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第九章第6讲 几何概型


第九章 计算原理、概率、随机变量及其分布

第6讲

几何概型

第九章 计算原理、概率、随机变量及其分布

1.几何概型
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度(面积或体积) 成比例 ,则称这样的概率模型为几何概率 __________________ 模型,简称几何概型.

2.几何概型的概率公式 构成事件A的区域长度(面积或体积) P(A)= 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
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第九章 计算原理、概率、随机变量及其分布

[做一做] 1.(2014· 高考湖南卷)在区间[-2,3]上随机选取一个数 X, 则 X≤1 的概率为( B ) 4 A. 5 2 C. 5 3 B. 5 1 D. 5

解析:在区间[-2,3]上随机选取一个数 X,则 X≤1,即- 3 2≤X≤1 的概率为 P= . 5
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第九章 计算原理、概率、随机变量及其分布

2.(2014· 高考辽宁卷 ) 若将一个质点随机投入如图所示的 长方形 ABCD 中,其中 AB=2,BC=1,则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是( B )

π A. 2 π C. 6

π B. 4 π D. 8
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第九章 计算原理、概率、随机变量及其分布

解析:设质点落在以 AB 为直径的半圆内为事件 A,则 P(A) 1 π ·12 阴影面积 2 π = = = . 4 长方形面积 1×2

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第九章 计算原理、概率、随机变量及其分布

辨明两个易误点 (1)几何概型中,线段的端点、图形的边框是否包含在事件 之内不影响所求结果. (2)易混淆几何概型与古典概型,两者共同点是基本事件的 发生是等可能的,不同之处是几何概型的基本事件的个数 是无限的,古典概型中基本事件的个数是有限的.
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第九章 计算原理、概率、随机变量及其分布

[做一做] 3. 如图, 正方形 ABCD 的边长为 2, △EBC 为正三角形. 若 向正方形 ABCD 内随机投掷一个质点, 则它落在△EBC 内 的概率为( B )

3 A. 2 1 C. 2

3 B. 4 1 D. 4
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第九章 计算原理、概率、随机变量及其分布

1 解析: 正方形的面积为 4, S△EBC= ×2×2×sin 60°= 3, 2 3 所以质点落在△EBC 内的概率为 . 4

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4.(2015· 湖南省五市十校联合检测)一只蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行, 若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正 方体 6 个表面的距离均大于 1.称其为“安全飞行”,则蜜 蜂“安全飞行”的概率为( C ) 4π A. 81 1 C. 27 81-4π B. 81 8 D. 27

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解析:由已知条件可知,蜜蜂只能在一个棱长为 1 的小正 方体内飞行,结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率 13 1 为 P= 3= . 3 27

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第九章 计算原理、概率、随机变量及其分布

考点一 考点二 考点三

与长度有关的几何概型(高频考点) 与体积有关的几何概型 与面积有关的几何概型

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第九章 计算原理、概率、随机变量及其分布

考点一

与长度有关的几何概型(高频考点)

与长度有关的几何概型是高考命题的热点 , 多以选择题或填 空题的形式呈现,试题难度不大,多为容易题或中档题. 高考对与长度有关的几何概型的考查主要有以下四个命题角 度: (1)与线段长度有关的几何概型; (2)与时间有关的几何概型; (3)与不等式有关的几何概型; (4)与距离有关的几何概型.

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第九章 计算原理、概率、随机变量及其分布

(1)一个路口的红绿灯,红灯的时间为 30 秒,黄灯的 时间为 5 秒,绿灯的时间为 40 秒,则某人到达路口时看见 的是红灯的概率是( B ) 1 A. 5 3 C. 5
2

2 B. 5 4 D. 5

p 1 (2)设 p 在[0,5]上随机地取值,则方程 x +px+ + =0 有 4 2 3 实数根的概率为________ . 5 (3)(2015· 河北省衡水中学调研)在面积为 S 的矩形 ABCD 内随 1 S 2 机取一点 P,则△PAB 的面积不大于 的概率是________. 4
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几何概型的概率

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第九章 计算原理、概率、随机变量及其分布

30 2 [解析] (1)以时间的长短进行度量,故 P= = . 75 5 p 1 (2)一元二次方程有实数根即 Δ = p - 4( + )= (p+1)(p- 4 2
2

5-2 3 2)≥0,解得 p≤-1 或 p≥2,故所求概率为 = . 5 5 (3) 如图,作 PE⊥AB,设矩形的边长 AB=a,BC=b,PE S ab b 1 =h,由题意得, ah≤ = ,∴h≤ ,由几何概型的概率 2 4 4 2

1 2 1 计算公式得所求概率 P= = . 1 2
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第九章 计算原理、概率、随机变量及其分布

[规律方法] 解答关于长度的几何概型问题, 只要将所有基 本事件及事件 A 包含的基本事件转化为相应长度,即可利 用几何概型的概率计算公式求解.此处的“长度”可以是 线段的长短,也可以表示时间的长短等.

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第九章 计算原理、概率、随机变量及其分布

π π 1. (1)在区间[- , ]上随机取一个 x,sin x 的值 2 2 1 1 介于- 与 之间的概率为( A ) 2 2 1 A. 3 1 C. 2 2 B. π 2 D. 3

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第九章 计算原理、概率、随机变量及其分布

(2) 在 区 间 [ - 5 , 5] 内 随机 地 取 出 一 个 数 a , 使 得
3 10 1∈{x|2x +ax-a >0}的概率为________ .
2 2

(3)(2015· 昆明三中、玉溪一中统考)设 a∈[0,10],则 a-2 函数 g(x)= 在区间(0,+∞)内为增函数的概率为 x
1 ________ . 5

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π π -(- ) 6 6 1 解析:(1)所求概率为 = ,故选 A. 3 π π -(- ) 2 2 (2)由 1∈{x|2x2+ax-a2>0}, 得 a2-a-2<0?-1<a<2, 2-(-1) 3 所以所求概率为 = . 5-(-5) 10 a-2 (3)∵函数 g(x)= 在区间(0,+∞)内为增函数,∴a-2 x a-2 <0,解得 a<2,∴函数 g(x)= 在区间(0,+∞)内为 x 2 1 增函数的概率为 = . 10 5
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第九章 计算原理、概率、随机变量及其分布

考点二

与体积有关的几何概型

(2015· 长春市第二次调研)如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,H 分别是棱 A1B1,D1C1 上的点(点 E 与 B1 不重合),且 EH∥A1D1,过 EH 的平面与棱 BB1,CC1 相交,交点分别为 F,G.设 AB=2AA1=2a,EF=a,B1E= 2B1F.在长方体 ABCDA1B1C1D1 内随机选取一点, 则该点取自 9 10 于几何体 A1ABFE?D1DCGH 内的概率为________ .

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第九章 计算原理、概率、随机变量及其分布

[解析] 因为 EH∥A1D1,所以 EH∥B1C1,所以 EH∥平 面 BCC1B1. 过 EH 的平面与平面 BCC1B1 交于 FG ,则 EH∥FG, 所以易证明几何体 A1ABFE?D1DCGH 和 EB1F? HC1G 分别是等高的五棱柱和三棱柱, 由几何概型可知, 所 V三棱柱 S△EB1F 求概率为:P=1- =1- =1- V长方体 S矩形ABB1A1 1 5 2 5 × a× a 2 5 5 9 = . 2a2 10
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第九章 计算原理、概率、随机变量及其分布

[规律方法]

对于与体积有关的几何概型问题,关键是计算

问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间),对于某些

较复杂的也可利用其对立事件去求.

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第九章 计算原理、概率、随机变量及其分布

2.在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,点 O 为底面 ABCD 的中心,在正方体 ABCDA1B1C1D1 内随机取 一点 P,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为( B ) π A. 12 π B.1- 12

π π C. D.1- 6 6 解析:点 P 到点 O 的距离大于 1 的点位于以 O 为球心,以 1

为半径的半球外. 记“点 P 到点 O 的距离大于 1”为事件 A, 1 4π 2 - × × 13 2 3 π 则 P(A)= =1- . 23 12
3
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第九章 计算原理、概率、随机变量及其分布

考点三

与面积有关的几何概型

(1)(2013· 高考陕西卷)如图,在矩形区域 ABCD 的 A, C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号的覆盖范围分别是扇 形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地 点无信号的概率是( A )

π A.1- 4 π C.2- 2

π B. -1 2 π D. 4
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第九章 计算原理、概率、随机变量及其分布

x≤0, ? ? (2)(2014· 高考湖北卷 )由不等式组 ?y≥0, 确定的平面区 ? ?y-x-2≤0
? ?x+y≤1, 域记为 Ω1,不等式组? 确定的平面区域记为 Ω2,在 ?x+y≥-2 ?

Ω1 中随机取一点,则该点恰好在 Ω2 内的概率为( D ) 1 1 A. B. 8 4 3 C. 4 7 D. 8
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[ 解析 ]

S图形DEBF (1) 取面积为测度,则所求概率为 P = = S矩形ABCD
2

第九章 计算原理、概率、随机变量及其分布

π 1 2×1-π ×1 × ×2 2- 4 2 π = =1- . 2 4 2×1 (2)如图,平面区域 Ω1 就是三角形区域 OAB,平面区域 Ω2 与平面区域 Ω1 的重叠部分就 是区域 OACD, 1 3 易知 C(- , ),故由几何概 2 2 型的概率公式,得所求概率 1 2- 4 7 S四边形OACD P= = = . 2 8 S△OAB

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第九章 计算原理、概率、随机变量及其分布

[规律方法] 求解与面积有关的几何概型的注意点: 求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的 面积以求面积,必要时可根据题意构造两个变量,把变量 看成点的坐标,找到试验全部结果构成的平面图形,以便 求解.

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第九章 计算原理、概率、随机变量及其分布

3.(1)(2015· 大连市第一次模拟 )在区间[-1,1]内随 机取两个实数 x,y,则满足 y≥x-1 的概率是( D ) 1 A. 8 8 C. 9 1 B. 9 7 D. 8

(2)(2015· 昆明市第一次摸底)设区域 Ω={(x,y)|10≤x≤2,0 ≤y≤2},区域 A={(x,y)|xy≤1,(x,y)∈Ω},在区域 Ω 中 1+2ln 2 随机取一个点,则该点恰好在区域 A 中的概率为________ . 4

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第九章 计算原理、概率、随机变量及其分布

解析:(1)点(x,y)分布在正方形区域,画出区域 x-y-1≤0, 7 可知所求的概率为 . 8 (2)在平面直角坐标系中画出区域 Ω 和 A, 则区域 Ω 的面积为 4, 区域 A 的面积分成两小块:一是小长方形的面积,二是曲线 y 1 1 = (x>0)与 x= ,x=2,y=0 所形成的曲边梯形的面积,则区 x 2 域 A 的面积
21 1 SA= ×2+? xdx=1+2ln 2 ? ?1 2

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2.根据几何概型的概率计算公式 可知该点恰好落在区域 A 中 A的面积 1+2ln 2 的概率 P= = . 4 Ω的面积

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方法思想——转化与化归思想在几何概型中的应用

(2014· 高考重庆卷)某校早上 8∶00 开始上课,假设该 校学生小张与小王在早上 7∶30~7∶50 之间到校,且每人在 该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早 5 9 分钟到校的概率为________ .(用数字作答) 32

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第九章 计算原理、概率、随机变量及其分布

[解析] 设小王到校时间为 x,小张到校时间为 y,则小张 比小王至少早到 5 分钟时满足 x-y≥5.如图,原点 O 表示 7∶30, 在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构 成的平面区域 (图中正方形区域 ),该正方形区域的面积为 400,小张比小王至少早到 5 分钟 对应的图形(图中阴影部分)的面积 1 225 为 ×15×15= ,故所求概率为 2 2 225 2 9 P= = . 400 32
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第九章 计算原理、概率、随机变量及其分布

[ 名师点评 ]

本题通过设置小张、小王两人到校的时间这两

个变量x, y, 将已知转化为 x,y所满足的不等式 ,进而转化 为坐标平面内的点 (x , y) 的相关约束条件 , 从而把时间这个 长度问题转化为平面图形的二维面积问题 ,进而转化为面积

型的几何概型问题求解.若题中涉及到三个相互独立的变量 ,
则需将其转化为空间几何体的体积问题加以求解.

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(2013· 高考四川卷)节日前夕,小李在家门前的树 上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且 都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯 以 4 秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后,它们第 一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是( C ) 1 A. 4 3 C. 4 1 B. 2 7 D. 8

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第九章 计算原理、概率、随机变量及其分布

解析:设两串彩灯同时通电后,第一次闪亮的时刻分别为 x, y,则 0≤x≤4,0≤y≤4,而事件 A“它们第一次闪亮的时刻 相差不超过 2 秒”,即|x-y|≤2,可行域如图阴影部分所示. 由几何概型概率公式得 1 ? 4 -2×?2×2×2? ? 3
2

P(A)=

42

= . 4

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