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高中数学


第四章

圆与方程

第二节 直线、圆的位置关系 圆与圆的位置关系

自学导引
1.知道两圆间的位置关系有:外离?外切?相交?内切?内含5种.

2.会根据两圆的圆心距与半径之间的关系迅速判断出两圆的
位置关系. 3.初步体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越 性.

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课前热身
一般地,设圆C1和C2的方程分别为 (x-x1)2+(y-y1)2=r21,

(x-x2)2+(y-y2)2=r22.
圆心分别为C1(x1,y1),C2(x2,y2),半径分别为r1,r2,两圆圆心距 d=|C1C2|= ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 . 那么,当d>r1+r2时,两圆________. 外离 当d=r1+r2时,两圆________. 外切

当|r1-r2|<d<r1+r2时,两圆________. 相交
当d=|r1-r2|时,两圆________. 内切 当0≤d<|r1-r2|时,两圆________. 内含

典例剖析
题型一 圆与圆的位置关系
例1:a为何值时,两圆x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和x2+y2+2x2ay+a2-3=0. (1)外切;(2)内切. 分析:把圆的方程化成标准方程,求出两圆半径及圆心距,再作 比较.

? 解:将两圆方程写成标准方程 ? (两圆外切,此时a=-5或2. ? (2)当两圆内切,解得a=-1或a=-2. ?

变式训练1:⊙A的方程为x2+y2-2x-2y-7=0,⊙B的 方程为x2+y2+2x+2y-2=0,判断⊙A和⊙B是否相 交,若相交,求过两交点的直线的方程;若不相交, 说明理由. ? 分析:判定两圆是否相交,只需判定两圆的半径 和?差与圆心距间关系即可.

? 题型二 与两圆相切有关的问题 ? 例2:求与圆x2+y2-2x=0外切且与直线 x ? 3 y ? 0 相切于点 (3, ? 3) 的圆的方程. ? 分析:先设出圆的方程(x-a) 2+(y-b) 2=r2 (r>0),利用 题设条件,得到关于a、b、r的三个方程,解方程组 求得a,b,r即可.

? 解:设所求圆的方程为 ? (x-a)2+(y-b) 2=r2 (r>0), ? 将x2+y2-2x=0化为标准形式(x-1) 2+y2=1,由题意可得

规律技巧:本题利用了待定系数法,设出所求圆的方程,根 据圆与圆相切,圆与直线相切的条件列出关于a,b,r的 方程组求解.

变式训练2:以(3,-4)为圆心,且与圆x2+y2=64内切的圆的 方程. ? 解:设所求圆的半径为r, 32 ? (?4) 2 ?| 8 ? r |, ? 则 ? ∴r=3或r=13, ? 故所求圆的方程为 ? (x-3) 2+(y+4) 2=9或(x-3) 2+(y+4) 2=169.

? 题型三 与两圆公共弦有关的问题 ? 例3:已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-4x+2y11=0.求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.

? 解:设两圆交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则A?B两点 坐标是方程组

? ①-②得3x-4y+6=0. ? 3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程. ? 易知圆C1的圆心(-1,3),半径r=3.

? 规律技巧:求两圆的公共弦所在直线方程,只要将 表示圆的两个方程相减即可得到.求圆的弦长用几 何法简单.

? 变式训练3:判断圆C1:x2+y2-2x-6y-6=0,与圆 C2:x2+y2-4x+2y+4=0的公切线的条数. ? 分析:先判断两圆位置关系. ? 解:由题意得:将圆C1化为标准方程: ? (x-1) 2+(y-3) 2=16. ? 将圆C2化为标准方程:(x-2) 2+(y+1) 2=1. ? 得圆C1的圆心坐标C1 (1,3),半径r1=4. ? 圆C2的圆心坐标C2 (2,-1),半径r2=1,
?| C1C 2 |? (1 ? 2) 2 ? (3 ? 1) 2 ? 17.

? 又r1+r2>|C1C2|>r1-r2, ? 即两圆相交. ? ∴圆C1与圆C2有两条公切线.

? 易错探究 ? 例4:求与圆(x-2)2+(y+1) 2=4相切于点A(4,-1)且半径长 为1的圆的方程. ? 错解:设所求圆的圆心C(a,b),则

? 由①②解得a=5,b=-1. ? ∴所求圆的方程为(x-5) 2+(y+1) 2=1.

错因分析:两圆相切包括内切和外切两种情况,错解中 认为相切就是外切,思考不到位,丢掉了内切的情况, 造成错解. ? 正解:设所求圆的圆心C(a,b),则 ? (a ? 4) 2 ? (b ? 1) 2 ? 1, ① ( a ? 2) 2 ? (b ? 1) 2 ? 3, ② ? (1)当两圆外切时,有 ? 由①②解得a=5,b=-1. ? ∴所求圆的方程为(x-5)2+(y+1) 2=1.

? ? ? ? ?

(2)若两圆内切,则有 由①③解得a=3,b=-1. ∴所求圆的方程为(x-3)2+(y+1) 2=1. 综上所述,所求圆的方程为 (x-5) 2+(y+1) 2=1或(x-3) 2+(y+1) 2=1.

( a ? 2) 2 ? (b ? 1) 2 ? 1,



技能演练
基础强化

1.圆x2+y2-2x=0和x2+y2+4y=0的位置关系是(
A.相离 C.相交 答案:C B.外切 D.内切

)

2.两圆x2+y2=r2与(x-3) 2+(y+1) 2=r2 (r>0)外切,则r的值是 ( )
A. 10 C.5 B. 5 10 D. 2

? 答案:D

? 3.两圆x2+y2-4x+2y+1=0与x2+y2+4x-4y-1=0的公切线有 ( ) ? A.1条 B.2条 ? C.3条 D.4条 ? 答案:C

4.圆x2+2x+y2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为 2 的点共有( ) ? A.4个 B.3个 ? C.2个 D.1个 ? 解析:圆x2+2x+y2+4y-3=0?(x+1) 2+(y+2) 2=8. ? ∴圆心(-1,-2),半径为 r ? 2 2. 而圆心(-1,-2)到直线 x+y+1=0的距离 d ? | ?1 ? 2 ? 1| ? 2,
2

? ∴圆上点到直线的距离为 ? 答案:B

2 的点有3个.

? 5.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7) 2=16相切,则动 圆圆心的轨迹方程是( ) ? A.(x-5) 2+(y+7) 2=25 ? B.(x-5) 2+(y+7) 2=17或(x-5) 2+(y+7)2=15 ? C.(x-5) 2+(y+7) 2=9 ? D.(x-5) 2+(y+7) 2=25或(x-5) 2+(y+7) 2=9 ? 解析:设动圆圆心G(x,y).当两圆内切时, ? 有(x-5) 2+(y+7) 2=9. ? 当两圆外切时,有(x-5) 2+(y+7) 2=25.应选D. ? 答案:D

? 6.已知两圆x2+y2=10和(x-1) 2+(y-3) 2=20相交于A?B两 x+3y=0 点,则直线AB的方程是________. ? 解析:二圆相减可得x+3y=0.
7.以点(1,2)为圆心,与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是 (x-1)2+(y-2)2=25 _________________________. | 4 ?1 ? 3 ? 2 ? 35 | 解析:半径 r ? ? 5, 2 2 4 ?3 又圆心(1,2).

∴圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=25.

? 8.两圆x2+y2=1和(x+4) 2+(y-a) 2=25相切,则实数a的值 0或 ? 2 5 为__________. ? 解析:当两圆内切时,有(0+4) 2+(0-a) 2=(5-1) 2.∴a=0; 当两圆外切时,有(0+4) 2+(0-a) 2=(5+1) 2,∴a=± 2 5. ? ∴a=0或a=± 2 5.

? 能力提升 ? 9.已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,点A(12,0)是x 轴上的一定点,当点P在圆上运动时,线段PA的中点M 的轨迹是什么?并分析此轨迹与圆x2+y2=16的位置关 系. ? 解:设线段PA的中点M(x,y),P(x0,y0),则由中点坐标公式 得:

? ? ? ? ? ? ?

P(x0,y0)在圆x2+y2=16上, ∴(2x-12) 2+(2y) 2=16, 即(x-6) 2+y2=4. 这就是点M的轨迹方程. ∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心,2为半径的圆. 两圆的圆心距 d ? (6 ? 0) 2 ? 02 ? 6,而两半径之和为6. ∴两圆相外切.

? 10.求半径为4,与圆x2+y2-4x-2y-4=0相切,且和直线y=0 也相切的圆的方程. ? 解:由题意,设所求圆的方程为圆C:(x-a) 2+(y-b) 2=r2.圆C 与直线y=0相切,且半径为4,则圆心C的坐标为C1(a,4)或 C2(a,-4). ? 又已知圆x2+y2-4x-2y-4=0的圆心A的坐标为(2,1),半径 为3. ? 若两圆相切,则|CA|=4+3=7或|CA|=4-3=1.

? (1)当C1(a,4)时,(a-2)2+(4-1)2=72或(a-2) 2+(4-1) 2=12(无 解),故可得a=2±2 10. ? ∴所求圆的方程为 ( x ? 2 ? 2 10)2 +(y-4) 2=42, ? 或 ( x ? 2 ? 2 10)2 +(y-4) 2=42. ? (2)当C2(a,-4)时,(a-2) 2+(-4-1) 2=72, ? 或(a-2) 2+(-4-1) 2=12(无解),故a=2±2 6. 2 ? ∴所求圆的方程为 ( x ? 2 ? 2 6) +(y+4) 2=42, ? 或 ( x ? 2 ? 2 6)2 +(y+4) 2=42.

? 11.圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是 ( ) ? A.相离 B.相交 ? C.外切 D.内切

答案:B

? 12. 若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共 弦的长为 2 3, 则a=________. 1 ? 解析:两圆作差得弦所在直线方程为 1 d ? , 由弦心距?半弦及半径的关系 ? 弦心距 a 得 ? ( 3) 2 ? ( 1 ) 2 ? 4 ,∴a=1.
y? 1 . a

a


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