q≥0恒成立,

只需f(x)min≥0.
易知f(x)=x2+2x+q在x∈[-4,-2]时单调递减,

所以f(x)min=f(-2)=q,即q≥0.

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(2)若不等式|f(x)|>2在区间[1,5]上无解,试求所有的实数对(p,q).

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