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专题四 立体几何(学生版)


专题四 立体几何
第1讲 空间几何体

【高考真题体验】
1.(2014· 安徽)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为( )

A.21+ 3

B.18+ 3

C.21

D.18

π 2.(2015· 山东)在梯形 ABCD 中,∠ABC= ,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的 2 直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( 2π A. 3 4π B. 3 5π C. 3 ) D.2π

3.(2015· 课标全国Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如 下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问:积及为米几何?”其意思 为:“在屋内墙角处堆放米 (如图,米堆为一个圆锥的四分之一 ),米堆底部的弧长 为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体 积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放的米约有( A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 ) D.66 斛

S1 4. (2014· 江苏)设甲,乙两个圆柱的底面积分别为 S1,S2,体积分别为 V1,V2.若它们的侧面积相等,且 S2 9 V1 = ,则 的值是________. 4 V2 考情考向分析 1.以三视图为载体,考查空间几何体面积、体积的计算. 2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题.

【热点分类突破】
热点一 三视图与直观图

1.一个物体的三视图的排列规则 俯视图放在正(主)视图的下面,长度与正(主)视图的长度一样,侧(左)视图放在正(主)视图的右面,高度 与正(主)视图的高度一样,宽度与俯视图的宽度一样.即“长对正、高平齐、宽相等”. 2.由三视图还原几何体的步骤 一般先从俯视图确定底面再利用正视图与侧视图确定几何体. 例 1 (1)(2014· 课标全国Ⅰ)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图, )

则这个几何体是(

A.三棱锥

B.三棱柱

C.四棱锥 )

D.四棱柱

(2)一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是(

思维升华 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面 投影图,因此在分析空间几何体的三视图问题时,先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正视图或 侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置,再确定几何体的形 状,即可得到结果. 跟踪演练 1 (1)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是( )

(2)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为(

)

热点二 几何体的表面积与体积
空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点,解决这类问题,首先要熟练掌握各类空间几 何体的表面积和体积计算公式,其次要掌握一定的技巧,如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技 巧,把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧. 例 2 (1)(2015· 北京)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( )

A.2+ 5

B.4+ 5

C.2+2 5

D.5

(2)如图,在棱长为 6 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别在 C1D1 与 C1B1 上, 且 C1E=4,C1F=3,连接 EF,FB,DE,BD 则几何体 EFC1-DBC 的体积为( A.66 思维升华 B.68 C.70 D.72 )

(1) 求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积,然后求

和.(2)求体积时可以把空间几何体进行分解,把复杂的空间几何体的体积分解为一些简单几何体体积的 和或差.求解时注意不要多算也不要少算. 跟踪演练 2 (2015· 四川)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90° ,其正视图和侧视图都是边长为 1 的正

方形,俯视图是直角边的长为 1 的等腰直角三角形,设点 M,N,P 分别是 AB,BC,B1C1 的中点,则三 棱锥 PA1MN 的体积是________.

热点三 多面体与球
与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置, 确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,

正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球 的直径. 例3 (1)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,SA⊥平面 ABC,SA=2 3,AB=1,AC= ) C.16π D.64π

2,∠BAC=60° ,则球 O 的表面积为( A.4π B.12π

(2)(2015· 课标全国Ⅱ)已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90° ,C 为该球面上的动点,若三棱锥 OABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为( A.36π B.64π C.144π ) D.256π

思维升华 三棱锥 P-ABC 可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形: (1)P 可作为长方体上底面的一个顶点,A、B、C 可作为下底面的三个顶点; (2)P-ABC 为正四面体,则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线. 跟踪演练 3 在三棱锥 A-BCD 中,侧棱 AB,AC,AD 两两垂直,△ABC,△ACD,△ABD 的面积分别 为 2 3 6 , , ,则三棱锥 A-BCD 的外接球体积为________. 2 2 2

第2讲

空间中的平行与垂直

【高考真题体验】
1.(2015· 北京)设 α,β 是两个不同的平面,m 是直线且 m?α.则“m∥β”是“α∥β”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) )

2.(2015· 安徽)已知 m,n 是两条不同直线,α,β 是两个不同平面,则下列命题正确的是( A.若 α,β 垂直于同一平面,则 α 与 β 平行 B.若 m,n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行 C.若 α,β 不平行,则在 α 内不存在与 β 平行的直线 D.若 m,n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 3.(2015· 江苏)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知 AC⊥BC,BC=CC1.设 AB1 的中点为 D,B1C∩BC1=E. 求证:(1)DE∥平面 AA1C1C;(2)BC1⊥AB1.

考情考向分析 1.以选择题、填空题的形式考查,主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命 题的真假进行判断,属基础题. 2. 以解答题的形式考查,主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题,且多以棱柱、棱 锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查,难度中等.

【热点分类突破】
例1 (1)(2015· 广东)若直线 l1 和 l2 是异面直线,l1 在平面 α 内,l2 在平面 β 内,l 是平面 α 与平面 β 的交 ) B.l 与 l1,l2 都相交 D.l 至少与 l1,l2 中的一条相交 )

线,则下列命题正确的是( A.l 与 l1,l2 都不相交

C.l 至多与 l1,l2 中的一条相交 (2)平面 α∥平面 β 的一个充分条件是( A.存在一条直线 a,a∥α,a∥β B.存在一条直线 a,a?α,a∥β

C.存在两条平行直线 a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α D.存在两条异面直线 a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α 思维升华 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题,主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的

各种情况,以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断,必要时可以利用正方体、长 方体、棱锥等几何模型辅助判断,同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中. 跟踪演练 1 已知 m,n 为两条不同的直线,α,β 为两个不重合的平面,给出下列命题: ①若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n; ③若 α⊥β,m∥α,则 m⊥β; A.0 B.1 ②若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α; ④若 m⊥α,m∥β,则 α⊥β. C.2 D.3

热点二 空间平行、垂直关系的证明
空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化,即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、 垂直关系相互转化.

例 2 (2015· 广东)如图,三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直, PD=PC=4,AB=6,BC=3. (1)证明:BC∥平面 PDA;(2)证明:BC⊥PD; (3)求点 C 到平面 PDA 的距离.

思维升华 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行,常用方法如下: (1)证明线线平行常用的方法:一是利用平行公理,即证两直线同时和第三条直线平行;二是利用平行四 边形进行平行转换;三是利用三角形的中位线定理证线线平行;四是利用线面平行、面面平行的性质定 理进行平行转换. (2)证明线线垂直常用的方法:①利用等腰三角形底边中线即高线的性质;②勾股定理;③线面垂直的性 质:即要证两线垂直,只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可,l⊥α,a?α?l⊥a. 跟踪演练 2 如图所示,已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,△ACD 为等边三角 形,AD=DE=2AB,F 为 CD 的中点. 求证:(1)AF∥平面 BCE; (2)平面 BCE⊥平面 CDE.

热点三 平面图形的折叠问题
平面图形经过翻折成为空间图形后,原有的性质有的发生变化、有的没有发生变化,这些发生变化和没 有发生变化的性质是解决问题的关键.一般地,在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化,不在同一 个平面上的性质发生变化,解决这类问题就是要根据这些变与不变,去研究翻折以后的空间图形中的线

面关系和各类几何量的度量值,这是化解翻折问题的主要方法. 例 3 如图(1),在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,D,E 分别为 AC,AB 的中点,点 F 为线段 CD 上的一点, 将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1F⊥CD,如图(2). (1)求证:DE∥平面 A1CB; (2)求证:A1F⊥BE; (3)线段 A1B 上是否存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ?请说明理由.

思维升华

(1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口;(2)存在探索性问题可先假设存在,然

后在此前提下进行逻辑推理,得出矛盾或肯定结论. 跟踪演练 3 (2014· 广东)如图(1),四边形 ABCD 为矩形,PD⊥平面 ABCD,AB=1,BC=PC=2,作如

图(2)折叠,折痕 EF∥DC.其中点 E,F 分别在线段 PD,PC 上,沿 EF 折叠后点 P 叠在线段 AD 上的点记 为 M,并且 MF⊥CF. (1)证明:CF⊥平面 MDF; (2)求三棱锥 M-CDE 的体积.

第3讲

立体几何中的向量方法
【高考真题体验】

1.(2014· 课标全国Ⅱ)直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BCA=90° ,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,BC= CA=CC1,则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( 1 A. 10 2 B. 5 C. 30 10 ) D. 2 2

2 . (2015· 安徽 ) 如图所示,在多面体 A1B1D1DCBA 中,四边形 AA1B1B , ADD1A1 , ABCD 均为正方形,E 为 B1D1 的中点,过 A1,D,E 的平面交 CD1 于 F. (1)证明:EF∥B1C; (2)求二面角 EA 1D B1 的余弦值.

考情考向分析 以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点,与空间线面关系的证明相结合,热点为二面角的求 解,均以解答的形式进行考查,难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上.

【热点分类突破】
热点一 利用向量证明平行与垂直
设直线 l 的方向向量为 a=(a1,b1,c1),平面 α、β 的法向量分别为 μ=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3)则 有: (1)线面平行 l∥α?a⊥μ?a· μ=0?a1a2+b1b2+c1c2=0. (2)线面垂直 l⊥α?a∥μ?a=kμ?a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2. (3)面面平行 α∥β?μ∥v?μ=λv?a2=λa3,b2=λb3,c2=λc3. (4)面面垂直 α⊥β?μ⊥v?μ· v=0?a2a3+b2b3+c2c3=0.

例1

如图,在直三棱柱 ADE—BCF 中,面 ABFE 和面 ABCD 都是正方形且互相垂

直,M 为 AB 的中点,O 为 DF 的中点.运用向量方法证明: (1)OM∥平面 BCF; (2)平面 MDF⊥平面 EFCD.

思维升华

用向量知识证明立体几何问题,仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行,只需要

证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,即化归为证明线线平行,用向量方法证明直线 a∥b, 只需证明向量 a=λb(λ∈R)即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行,仍需强调 直线在平面外. 跟踪演练 1 如图所示,已知直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,△ABC 为等腰直角三角

形,∠BAC=90° ,且 AB=AA1,D、E、F 分别为 B1A、C1C、BC 的中点.求证: (1)DE∥平面 ABC; (2)B1F⊥平面 AEF.

热点二 利用空间向量求空间角

设直线 l,m 的方向向量分别为 a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).平面 α,β 的法向量分别为 μ=(a3, b3,c3),v=(a4,b4,c4)(以下相同). (1)线线夹角 π 设 l,m 的夹角为 θ(0≤θ≤ ),则 2 |a1a2+b1b2+c1c2| |a· b| cos θ= = 2 2 2 2 2. |a||b| a1+b2 1+c1 a2+b2+c2 (2)线面夹角 π 设直线 l 与平面 α 的夹角为 θ(0≤θ≤ ), 2 |a· μ| 则 sin θ= =|cos〈a,μ〉|. |a||μ| (3)面面夹角 设平面 α、β 的夹角为 θ(0≤θ<π), 则|cos θ|= 例2 |μ· v| =|cos〈μ,v〉|. |μ||v|

(2015· 江苏)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,已知 PA⊥平面 ABCD,且四边形 ABCD 为直角梯形,

π ∠ABC=∠BAD= ,PA=AD=2,AB=BC=1. 2 (1)求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值; (2)点 Q 是线段 BP 上的动点,当直线 CQ 与 DP 所成的角最小时,求线段 BQ 的长.

思维升华

(1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤:①建立恰当的空间直角坐标系;②求出相关

点的坐标;③写出向量坐标;④结合公式进行论证、计算;⑤转化为几何结论.(2)求空间角注意:①两 条异面直线所成的角 α 不一定是直线的方向向量的夹角 β,即 cos α=|cos β|.②两平面的法向量的夹角不 一定是所求的二面角,有可能为两法向量夹角的补角.③直线和平面所成的角的正弦值等于平面法向量 与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值,即注意函数名称的变化. 跟踪演练 2 (2014· 福建)在平面四边形 ABCD 中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD.

将△ABD 沿 BD 折起,使得平面 ABD⊥平面 BCD,如图所示. (1)求证:AB⊥CD; (2)若 M 为 AD 中点,求直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值.

热点三 利用空间向量求解探索性问题
存在探索性问题的基本特征是要判断在某些确定条件下的某一数学对象 (数值、图形、函数等)是否存在 或某一结论是否成立.解决这类问题的基本策略是先假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可 其中的一部分结论,然后在这个前提下进行逻辑推理,若由此导出矛盾,则否定假设;否则,给出肯定 结论. 例 3 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=BC=2AA1,∠ABC=90° ,D 是 BC 的中点. (1)求证:A1B∥平面 ADC1; (2)求二面角 C1-AD-C 的余弦值; (3)试问线段 A1B1 上是否存在点 E,使 AE 与 DC1 成 60° 角?若存在,确定 E 点位置; 若不存在,说明理由.

思维升华

空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题,它无需进行复杂的作图、论证、推

理,只需通过坐标运算进行判断.解题时,把要成立的结论当作条件,据此列方程或方程组,把“是否 存在”问题转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围内的解”等,所以为使问题的解决更简单、有 效,应善于运用这一方法. 跟踪演练 3 如图所示,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,MD⊥平面 ABCD, NB⊥平面 ABCD,且 MD=NB=1,E 为 BC 的中点.

(1)求异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值; (2)在线段 AN 上是否存在点 S,使得 ES⊥平面 AMN?若存在,求线段 AS 的长;若不存在,请说明理由.

江西省莲塘一中 2016 届理科数学二轮专题测试卷
专题四 立体几何
一.选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) → 3→ 1→ 1→ 1.已知平面 ABC,点 M 是空间任意一点,点 M 满足条件OM= OA+ OB+ OC,则直线 AM( 4 8 8 A.与平面 ABC 平行 C.是平面 ABC 的垂线 B.是平面 ABC 的斜线 D.在平面 ABC 内 )

2 . (2015· 哈尔滨模拟 )某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正视图中的 x 的值是 ( )

A.2

9 B. 2

3 C. 2

D.3

3.如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,M、N 分别为 A1B 和 AC 上的 点,A1M=AN= A.相交 2 a,则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是( 3 B.平行 C.垂直 ) D.不能确定 )

4.如图是棱长为 2 的正方体的表面展开图,则多面体 ABCDE 的体积为(

A.2

2 B. 3

4 C. 3

8 D. 3 )

5.(2015· 辽宁师范大学附属中学期中)已知平面 α、β、γ,则下列命题中正确的是(

A.α⊥β,α∩β=a,a⊥b,则 b⊥α C.α∩β=a,β∩γ=b,α⊥β,则 a⊥b

B.α⊥β,β⊥γ,则 α∥γ D.α∥β,β⊥γ,则 α⊥γ

6.如图,三棱锥 A-BCD 的棱长全相等,E 为 AD 的中点,则直线 CE 与 BD 所成角 的余弦值为( A. 3 6 ) B. 3 2 C. 33 6 1 D. 2

7.已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长与底面边长相等,则 AB1 与侧面 ACC1A1 所 成角的正弦值等于( A. 6 4 ) B. 10 4 C. 2 2 D. 3 2

8.三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的表面上,SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,又 SA=AB=BC=1,则球 O 的表面积为( A. 3 π 2 ) 3 B. π 2 C.3π D.12π

9.在平行四边形 ABCD 中, AC ? CB ? 0 , 2BC ? AC ? 4 ? 0 ,若将其沿 AC 折成直二面角

??? ? ??? ?

??? ?2 ??? ?2

D ? AC ? B ,则三棱锥 D ? AC ? B 的外接球的表面积为(
A. 16? B. 8? C. 4?

) D. 2?

10.某工件的三视图如图 3 所示,现将该工件通过切割,加工成一个体积尽 可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原 工件材料的利用率为(材料利用率=

新工件的体积 ) ( 原工件的体积
D.



A.

8 9?

B.

16 9?

C.

4( 2 ? 1)3

12( 2 ?1) 3

?

?

11.(2014· 四川)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 O 为线段 BD 的中点.设点 P 在线段 CC1 上,直线 OP 与平面 A1BD 所成的角为 α,则 sinα 的取值范围是( A.[ 3 ,1] 3 B.[ 6 ,1] 3 C.[ 6 2 2 , ] 3 3 )

2 2 D.[ ,1] 3

12.如 图,等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于 G ,已知 ?A?ED 是△ ADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形,下列命题中,错误的是( A.动点 A? 在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上 C.三棱锥 A? ? EFD 的体积有最大值 )

B.恒有平面 A?GF ⊥平面 BCDE D.异面直线 A?E 与 BD 不可能垂直

二.填空题(共 4 小题,每题 5 分,满分 20 分) 13.有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所

示),∠ABC=45° ,AB=AD=1,DC⊥BC,则这块菜地的面积为________. → → → → → → → 14.已知 ABCD-A1B1C1D1 为正方体,①(A1A+A1D1+A1B1)2=3A1B12;②A1C· (A1B1-A1A)=0;③向量 → → → → → AD1与向量A1B的夹角是 60° ;④正方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积为|AB· AA1· AD|.其中正确命题的序号是 ________. 15.已知矩形 ABCD 的面积为 8,当矩形周长最小时,沿对角线 AC 把△ACD 折起,则三棱锥 D-ABC 的外接球的表面积等于________. 16.如图,侧棱长为 2 3的正三棱锥 V-ABC 中,∠AVB=∠BVC=∠CVA=40° ,过 A 作截面△AEF,则 截面△AEF 的周长的最小值为____________. 三.解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分) 17.如图,在底面是矩形的四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,E,F 分别是 PC,PD 的中点,PA=AB =1,BC=2. (1)求证:EF∥平面 PAB; (2)求证:平面 PAD⊥平面 PDC.

18.(2015· 山东)如图,三棱台 DEF-ABC 中,AB=2DE,G,H 分别为 AC,BC 的中点. (1)求证:BD∥平面 FGH; (2)若 CF⊥BC,AB⊥BC,求证:平面 BCD⊥平面 EGH.

19.如图,在 Rt△ABC 中,AB=BC=4,点 E 在线段 AB 上.过点 E 作 EF∥BC 交 AC 于点 F,将△AEF 沿 EF 折起到△PEF 的位置(点 A 与 P 重合),使得∠PEB=30° . (1)求证:EF⊥PB; (2)试问:当点 E 在何处时,四棱锥 P—EFCB 的侧面 PEB 的面积最大?并求此时四棱锥 P—EFCB 的体 积.

π 20.(2015· 重庆)如图,三棱锥 P-ABC 中,PC⊥平面 ABC,PC=3,∠ACB= .D,E 分别为线段 AB,BC 2 上的点,且 CD=DE= 2,CE=2EB=2. (1)证明:DE⊥平面 PCD; (2)求二面角 APDC 的余弦值.

21.如图,在三棱锥 P—ABC 中,AC=BC=2,∠ACB=90° ,AP=BP=AB,PC⊥AC,点 D 为 BC 的中 点. (1)求二面角 A—PD—B 的余弦值; 1 (2)在直线 AB 上是否存在点 M,使得 PM 与平面 PAD 所成角的正弦值为 ,若存在, 6 求出点 M 的位置;若不存在,说明理由.

22. 【2015 高考湖北】 《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马, 将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马 P ? ABCD 中,侧棱 PD ? 底面 ABCD ,且

PD ? CD ,过棱 PC 的中点 E ,作 EF ? PB 交 PB 于点 F ,连接 DE , DF , BD, BE.
(Ⅰ)证明: PB ? 平面DEF .试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写 出结论) ;若不是,说明理由;
[来源:学+科+网]

(Ⅱ)若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为

π DC ,求 的值. 3 BC


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