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高一-函数的基本性质-课件、例题、课后练习


一、知识网络: 函数与映射 1.函数的概念 一般地,设 A、B 是两个非空的数集,如果按某种对应法则 f,对于集合 A 中的每一个(任 意性)元素 x,在集合 B 中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素 y 和它对应,这样的对应 叫做集合 A 到集合 B 的一个函数(三性缺一不可) 函数的本质:建立在两个非空数集上的特殊对应 这种“特殊对应”有何特点:1).可以是“一对一” 2).可以是“多对一” 3).不能“一对 多” 4). A 中不能有剩余元素 5).B 中可以有剩余元素 判断两个函数相同:只看定义域和对应法则 2.映射的概念 一般地,设 A、B 是两个集合,如果按某一个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的每一个 元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A→B为从集合 A 到 集合 B 的一个映射(mapping) 。 思考:映射与函数区别与联系? 函数——建立在两个非空数集上的特殊对应 映射——建立在两个非空集合上的特殊对应 1)函数是特殊的映射,是数集到数集的映射. 2)映射是函数概念的扩展,映射不一定是函数. 3)映射与函数都是特殊的对应 二、课堂练习: 考点一:判断两函数是否为同一个函数 [例 1] 试判断以下各组函数是否表示同一函数? (1) , ; (2) , (3) , (n∈N*) ; (4) , ; 考点二:求函数的定义域、值域 (1)在数轴上,用实心点表示包括在区间内的端点,用空心点表示不包括在区间内的端点。 (2)求函数定义域,主要通过下列途径实现。 ①若 f(x)是整式,则定义域为 R; ②若 f(x)为分式,则定义域为使分母不为零的全体实数; ③若 f(x)为偶次根式,则定义域为使被开方数为非负数的全体实数; ④若 f(x)的定义域为[a,b] ,则 f[g(x)]的定义域是 a≤g(x)≤b 的解集; ⑤若 f[g(x)]的定义域为[a,b] ,则 f(x)的定义域是 g(x)在下的值域。 (3)函数 y=f(x)的定义域和值域分别是它的反函数的值域和定义域; (4)函数 y=f(x)的图象和它的反函数的图象关于直线 y=x 对称。 [例 1].若(ln a)中,a 都大于 0,则函数的定义域为( ) ;B.;C. ;D. [例 2].求函数的定义域: 。 [例 3]已知函数,若恒成立,求的值域 考点三:映射的概念 注意:理解映射的概念,应注意以下几点:

(1)集合 A、B 及对应法则 f 是确定的,是一个整体系统; (2)对应法则有“方向性” ,即强调从集合 A 到集合 B 的对应,它与从集合 B 到集合 A 的 对应关系一般是不同的; (3)集合 A 中每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的,这是映射区别于一般对 应的本质特征; (4)集合 A 中不同元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (5)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象. [例 1] 为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文(加密) ,接收方由密文明文 (解密) ,已知加密规则为:明文对应密文例如,明文对应密文当接收方收到密文时,则解 密得到的明文为() ;B. ;C. ;D. [例 2]设集合 A={a、b},B={c、d、e} (1)可建立从 A 到 B 的映射个数 . (2)可建立从 B 到 A 的映射个数 . 小结:如果集合 A 中有 m 个元素,集合 B 中有 n 个元素,那么从集合 A 到集合 B 的映射共 有 nm 个。 考点四:函数的表示 [例 1] 一水池有个进水口, 个出水口,一个口的进、出水的速度如图甲、乙所示.某天点到点, 该水池的蓄水量如图丙所示.给出以下个论断: 进水量出水量蓄水量 甲乙丙 (1)点到点只进水不出水; (2)点到点不进水只出水; (3)点到点不进水不出水. 则一定不正确的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上) . [例 2] 已知=,则的解析式可取为 [例 3] 二次函数满足,且。 ⑴求的解析式; ⑵在区间上,的图象恒在的图象上方,试确定实数的范围。 [例 4] 解答下列各题: (1)已知 f(x)=x2-4x+3,求 f(x+1); (2)已知 f(x+1)=x2-2x,求 f(x); (3)已知二次函数 g(x)满足 g(1)=1,g(-1)=5,图象过原点,求 g(x)。 考点五函数的单调性 (1)设 x1,x2∈[a,b] ,那么 ①上是增函数,上是减函数; ②在[a,b]上是增函数,上是减函数。 (2)复合函数 y=f[g(x)] y=f(t) 增 减 增 减 t=g(x) 增

减 减 增 Y=f[g(x)] 增 增 减 减

[例 1] 讨论函数在(-2,+∞)上的单调性。 [例 2] 定义在 R 上的函数, ,当 x>0 时, ,且对任意的 a、b∈R, 有 f(a+b)=f(a) ·f(b). (1)求证:f(0)=1; (2)求证:对任意的 x∈R,恒有 f(x)>0; (3)求证:f(x)是 R 上的增函数; (4)若 f(x) ·f(2x-x2)>1,求 x 的取值范围. 考点八判断函数的奇偶性及其应用 注意: 函数的奇偶性是函数的一个整体性质, 定义域具有对称性 ( 即若奇函数或偶函数的定义域 为 D, 则时) 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件 分段函数的奇偶性一般要分段证明. ③判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式. 题型 1:判断有解析式的函数的奇偶性 [例 1] 判断下列函数的奇偶性: f(x)=|x+1|-|x-1|; (2)f(x)=(x-1) · ; (3) ; (4) 题型 2:证明抽象函数的奇偶性 [例 2] 定义在区间上的函数 f (x)满足:对任意的,都有. 求证:f (x)为奇函数; [例 3]设函数 f(x)对任意 x、y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),且 x>0 时,f(x)<0,f(1)=-2。 (1)求证:f(x)为奇函数 (2)试问在-3≤x≤3 时,f(x)是否有最值?如果有,求出最值;如果没有,说明理由。 题型 3:函数奇偶性、单调性的综合应用 [例 4] 已知奇函数是定义在上的减函数,若, 求实数的取值范围。 [例 5] 已知定义在上的偶函数满足对于恒成立,且, 则 ________ [例 6] 已知,那么=_____ [例 7] 设,若,试求: (1)的值; (2)的值; (3)求值域。

课后练习: 一)选择题 1 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为() ⑴, ; ⑵, ; ⑶, ; ⑷, ; ⑸, A⑴、⑵ B⑵、⑶ C⑷ D⑶、⑸ 2 函数的图象与直线的公共点数目是() A B C或 D或 3 已知集合,且 使中元素和中的元素对应,则的值分别为() A B C D 4 已知,若,则的值是() A B或 C,或 D 5 为了得到函数的图象,可以把函数的图象适当平移, 这个平移是() A 沿轴向右平移个单位 B 沿轴向右平移个单位 C 沿轴向左平移个单位 D 沿轴向左平移个单位 6 设则的值为() A B C D 二)填空题 1 设函数则实数的取值范围是 2 函数的定义域 3 若二次函数的图象与 x 轴交于,且函数的最大值为, 则这个二次函数的表达式是 4 函数的定义域是_____________________ 5 函数的最小值是_________________ 三)解答题 1 求函数的定义域 2 求函数的值域 3 是关于的一元二次方程的两个实根,又, 求的解析式及此函数的定义域 4 已知函数在有最大值和最小值,求、的值


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