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17. 椭圆、双曲线、抛物线


第讲椭圆、双曲线、抛物线
【课前小测】
x2 y2 1.(2015· 福建)若双曲线 E: - =1 的左,右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线 E 上, 9 16 且|PF1|=3,则|PF2|等于( A.11B.9C.5D.3 2.(2014· 课标全国Ⅰ)已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直 → → 线

PF 与 C 的一个交点,若FP=4FQ,则|QF|等于( 7 5 A. B. C.3D.2 2 2 x2 y2 3.(2015· 福建)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F,短轴的一个端点为 M,直线 a b l:3x-4y=0 交椭圆 E 于 A,B 两点.若|AF|+|BF|=4,点 M 到直线 l 的距 4 离不小于 ,则椭圆 E 的离心率的取值范围是( 5 A.?0, ) ) )

?

3? 2?

3? B.? ?0,4? 3 ? D.? ?4,1?

C.?

3 ? ? 2 ,1?

y2 4.(2014· 安徽)设 F1,F2 分别是椭圆 E:x2+ 2=1(0<b<1)的左,右焦点,过点 F1 的直线交 b 椭圆 E 于 A,B 两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x 轴,则椭圆 E 的方程为________.

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【考点 1】圆锥曲线的定义与标准方程
1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|); (2)双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|); (3)抛物线:|PF|=|PM|,点 F 不在直线 l 上,PM⊥l 于 M. 2.求解圆锥曲线标准方程“先定型,后计算” 所谓“定型”,就是曲线焦点所在的坐标轴的位置;所谓“计算”,就是指利用待定系数法 求出方程中的 a2,b2,p 的值. 例1 等于( x2 y2 (1)若椭圆 C: + =1 的焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆 C 上,且|PF2|=4,则∠F1PF2 9 2 )

A.30° B.60° C.120° D.150° x2 y2 (2)(2015· 丰台模拟)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3x,它的一个 a b 焦点坐标为(2,0),则双曲线的方程为( x2 y2 A. - =1 2 6 y2 C.x2- =1 3 练1 )

x2 y2 B. - =1 6 2 x2 D. -y2=1 3

x2 y2 3 (1)(2014· 大纲全国)已知椭圆 C:2+ 2=1(a>b>0)的左、 右焦点为 F1、 F2, 离心率为 , a b 3 )

过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点.若△AF1B 的周长为 4 3,则 C 的方程为( x2 y2 A. + =1 3 2 x2 y2 C. + =1 12 8 x2 B. +y2=1 3 x2 y2 D. + =1 12 4

x2 y2 (2)(2014· 江西)过双曲线 C: 2- 2=1 的右顶点作 x 轴的垂线,与 C 的一条渐近线相交于点 a b A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线 C 的方 程为( ) x2 y2 B. - =1 7 9 x2 y2 D. - =1 12 4

x2 y2 A. - =1 4 12 x2 y2 C. - =1 8 8

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【考点 2】圆锥曲线的几何性质
1.椭圆、双曲线中,a,b,c 之间的关系 c (1)在椭圆中:a2=b2+c2,离心率为 e= = a c (2)在双曲线中:c2=a2+b2,离心率为 e= = a x2 y2 2.双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 a b b y=± x.注意离心率 e 与渐近线的斜率的关系. a x2 y2 例 2 (1)椭圆 Γ: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c.若直线 y= 3(x a b +c)与椭圆 Γ 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于________. x2 y2 (2)(2015· 西北工业大学附中四模)已知双曲线 2- 2=1 的左、右焦点分别为 F1、F2,过 F1 a b 作圆 x2+y2=a2 的切线分别交双曲线的左、右两支于点 B、C,且|BC|=|CF2|,则双曲线的渐 近线方程为( A.y=± 3x C.y=± ( 3+1)x 练2 ) B.y=± 2 2x D.y=± ( 3-1)x b 1-? ?2; a b 1+? ?2. a

x2 y2 (1)设椭圆 C:2+ 2=1(a>b>0)的左, 右焦点分别为 F1, F2, P 是 C 上的点, PF2⊥F1F2, a b )

∠PF1F2=30° ,则 C 的离心率为( A. 3 1 1 3 B. C. D. 6 3 2 3

x2 y2 (2)(2015· 重庆)设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,右顶点为 A,过 F 作 AF 的垂 a b 线与双曲线交于 B,C 两点,过 B,C 分别作 AC,AB 的垂线,两垂线交于点 D,若 D 到直 线 BC 的距离小于 a+ a2+b2,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( A.(-1,0)∪(0,1) C.(- 2,0)∪(0, 2) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,- 2)∪( 2,+∞) )

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【考点 3】直线与圆锥曲线
判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法 (1)代数法:即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于 x,y 的方程组,消去 y(或 x)得一元 方程,此方程根的个数即为交点个数,方程组的解即为交点坐标; (2)几何法:即画出直线与圆锥曲线的图象,根据图象判断公共点个数. 例3 (2015· 福建)已知点 F 为抛物线 E:y2=2px(p>0)的焦点,

点 A(2,m)在抛物线 E 上,且|AF|=3. (1)求抛物线 E 的方程; (2)已知点 G(-1,0),延长 AF 交抛物线 E 于点 B,证明:以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆,必与直线 GB 相切.

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y2 练 3 (1)(2015· 四川)过双曲线 x2- =1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条 3 渐近线于 A,B 两点,则|AB|等于( 4 3 A. 3 C.6 ) B .2 3 D.4 3

x2 y2 (2)(2015· 南开中学月考)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交 a b 椭圆于 A,B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为( x2 y2 A. + =1 45 36 x2 y2 C. + =1 27 18 x2 y2 B. + =1 36 27 x2 y2 D. + =1 18 9 )

【巩固练习】
y2 x2 1.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线上有两点 A,B,若直线 l 的方程为 x+ 2 a b x2 y2 y-2=0,且 AB⊥l,则椭圆 2+ 2=1 的离心率为( a b 1 A. 4 C. 2 2 1 B. 2 D. 3 2 )

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x2 y2 1 3 2.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,且点(1, )在该椭圆上. a b 2 2 (1)求椭圆 C 的方程; 6 2 (2)过椭圆 C 的左焦点 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若△AOB 的面积为 ,求 7 圆心在原点 O 且与直线 l 相切的圆的方程.

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【课后作业】
1. (2015· 陕西)已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1), 则该抛物线焦点坐标为( A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1) x2 y2 5 2.(2015· 广东)已知双曲线 C: 2- 2=1 的离心率 e= ,且其右焦点为 F2(5,0),则双曲线 C a b 4 的方程为( x2 y2 A. - =1 4 3 x2 y2 C. - =1 16 9 ) x2 y2 B. - =1 9 16 x2 y2 D. - =1 3 4 )

x2 y2 3.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交于 A、B 两点, a b 4 连接 AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF= ,则 C 的离心率为( 5 3 5 4 6 A. B. C. D. 5 7 5 7 x2 y2 4.已知双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 2.若抛物线 C2:x2=2py(p>0)的焦点到 a b 双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为( 8 3 A.x2= y 3 C.x2=8y 16 3 B.x2= y 3 D.x2=16y ) )

5.(2014· 课标全国Ⅱ)设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30° 的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( 3 3 9 3 63 9 A. B. C. D. 4 8 32 4 x2 y2 6.已知 P 为椭圆 + =1 上的一点,M,N 分别为圆(x+3)2+y2=1 和圆(x-3)2+y2=4 25 16 上的点,则|PM|+|PN|的最小值为________. 7.已知点 P(0,2),抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,线段 PF 与抛物线 C 的交点为 M, 过 M 作抛物线准线的垂线,垂足为 Q,若∠PQF=90° ,则 p=________. x2 y2 → 8.(2015· 黄冈模拟)已知动点 P(x,y)在椭圆 + =1 上,若 A 点的坐标为(3,0),|AM|=1, 25 16 → → → 且PM· AM=0,则|PM|的最小值为______. )

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1 9.(2015· 威海模拟)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,焦距为 2,离心率为 . 2 (1)求椭圆 C 的方程; → → (2)设直线 l 经过点 M(0,1),且与椭圆 C 交于 A,B 两点,若AM=2MB,求直线 l 的方程.

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10.如图所示,抛物线 y2=4x 的焦点为 F,动点 T(-1,m),过 F 作 TF 的垂线交抛物线于 P,Q 两点,弦 PQ 的中点为 N. (1)证明:线段 NT 平行于 x 轴(或在 x 轴上); (2)若 m>0 且|NF|=|TF|,求 m 的值及点 N 的坐标.

11.(2014· 辽宁)已知点 A(-2,3)在抛物线 C:y2=2px 的准线上,过点 A 的直线与 C 在第一 象限相切于点 B,记 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率为( ) 1 A. 2 3 C. 4 2 B. 3 4 D. 3

a2 x2 y2 12.已知圆 x2+y2= 上点 E 处的一条切线 l 过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点 F,且 16 a b → 1 → → 与双曲线的右支交于点 P,若OE= (OF+OP),则双曲线的离心率是____________. 2
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x2 y2 13.已知抛物线 y2=4x 的准线过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点且与双曲线交于 A,B a b 3 两点,O 为坐标原点,且△AOB 的面积为 ,则双曲线的离心率为 2 ______________. 14.已知椭圆 C 的长轴左、右顶点分别为 A,B,离心率 e= -1. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若 P 是椭圆 C 上的一动点,点 P 关于坐标原点的对称点为 Q,点 P 在 x 轴上的射影点为 M,连接 QM 并延长交椭圆于点 N,求证:∠QPN=90° . 2 → → ,右焦点为 F,且AF· BF= 2

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