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山西省孝义市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷


山西省孝义市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题:每小题 5 分,共 60 分;在每小题给出分四个选项中,有且只有一项是正确的. 1. (5 分)设全集 U=R,A={x|(0.2) A.{x|x≥1} B.{x|1≤x<2}
x(x﹣2)

>1},B={x|y=ln(1﹣x)},则 A∩(?UB)=() C.{x|0<x≤1} D.{x|x≤1}

2. (5 分)下面的抽样方法是简单随机抽样的是() A.在某年明信片销售活动中,规定每 100 万张为一个开奖组,通过随机抽取的方式确定号码 的后四位为 2709 为三等奖 B. 某车间包装一种产品,在自动的传送带上,每隔 5 分钟抽一包产品,称其重量是否合格 C. 某校分别从行政,教师,后勤人员中抽取 2 人,14 人,4 人了解学校机构改革的意见 D.用抽签法从 10 件产品中选取 3 件进行质量检验 3. (5 分)设函数 f(x) ,g(x)的定义域都为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则 下列结论中正确的是() A.f(x)g(x)是偶函数 B. |f(x)|g(x)是奇函数 C.( f x) |g (x) |是奇函数 D. |f(x)g(x)|是奇函数 4. (5 分)已知函数 f(x)=(x﹣a) (x﹣b) (其中 a>b)的图象如图所示,则函数 g(x)= ( ) +b 的图象是()
x

A.

B.

C.

D.

5. (5 分)如图给出的是计算 + +…+ 行框中的(2)处应填的语句是()

的值的一个程序框图,则图中判断框内(1)处和执

A.i>108,n=n+1 n=n+2

B.i>108,n=n+2

C.i>54,n=n+2

D.i≤54,

6. (5 分)已知函数 y=f(x)+x 是偶函数,且 f(2)=1,则 f(﹣2)=() A.﹣1 B .1 C.﹣5 7. (5 分)已知 a= A.b>c>a
0.3 0.2

D.5

,b=2 ,c=0.3 ,则 a,b,c 三者的大小关系是() B.b>a>c C.a>b>c D.c>b>a

8. (5 分)若 x0 是方程( ) =x A.( ,1)

x

的解,则 x0 属于区间() C.(0, ) D.( , )

B .( , )

9. (5 分)设 min 集为() A.( +∞) ,+∞) B.(0, D.

,若函数 f(x)=min{3﹣x,log2x},则 f(x)< 的解

)∪( ,+∞) C. (0,+∞)

(0, 2) ∪ ( ,

10. (5 分)已知函数 f(x)=log 范围是() A.(﹣4,4]

(x ﹣ax+3a)在区间[2,+∞)上为减函数,则 a 的取值

2

B.(﹣∞,4]

C.(﹣∞,﹣4)

D.[﹣4,2)

11. (5 分)已知函数 f(x)在定义在 R 上的奇函数,若对于任意给定的不等实数 x1、x2,不 等式 x1f(x1)+x2f(x2)<x1f(x2)+x2f(x1)恒成立,则不等式 f(x)<0 的解集为() A.(﹣∞,0) B.(0,+∞) C.(﹣∞,10) D.(1,+∞) [来源:Z.xx.k.Com]

12. (5 分)若对于任意实数 m,关于 x 的方程 的取值范围是() A.(﹣∞,1)

恒有解,则实数 a

B.(0,1]

C.[0,1]

D.(0,1)

二、填空题:共 20 分. 13. (5 分)将 13 化成二进制数为. 14. (5 分)已知 a>0 且 a≠1,则函数 f(x)=a
x+2

+1 的图象过定点.

15. (5 分) 用系统抽样法要从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本, 将 160 名学生随机地从 1~ 160 编号,按编号顺序平均分成 20 组(1~8 号,9~16 号,…,153~160 号) ,若第 16 组抽 出的号码为 126,则第 1 组中用抽签的方法确定的号码是. 16. (5 分)给出定义:若 m﹣ <x≤m+ (其中 m 为整数) ,则 m 叫做离实数 x 最近的整数, 记作{x}=m.在此基础上给出下列关于函数 f(x)=|x﹣{x}|的四个命题: ①函数 y=f(x)的定义域为 R,值域为 ;

②函数 y=f(x)的图象关于直线 x= (k∈Z)对称; ③函数 y=f(x)是偶函数; ④函数 y=f(x)在 其中正确的命题的序号是. 上是增函数.

三、解答题:共 70 分. 17. (10 分)甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们在一天二十四小时内到达 该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为 1 小时,乙船停泊时间为 2 小时,求它们中 的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.

18. (12 分)已知全集 U=R,函数 y=

的定义域为集合 A,B={x|﹣3≤x﹣1<2}.

(1)求 A∩B, (?UA) (?UB) ; (2)若集合 M={x|1﹣k≤x≤﹣3+k}且 M?A∩B,求实数 k 的取值集合. 19. (12 分)某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y (单位:千元)的数据如下表: 年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013[来 源:Z+xx+k.Com] 年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9

(Ⅰ)求 y 关于 t 的线性回归方程; (已知 b=0.5) (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的 变化情况,并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. [来源:Z+xx+k.Com] 20. (12 分)某工厂生产的产品 A 的直径均位于区间[110,118]内(单位:mm) .若生产一件 产品 A 的直径位于区间[110,112],[112,114],[114,116],[116,118]内该厂可获利分别为 10,20,30,10(单位:元) ,现从该厂生产的产品 A 中随机 100 件测量它们的直径,得到如 图所示的频率分布直方图. (Ⅰ)求 a 的值,并估计该厂生产一件 A 产品的平均利润; (Ⅱ)现用分层抽样法从直径位于区间[112,116)内的产品中随机抽取一个容量为 5 的样 本,再从样本中随机抽取两件产品进行检测,求两件产品中至少有一件产品的直径位于区间 [114,116)内的概率.

[来源:学科网] 21. (12 分)已知函数 f(x)=2 (1)当 a=0 时,求函数 f(x)的值域; (2)若 A={x|y=lg(5﹣x)},函数 f(x)=2
﹣x2+ax+3 ﹣x2+ax+3

在 A 内是增函数,求 a 的取值范围. ,记 F(x)=2f

22. (12 分)已知 a>0 且 a≠1,函数 f(x)=loga(x+1) ,

(x)+g(x) . (1)求函数 F(x)的定义域 及其零点; 2 (2)若关于 x 的方程 F(x)﹣2m +3m+5=0 在区间[0,1)内仅有一解,求实数 m 的取值范 围.

山西省孝义市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:每小题 5 分,共 60 分;在每小题给出分四个选项中,有且只有一项是正确的. 1. (5 分)设全集 U=R,A={x|(0.2) A.{x|x≥1} B.{x|1≤x<2}
x(x﹣2)

>1},B={x|y=ln(1﹣x)},则 A∩(?UB)=() C.{x|0<x≤1} D.{x|x≤1}

考点: 交、并、补集的混合运算;对数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题;函数的性质及应用.

分析: 求出集合 A,B,然后求解 A∩(CUB)即可. x(x﹣2) 解答: 解:因为 A={x|(0.2) >1}={x|x(x﹣2)<0}={x|0<x<2}, B={x|y=ln(1﹣x)}={x|1﹣x>0}={x|x<1}, CUB={x|x≥1}; ∴A∩(CUB)={x|1≤x<2}. 故选 B. 点评: 本题考查集合的基本运算,指数函数与对数函数的单调性,考查计算能力. 2. (5 分)下面的抽样方法是简单随机抽样的是() A.在某年明信片销售活动中,规定每 100 万张为一个开奖组,通过随机抽取的方式确定号码 的后四位为 2709 为三等奖 B. 某车间包装一种产品,在自动的传送带上,每隔 5 分钟抽一包产品,称其重量是否合格 C. 某校分别从行政,教师,后勤人员中抽取 2 人,14 人,4 人了解学校机构改革的意见 D.用抽签法从 10 件产品中选取 3 件进行质量检验 考点: 简单随机抽样. 专题: 操作型;概率与统计. 分析: 如果总体和样本容量都很大时,采用随机抽样会很麻烦,就可以使用系统抽样;如 果总体是具有明显差异的几个部分组成的,则采用分层抽样;从包含有 N 个个体的总体中抽 取样本量为 n 个样本,总体和样本容量都不大时,采用随机抽样. 解答: 解:总体和样本容量都不大,采用随机抽样. 故选:D. 点评: 本题考查收集数据的方法,考查系统 抽样,分层抽样,简单随机抽样的合理运用, 是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 3. (5 分)设函数 f(x) ,g(x)的定义域都为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则 下列结论中正确的是() A.f(x)g(x)是偶函数B. |f(x)|g(x)是奇函数 C. f(x)|g(x)| 是奇函数 D. |f(x)g(x)|是奇函数 考 点: 函数奇偶性的判断;函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得,|f(x)|为偶函数,|g(x)|为偶函数.再根据两个奇函数的积是偶函数、 两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数,从而得出结论. 解答: 解:∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, ∴|f(x)|为偶函数,|g(x)|为偶函数. 再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的 积是奇函数, 可得 f(x)|g(x)|为奇函数, 故选:C. 点评: 本题主要考查函数的奇偶性,注意利用函数的奇偶性规律,属于基础题.

4. (5 分)已知函数 f(x)=(x﹣a) (x﹣b) (其中 a>b)的图象如图所示,则函数 g(x)= ( ) +b 的图象是()
x

A. 考点: 专题: 分析: 解答: 所以

B.

C.

D.

函数的图象. 函数的性质及应用. 由二次函数的图象确定 a,b 的大小,然后利用指数函数的图象性质进行判断. 解:由二次函数的图象可知,a>1,﹣1<b<0. ,即函数 g(x)=( ) +b 为单调递减函数,排除 C,D.
x

因为﹣1<b<0,所以图象向下平移,所以对应的图象为 A. 故选 A. 点评: 本题主要考查二次函数图象的性质以及指数函数的图象和性质,综合性较强.

5. (5 分)如图给出的是计算 + +…+ 行框中的(2)处应填的语句是()

的值的一个程序框图,则图中判断框内(1)处和执

A.i>108,n=n+1

B.i>108,n=n+2

C.i>54,n=n+2

D.i≤54,n=n+2

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 根据算法的功能确定跳出循环的 i 值,可得判断框内的条件,根据 n 值的出现规律可 得执行框②的执行式子. 解答: 解:∵算法的功能是计算 + +…+ 的值,

∴终止程序运行的 n 值为 110,i 值为 55,∴判断框的条件为 i>54 或 i≥55; 根据 n 值的规律得:执行框②应为 n=n+2, 故选:C. 点评: 本题考查了循环结构的程序框图, 根据算法的功能确定跳出循环的 i 值及 n 值的出现 规律是解答本题的关键. 6. (5 分)已知函数 y=f(x)+x 是偶函数,且 f(2)=1,则 f(﹣2)=() A.﹣1 B. 1 C . ﹣5 D.5 考点: 函数奇偶性的性质;抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数 y=f(x)+x 是偶函数,可知 f(﹣2)+(﹣2)=f(2)+2,而 f(2)=1, 从而可求出 f(﹣2)的值. 解答: 解:令 y=g(x)=f(x)+x, ∵f(2)=1, ∴g(2)=f(2)+2=1+2=3, ∵函数 g(x)=f(x)+x 是偶函数, ∴g(﹣2)=3=f(﹣2)+(﹣2) ,解得 f(﹣2)=5. 故选 D. 点评: 本题主要考查了函数的奇偶性,以及抽象函数及其应用,同时考查了转化的思想, 属于基础题. 7. (5 分)已知 a= A.b>c>a ,b=2 ,c=0.3 ,则 a,b,c 三者的大小关系是() B.b>a>c C.a>b>c D.c>b>a
0.3 0.2

考点: 不等关系与不等式. 专 题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用指数函数的单调性即可判断出. 解答: 解:∵ ∴b>c>a. 故选 A. 点评: 熟练掌握指数函数的单调性是解题的关键. ,

8. (5 分)若 x0 是方程( ) =x A.( ,1)

x

的解,则 x0 属于区间() C.(0, ) D.( , )

B. ( , )

考点: 二分法求方程的近似解. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意令 f(x)=( ) ﹣x
x

,从而由函数的零点的判定定理求解.

解答: 解:令 f(x)=( ) ﹣x 则 f(0)=1﹣0>0; f( )= ﹣( ) >0;

x



f( )=



<0;

故 x0 属于区间( , ) ; 故选 D. 点评: 本题考查了函数的零点的判定定理的应用,属于基础题.

9. (5 分)设 min 集为() A.( ,+∞) B.(0,

,若函数 f(x)=min{3﹣x,log2x},则 f(x)< 的解

)∪( ,+∞)

C. (0,2)∪( ,+∞)

D.(0,+∞) 考点: 指、对数不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: 由题意原不等式等价于



,解不等式组可得答案.

解答: 解:∵min



∴f(x)=min{3﹣x,log2x}=



∴f(x)< 等价于







可得 x> ,解

可得 0<x<



故 f(x)< 的解集为: (0,

)∪( ,+∞)

故选:B 点评: 本题考查新定义和对数不等式,化为不等式组是解决问题的关键,属基础题. 10. (5 分)已知函数 f(x)=log 范围是() A.(﹣4,4] (x ﹣ax+3a)在区间[2,+∞)上为减函数,则 a 的取值
2

B.(﹣∞,4]

C.(﹣∞,﹣4)

D.[﹣4,2)

考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 令 t=x ﹣ax+3a,则由题意可得函数 t 在区间[2,+∞)上为增函数且 t(2)>0,由此 解得实数 a 的取值范围. 解答: 解:令 t=x ﹣ax+3a,则由函数 f(x)=g(t)=)=log 数, 可得函数 t 在区间[2,+∞)上为增函数且 t(2)>0, 故有 ,
2 2

t 在区间[2,+∞)上为减函

解得﹣4<a≤4, 故选:A. 点评: 本题主要考查复合函数的单调性,要注意函数的定义域及复合函数单调性的结论: 同增异减的应用. 11. (5 分)已知函数 f(x)在定义在 R 上的奇函数,若对于任意给定的不等实数 x1、x2,不 等式 x1f(x 1)+x2f(x2)<x1f(x2)+x2f(x1)恒成立,则不等式 f(x)<0 的解集为() A.(﹣∞,0) B.(0,+∞) C.(﹣∞,10) D.(1,+∞) 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先将不等式转化为(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0 恒成立得到函数 f(x)是定义在 R 上的减函数;再利用函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数得到函数 f(x)过(0,0)点,即 可求出不等式 f(x)<0 的解集.
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

解答: 解:∵对于任意给定的不等实数 x1,x2,不等式 x1f(x1)+x2f(x2)<x1f(x2)+x2f (x1)恒成立, ∴不等式等价为(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0 恒成立, 即函数 f(x)是定义在 R 上的减函数. ∵函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴函数 f(x)过点(0,0) ; 故不等式 f (x)<0, 解得 x>0. 故选:B.

点评: 本题主要考查函数奇偶性和单调性的综合应用问题.将不等式进行转化判断出函数 f (x)的单调性以及利用奇函数的性质得到函数 f(x)过(0,0)点是解决本题的关键. 12. (5 分)若对于任意实数 m,关于 x 的方程 的取值范围是() A.(﹣∞,1) 恒有解,则实数 a

B.(0,1]

C.[0,1]

D.(0,1)

考点: 复合函数的单调性. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 依题意, 可知函数 y= 的值域为 R, 从而可知函数 g (x) =ax +2x+1
2

与 x 轴有交点且 g(x)∈(0,+∞) ;通过对参数 a 分 a=0 与 a>0 且△ ≥0 的讨论即可得到答案. 解答: 解:∵对于任意实数 m,关于 x 的方程 ∴函数 y=
2

﹣m=0 恒有解,

的值域为 R,

∴函数 g(x)=ax +2x+1 与 x 轴有交点且函数 y=g(x)的值域包含了所有的正数. ∴当 a=0 时,g(x)=2x+1 与 x 轴有交点(﹣ ,0) ,满足题意; 当 a≠0 时,则 a>0 且△ =4﹣4a≥0, ∴0<a≤1. 综上所述,0≤a≤1. 故选 C. 点评: 本题考查复合函数的单调性,考查理解题意与等价转化思想、分类讨论思想的综合 运用,属于中档题. 二、填空题:共 20 分. 13. (5 分)将 13 化成二进制数为 1101. 考点: 进位制. 专题: 计算题. 分析: 利用“除 k 取余法”是将十进制数除以 2,然后将商继续除以 2,直到商为 0,然后将 依次所得的余数倒序排列即可得到答案. 解答: 解:13÷2=6…1 6÷2=3…0 3÷2=1…1 1÷2=0…1 故 13(10)=1101(2) 故答案为:1101(2) 点评: 本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化, 其中熟练掌握“除 k 取余法”的方 法步骤是解答本题的关键,属于基本知识的考查. 14. (5 分)已知 a>0 且 a≠1,则函数 f(x)=a
x+2

+1 的图象过定点(﹣2,2) .

考点: 指数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 0 分析: 由 a =1 可得,令 x+2=0,从而解得. 解答: 解:令 x+2=0,则 x=﹣2,[来源:学§科§网] 此时 y=2, 故答案为: (﹣2,2) . 点评: 本题考查了指数函数的定点问题,也是恒成立问题,属于基础题. 15. (5 分) 用系统抽样法要从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本, 将 160 名学生随机地从 1~ 160 编号,按编号顺序平均分成 20 组(1~8 号,9~16 号,…,153~160 号) ,若第 16 组抽 出的号码为 126,则第 1 组中用抽签的方法确定的号码是 6. 考点: 简单随机抽样. 专题: 计算题. 分析: 根据题意设出在第 1 组中随机抽到的号码,写出在第 16 组中应抽出的号码,根据第 16 组抽出的号码为 126,使得 126 与用 x 表示的代数式相等,得到 x 的值. 解答: 解:不妨设在第 1 组中 随机抽到的号码为 x, 则在第 16 组中应抽出的号码为 120+x. 设第 1 组抽出的号码为 x, 则第 16 组应抽出的号码 是 8×15+x=126, ∴x=6. 故答案为:6. 点评: 抽样选用哪一种抽样形式,要根据题目所给的总体情况来决定,若总体个数较少, 可采用抽签法,若总体个数较多且个体各部分差异不大,可采用系统抽样,若总体的个体差异 较大,可采用分层抽样.

16. (5 分)给出定义:若 m﹣ <x≤m+ (其中 m 为整数) ,则 m 叫做离实数 x 最近的整数, 记作{x}=m.在此基础上给出下列关于函数 f(x)=|x﹣{x}|的四个命题: ①函数 y=f(x)的定义域为 R,值域为 ;

②函数 y=f(x)的图象关于直线 x= (k∈Z)对称; ③函数 y=f(x)是偶函数; ④函数 y=f(x)在 上是增函数.

其中正确的命题的序号是①②③. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题为新定义问题,因为 m 为整数,故可取 m 为几个特殊的整数进行研究,进而得 到函数的图象的草图,结合图象分析得到答案. 解答: 解:由题意 x﹣{x}=x﹣m,f(x)=|x﹣{x}|=|x﹣m|,

m=0 时,﹣ <x≤ ,f(x)=|x|, m=1 时,1﹣ <x≤1+ ,f(x)=|x﹣1|, m=2 时,2﹣ <x≤2+ ,f(x)=|x﹣2|, … 画出函数的图象如图所示,由图象可知正确命题为①②③, 故答案为:①②③

点评: 本题是新定义问题,考查函数的性质,可结合图象进行研究,体现数形结合思想. 三、解答题:共 70 分. 17. (10 分)甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们在一天二十四小时内到达 该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为 1 小时,乙船停泊时间为 2 小时,求它们中 的任意一艘都不需要等待码头空出的概率. 考点: 几何概型. 专题: 应用题;数形结合. 分析: 本题利用几何概型求解.设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为 x 与 y,将“甲、乙 两船都不需要等待码头空出”用关于 x, y 的不等关系表示, 再所得不等关系在坐标系画出图形, 最后求面积比即得. 解答: 解:这是一个几何概型问题. 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为 x 与 y,A 为“甲、乙两船都不需要等待码头空出”, 则 0≤ x≤24,0≤y≤24, 且基本事件所构成的区域为 Ω={(x,y)|0≤x≤24,0≤y≤24}. 要使两船都不需要等待码头空出, 当且仅当甲比乙早到达 1 小时以上或乙比甲早到达 2 小时以上, 即 y﹣x≥1 或 x﹣y≥2,故 A={(x,y)|y﹣x≥1 或 x﹣y≥2},x∈[0,24],y∈[0,24]. A 为图中阴影部分,Ω 为边长是 24 的正方形, ∴所求概率

= = .

点评: 本小题主要考查几何概型、不等关系、不等式表示的平面区域等基础知识,考查运 算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于中等题.

18. (12 分)已知全集 U=R,函数 y=

的定义域为集合 A,B={x|﹣3≤x﹣1<2}.

(1)求 A∩B, (?UA) (?UB) ; (2)若集合 M={x|1﹣k≤x≤﹣3+k}且 M?A∩B,求实数 k 的取值集合. 考点: 交、并、补集的混合运算;集合的包含关系判断及应用. 专题: 集合. 分析: (1)求出函数的定义域确定出 A,求出 B 中不等式的解集,求出两集合的交集,找 出两补集的并集即可; (2)分 M 为空集与 M 不为空集两种情况,求出 k 的范围即可. 解答: 解: (1)由函数 y= ,得到 x+4≥0,且 2 ﹣4≠0,
﹣x

解得:x≥﹣4 且 x≠﹣2, ∴A={x|﹣4≤x<﹣2 或 x>﹣2}, 由 B 中不等式解得:﹣2≤x<3,即 B={x|﹣2≤x<3}, 则 A∩B={x|﹣2<x<3}; (?UA)∪(?UB)=?U(A∩B)={x|x≤2 或 x≥3}; (2)由题意得:若 M=?,则有 1﹣k>﹣3+k,即 k<2; 若 M≠?,即 k≥2 时,则有 ,

解得:2≤k<3, 综上,k 的范围为{k|k<3}. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 19. (12 分)某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y (单位:千元)的数据如下表: 年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013[来源:学科网 ZXXK]

年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (Ⅰ)求 y 关于 t 的线性回归方程; (已知 b=0.5) (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的 变化情况,并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. 考点: 回归分析的初步应用. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)根据所给的数据,利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数,横标和纵标的 积的和,与横标的平方和,代入公式求出 b 的值,再求出 a 的值,写出线性回归方程. (Ⅱ)根据上一问做出的线性回归方程,代入所给的 t 的值,预测该地区 2015 年农村居民家 庭人均纯收入,这是一个估计值. 解答: 解: (Ⅰ)由题意, = (1+2+3+4+5+6+7)=4, = (2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9) =4.3, ∴ =

=0.5, = ﹣ ? =4.3﹣0.5×4=2.3.[来源:学科网 ZXXK] ∴y 关于 t 的线性回归方程为 =0.5t+2.3; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,b=0.5>0,故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加, 平均每年增加 0.5 千元. 将 2015 年的年份代号 t=9 代入 =0.5t+2.3,得: =0.5×9+2.3=6.8, 故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元. 点评: 本题考查线性回归分析的应用,本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回 归方程的系数,这是整个题目做对的必备条件,本题是一个基础题.[来源:学科网] 20. (12 分)某工厂生产的产品 A 的直径均位于区间[110,118]内(单位:mm) .若生产一件 产品 A 的直径位于区间[110,112],[112,114],[114,116],[116,118]内该厂可获利分别为 10,20,30,10(单位:元) ,现从该厂生产的产品 A 中随机 100 件测量它们的直径,得到如 图所示的频率分布直方图. (Ⅰ)求 a 的值,并估计该厂生产一件 A 产品的平均利润; (Ⅱ)现用分层抽样法从直径位于区间[112,116)内的产品中随机抽取一个容量为 5 的样 本,再从样本中随机抽取两件产品进行检测,求两件产品中至 少有一件产品的直径位于区间 [114,116)内的概率.

考点: 分层抽样方法;古典概型及其概率计算公式. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (I)利用所有小矩形的面积之和为 1 求得 a 值;根据频数=频率×样本容量求得各组 的频数,代入平均数公式计算; (II)根据频率分布直方图求得直径位于区间[112,114)和[114,116)的频率之比,可得在 两组中应取 的产品数, 利用写出所有基本事件的方法求符合条件的基本事件个数比; 解答: 解: (I)由频率分布直方图得:2×(0.050+0.150+a+0.075)=1?a=0.225, 直径位于区间[110,112)的频数为 100×2×0.050=10,位于区间[112,114)的频数为 100×2×0.150=30, 位于区间[114, 116) 的频数为 100×2×0.225=45, 位于区间[116, 118) 的频数为 100×2×0.075=15, ∴生产一件 A 产品的平均利润为 =22(元) ;

(II)由频率分布直方图得:直径位于区间[112,114)和[114,116)的频率之比为 2:3, ∴应从直径位于区间[112,114)的产品中抽取 2 件产品,记为 A、B, 从直径位于区间[114,116)的产 品中抽取 3 件产品,记为 a、b、c,从中随机抽取两件,所 有可能的取法有, (A,B) , (A,a) , (A,b) , (A,c) , (B,a) , (B,b) , (B,c) , (a,b) , (a,c) , (b,c)10 种,两件产品都不在区间[114,116)的取法只有(A,B)一 种, ∴两件产品中至少有一件产品的直径位于区间[114,116)内的取法有 9 种. ∴所求概率为 P= .

点评: 本题考查了分层抽样方法,考查了古典概型的概率计算,读懂频率分布直方图是解 答本题的关键. 21. (12 分)已知函数 f(x)=2 (1)当 a=0 时,求函数 f(x)的值域; (2)若 A={x|y=lg(5﹣x)},函数 f(x)=2
﹣x2+ax+3 ﹣x2+ax+3

在 A 内是增函数,求 a 的取值范围.

考点: 指数型复合函数的性质及应用. 专题: 函数的性质及应用. t 3 分析: (1)换元把函数可转化为:y=2 ,t≤3,根据指数函数的单调性可判断:0<y≤2 =8, 2 (2)根据复合函数的单调性判断 g(x)=﹣x +ax+3,在(﹣∞,5)是单调递增函数,即得 出 ≥5,求解即可 a≥10.

解答: 解: (1)当 a=0 时,函数 f(x)=2 令 t(x)=3﹣x ,t≤3, t ∴函数可转化为:y=2 ,t≤3, 3 根据指数函数的单调性可判断:0<y≤2 =8, 故函数 f(x)的值域: (0,8]. (2)∵A={x|y=lg(5﹣x)}, ∴A=(﹣∞,5) ,
2



∵函数 f(x)=2 在 A 内是增函数, 2 ∴g(x)=﹣x +ax+3,在(﹣∞,5)是单调递增函数, 即 ≥5,a≥10 故 a 的取值范围:a≥10,[来源:学#科#网 Z#X#X#K] 点评: 本题综合考查了指数函数,二次函数的单调性,运用求解问题,属于中档题,关键 是等价转化. 22. (12 分)已知 a>0 且 a≠1,函数 f(x)=loga(x+1) , (x)+g(x) . (1)求函数 F(x)的定义域及其零点; (2)若关于 x 的方程 F(x)﹣2m +3m+5=0 在区间[0,1)内仅有一解,求实数 m 的取值范 围. 考点: 函数的零点与方程根的关系;函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用对数函数和分式函数的定义域即可得出 F(x)其定义域,利用零点的意义 和对数函数的单调性即可得出; (2)对 a 分类讨论可得函数 F(x)的单调性,进而问题等价于关于 x 的方程 2m ﹣3m﹣5=F (x)在区间[0,1)内仅有一解.再利用一元二次不等式的解法即可得出. 解答: 解: (1)F(x)=2f(x)+g(x)= (a>0 且 a≠1) ,
2 2

﹣x2+ax+3

,记 F(x)=2f

要使函数 F(x)有意义,则必须 ∴函数 F(x)的定义域为 D=(﹣1,1) . 令 F(x)=0,则 方程变为 ∴(x+1) =1﹣x,即 x +3x=0 解得 x1=0,x2=﹣3, 经检验 x=﹣3 是(*)的增根, ∴方程(*)的解为 x=0, ∴函数 F(x)的零点为 0.
2 2

,解得﹣1<x<1,

…(*) ,

(2)函数

在定义域 D 上是增函数,可得:

①当 a>1 时,F(x)=2f(x)+g(x)在定义域 D 上是增函数, ②当 0<a<1 时,函数 F(x)=2f(x)+g(x)在定义域 D 上是减函数. 2 因此问题等价于关于 x 的方程 2m ﹣3m﹣5=F(x)在区间[0,1)内仅有一解. ①当 a>1 时,由(2)知,函数 F(x)在[0,1)上是增函数, ∴F(x)∈[0,+∞) , ∴只需 2m ﹣3m﹣5≥0,解得:m≤﹣1,或
2



②当 0<a<1 时,由(2)知,函数 F(x)在[0,1)上是减函数, ∴F(x)∈(﹣∞,0], ∴只需 2m ﹣3m﹣5≤0 解得: 综上所述,当 0<a<1 时: 当 a>1 时,m≤﹣1,或 .
2

, ;

点评: 本题考查了对数函数及分式函数类型得到的复合函数的定义域单调性及其零点、一 元二次不等式的解法、 方程的解等价转化问题等基础知识与基本技能方法, 考查了推理能力和 计算能力,属于难题.


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