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正弦、余弦定理及其应用(附答案)


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正弦、余弦定理及其应用

正弦、余弦定理及其应用
一、选择题(共 12 小题) 1、线段 AB 外有一点 C,∠ABC=60°,AB=200 km,汽车以 80 km/h 的速度由 A 向 B 行驶,同时摩托车以 50 km/h 的 速度由 B 向 C 行驶,则运动开始____ h 后,两车的距离最小. ( ) A、

C、 B、1 D、2

2、在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,下列命题: ① ? >0,则△ ABC 为钝角三角形.

②若 b= csinB,则 C=45°. 2 2 2 ③若 a =b +c ﹣bc,则 A=60°. ④若已知 E 为△ ABC 的边 BC 的中点,△ ABC 所在平面内有一点 P,满足 中正确命题的个数是( ) A、1 B、2 C、3 D、4 3、△ ABC 中,若 a=4,b=3,c=2,则△ ABC 的外接圆半径为( A、 C、2 D、 B、 ,设 ,则 λ=2,其



4、在锐角△ ABC 中,若 C=2B,则 的范围( A、 C、 (0,2) B、 D、



5、△ ABC,sinA+cosA= A、 C、

,AC=2,AB=3,则△ ABC 的面积为: ( B、 D、



6、在△ ABC 中,a=x,b=2,B=45°,若此三角形有两解,则 x 的取值范围是( A、x>2 B、x<2



C、 D、 7、已知△ ABC 的三个角分别为 A,B,C,满足 sinA:sinB:sinC=2:3:4,则 sinA 的值为( A、 C、 B、 D、



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的最大值为( )

8、已知△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,且 BC 边上的高为 ,则

A、2 C、2

B、 D、4 的左支上,

9、在平面直角坐标系 xoy 中,已知△ ABC 的顶点 A(﹣6,0)和 C(6,0) ,顶点 B 在双曲线 则 A、 C、 10、下面命题: ①当 x>0 时, 的最小值为 2; 等于( B、 D、 )

②过定点 P(2,3)的直线与两坐标轴围成的面积为 13,这样的直线有四条; ③将函数 y=cos2x 的图象向右平移 个单位,可以得到函数 y=sin(2x﹣ )的图象;

④已知△ ABC,∠A=60°,a=4,则此三角形周长可以为 12. 其中正确的命题是( ) A、①②④ B、②④ C、②③ D、③④ 11、北京 2008 年第 29 届奥运会开幕式上举行升旗仪式,在坡度 15°的看台上,同一列上的第一排和最后一排测得 旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°,看台上第一排和最后一排的距离 米(如图所示) ,旗杆底部与第一排在一 个水平面上,已知国歌长度约为 50 秒,升旗手匀速升旗的速度为( )

A、 (米/秒) C、 (米/秒)

B、

(米/秒)

D、 (米/秒)

12、有一山坡,坡角为 30°,若某人在斜坡的平面上沿着一条与山坡底线成 30°角的小路前进一段路后,升高了 100 米,则此人行走的路程为( ) A、300m B、400m C、200m D、200 m

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二、填空题(共 12 小题) 13、在△ ABC 中,已知 a,b,c 是角 A,B,C 的对应边,①若 a>b,则 f(x)=(sinA﹣sinB)?x 在 R 上是增函数; ②若 a ﹣b =(acosB+bcosA) ,则△ ABC 是 Rt△ ; ③cosC+sinC 的最小值为 ⑤若(1+tanA) (1+tanB)=2,则
2 2 2



④若 cosA=cosB,则 A=B;

,其中正确命题的序号是 _________ .

14、设函数 f(x)=3sinx+2cosx+1.若实数 a、b、c 使得 af(x)+bf(x﹣c)=1 对任意实数 x 恒成立,则 等于 _________ .

的值

15、在△ ABC 中,

,且△ ABC 的面积 S=asinC,则 a+c 的值= _________ .

16、已知 a,b,c 分别是△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,向量 = 且 ,则角 A,B 的大小分别是 _________ .

,若



17、如图,在海岸上 A、C 两地分别测得小岛 B 在 A 地的北偏西 α 方向,在 C 地的北偏西 ,则 C 与 B 的距离是 _________ km.

﹣α 方向,且

18、在△ ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c,若 a:b:c=3:5:6,则

=

_________



19、已知△ ABC 的面积为 S,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 4S=a +b ﹣c ,那么 C=

2

2

2

_________ .

20、在△ ABC 中,已知 a +b ﹣ab﹣c =0,且

2

2

2

,则 A= _________ .

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2

21、在△ ABC 中,∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c,若 A=60°,b、c 分别是方程 x ﹣7x+11=0 的两个根,则 a 等于 _________ .

22、如图,已知△ ABC 内接于⊙O,点 D 在 OC 的延长线上,AD 切⊙O 于 A,若∠ABC=30°,AC=2,则 AD 的长为 _________ .

23、有一广告气球,直径为 6 m,如图所示,放在公司大楼的上空,当行人仰望气球的中心的仰角∠BAC=30°时,测 得气球的视角 θ=2°,若 θ 的弧度数很小时,可取 sinθ=θ,由此可估计该气球的高 BC 约为 _________ .

24、将边长为 1 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记 最大值是 _________ .

,则 S 的

三、解答题(共 6 小题) 25 、 ( 2008? 湖 南 ) 已 知 △ ABC 的 外 接 圆 的 半 径 为 , (I)求角 C; (II)求三角形 ABC 的面积 S 的最大值.

,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,又向量 ,且 ,

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26、 (2006?江西)在锐角△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 (1)求 (2)若 a=2, 的值; ,求 b 的值.

27、 (2010?重庆)设函数 f(x)=cos(x+ π)+2

,x∈R.

(1)求 f(x)的值域; (2)记△ ABC 内角 A、B、C 的对边长分别为 a,b,c,若 f(B)=1,b=1,c=

,求 a 的值.

28、 (2009?山东)已知函数 f(x)=2sinxcos (Ⅰ)求 θ 的值;

2

+cosxsinθ﹣sinx(0<θ<π) ,在 x=π 处取最小值.

(Ⅱ)在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a=1,b=

,f(A)=

,求角 C.

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29、 (2007?浙江)已知△ ABC 的周长为 (I)求边 AB 的长; +1,且 sinA+sin B= sin C

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(Ⅱ)若△ ABC 的面积为 sin C,求角 C 的度数.

30、 (2005?湖北)在△ ABC 中,已知 AB=

,cosB=

,AC 边上的中线 BD=

,求 sinA 的值.

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答案与评分标准 一、选择题(共 12 小题) 1、线段 AB 外有一点 C,∠ABC=60°,AB=200 km,汽车以 80 km/h 的速度由 A 向 B 行驶,同时摩托车以 50 km/h 的 速度由 B 向 C 行驶,则运动开始____ h 后,两车的距离最小. ( ) A、 C、 B、1 D、2

考点:函数模型的选择与应用;余弦定理。 专题:计算题;作图题。 分析:如图:设 th 后,两车距离最小,则:

求两车 D, E 的距离最小, 可以转化为在△ BDE 中, 已知 BD, BE, ∠B. 求 DE, 用余弦定理即可.

解答:解:如图所示,设 th 后,汽车由 A 行驶到 D,摩托车由 B 行驶到 E,则 t≤2.5, ∴AD=80t,BE=50t.因为 AB=200,所以 BD=200﹣80t,问 题就是求 DE 最小时 t 的值. 由余弦定理:DE =BD +BE ﹣2BD?BEcos60° 2 2 =(200﹣80t) +2500t ﹣(200﹣80t)?50t 2 =12900t ﹣42000t+40000.二次函数求最小值即 当 t= 时,DE 最小.
2 2 2

故答案为:C 点评:本题考查建立数学模型的能力,根据题意,建立三角形,由余弦定理,得二次函数模型,求二次函数的最值 问题,是基础题. 2、在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,下列命题: ① ? >0,则△ ABC 为钝角三角形.

②若 b= csinB,则 C=45°. 2 2 2 ③若 a =b +c ﹣bc,则 A=60°. ④若已知 E 为△ ABC 的边 BC 的中点,△ ABC 所在平面内有一点 P,满足 中正确命题的个数是( ) A、1 B、2 C、3 D、4 考点:数量积表示两个向量的夹角;正弦定理;余弦定理。 专题:综合题。 分析:利用向量的数量积公式及向量夹角与三角形内角的关系,判断出①的对错; 利用正弦定理判断出②的对错; 利用余弦定理判断出③的对错; 利用三角形重心满足的向量关系及重心的度量关系判断出④的对错. ,设 ,则 λ=2,其

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解答:解:对于①,∵

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所以两个向量的夹角为锐角,又两个向量的夹角为三角形的内角 B 的补角,所以

B 为钝角,所以△ ABC 为钝角三角形,故①对 对于②,由正弦定理得 sinB= sinCsinB,所以 sinC=
2 2

,所以 C=45°或 135°,故②错
2 2

对于③,由三角形中的余弦定理,得 b +c ﹣2bccosA=b +c ﹣bc 即

则 A=60°,故③对

对于④,∵

∴P 为三角形的重心,所以

,∴λ=2,故④对.

故选 C 点评:在三角形中,当条件中出现边的平方关系或角的余弦形式时常利用余弦定理解决;当条件中出现正弦形式时 常考虑正弦定理解决;三角形的重心满足的向量关系:以重心为始点,三角形的三顶点为终点对应的三向量和为零 向量. 3、△ ABC 中,若 a=4,b=3,c=2,则△ ABC 的外接圆半径为( ) A、 C、2 D、 B、

考点:正弦定理;正弦定理的应用。 专题:计算题。 分析:首先根据余弦定理利用三边求得 cosA 的值,进而利用同角三角函数基本关系求得 sinA 的值,最后利用正弦 定理求得外接圆半径. 解答:解:由余弦定理可知 cosA= ∴sinA= = = = =﹣

∴由正弦定理可知外接圆半径 r=

故选 A 点评:本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用.正弦定理和余弦定理及其变形公式是解三角形问题中常用的公 式,故应熟练记忆. 4、在锐角△ ABC 中,若 C=2B,则 的范围( A、 B、 C、 (0,2) D、 考点:正弦定理;函数的值域。 专题:计算题。 分析:由正弦定理得 解答:解:由正弦定理得 即有 解得 ,再根据△ ABC 是锐角三角形,求出 B,cosB 的取值范围即可. ,∵△ABC 是锐角三角形,∴三个内角均为锐角, ,0<π﹣A﹣B=π﹣3B< ,余弦函数在此范围内是减函数.故 <cosB< .∴ < < )

故选 A 点评:本题考查了二倍角公式、正弦定理的应用、三角函数的性质.易错点是 B 角的范围确定不准确.

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5、△ ABC,sinA+cosA= A、 C、 ,AC=2,AB=3,则△ ABC 的面积为: ( B、 D、 )

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考点:正弦定理的应用;同角三角函数间的基本关系。 专题:计算题。 分析:先把题设中的等式平方后求得 sin2A 的值,进而根据 sinA+cosA>0 推断出 A 的范围,进而确定 A 的值,最后 利用三角形面积公式求得答案. 解答:解:∵sinA+cosA= ∴1+2sinAcosA= ∴sin2A=﹣ ∵sinA+cosA= ∴0<A< ∴0<2A< ∴2A= ∴A= ∴△ABC 的面积为 AC?AB?sinA= 故选 C 点评:本题主要考查了正弦定理和同角三角函数的基本关系的应用.考查了学生分析问题和解决问题的能力. 6、在△ ABC 中,a=x,b=2,B=45°,若此三角形有两解,则 x 的取值范围是( ) A、x>2 B、x<2 C、 D、 考点:正弦定理的应用。 专题:计算题。 分析: 利用正弦定理和 b 和 sinB 求得 a 和 sinA 的关系, 利用 B 求得 A+C; 要使三角形两个这两个值互补先看若 A≤45°, 则和 A 互补的角大于 135°进而推断出 A+B>180°与三角形内角和矛盾; 进而可推断出 45°<A<135°若 A=90, 这样补 角也是 90°,一解不符合题意进而可推断出 sinA 的范围,利用 sinA 和 a 的关系求得 a 的范围. 解答:解: = =2 >0 ,

∴a=2 sinA A+C=180°﹣45°=135° A 有两个值,则这两个值互补 若 A≤45° 则和 A 互补的角大于 135° 这样 A+B>180°,不成立 ∴45°<A<135° 又若 A=90,这样补角也是 90°,一解

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所以 <sinA<1

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a=2 sinA 所以 2<a<2 故选 C 点评:本题主要考查了正弦定理的应用.考查了学生分析问题和解决问题的能力. 7、已知△ ABC 的三个角分别为 A,B,C,满足 sinA:sinB:sinC=2:3:4,则 sinA 的值为( A、 C、 B、 D、



考点:余弦定理;同角三角函数间的基本关系。 专题:计算题。 分析:根据正弦定理 = = 化简已知的等式,得到三角形三边之比,根据比例设出三角形的三边,然后

利用余弦定理表示出 cosA,把表示出的三边代入求出 cosA 的值,由 A 为三角形的内角,利用同角三角函数间的基 本关系求出 sinA 的值即可. 解答:解:根据正弦定理化简已知的等式得: a:b:c=2:3:4,设 a=2k,b=3k,c=4k, 根据余弦定理得:cosA= 又 A 为三角形的内角, 则 sinA= = . = ,

故选 A 点评:此题考查了正弦、余弦定理,以及同角三角函数间的基本关系,正弦、余弦定理很好的建立了三角形的边角 关系,熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键. 8、已知△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,且 BC 边上的高为 ,则 的最大值为( )

A、2 B、 C、2 D、4 考点:余弦定理;函数的最值及其几何意义;在实际问题中建立三角函数模型。 分析: 由题意知 cosA= (A+ ) ,当 A= 时取得最大值 2 , a =2bcsinA, 所以 b +c =2bc (cosA+sinA) , 由此可知 .
2 2 2

=2 (cosA+sinA) =2

sin

解答:解:

,这个形式很容易联想到余弦定理:cosA=



而条件中的“高”容易联想到面积, 即 a =2bcsinA②,将②代入①得:
2

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b +c =2bc(cosA+sinA) ∴ =2(cosA+sinA)=2 sin(A+ ) ,当 A= 时取得最大值 2 ,
2 2

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故选 A. 点评:本题考查余弦定理及其应用,解题时要认真审题,仔细解答. 9、在平面直角坐标系 xoy 中,已知△ ABC 的顶点 A(﹣6,0)和 C(6,0) ,顶点 B 在双曲线 则 A、 C、 等于( B、 D、 ) 的左支上,

考点:三角形中的几何计算。 专题:计算题。 分析:由题意可知双曲线的焦点坐标就是 A,B,利用正弦定理以及双曲线的定义化简 即可得到答案.

解 答 : 解 : 由 题 意 可 知 双 曲 线 的 焦 点 坐 标 就 是 A , B , 由 双 曲 线 的 定 义 可 知 BC ﹣ AB=2a=10 , c=6 , = = = ;

故选 D. 点评:本题是基础题,考查双曲线的定义,正弦定理的应用,考查计算能力,常考题型. 10、下面命题: ①当 x>0 时, 的最小值为 2;

②过定点 P(2,3)的直线与两坐标轴围成的面积为 13,这样的直线有四条; ③将函数 y=cos2x 的图象向右平移 个单位,可以得到函数 y=sin(2x﹣ )的图象;

④已知△ ABC,∠A=60°,a=4,则此三角形周长可以为 12. 其中正确的命题是( ) A、①②④ B、②④ C、②③ D、③④ 考点:三角形中的几何计算;恒过定点的直线。 专题:应用题。 分析:①由于基本不等式等号成立的条件不具备,故 的最小值大于 2,故①不正确.
2

②设过定点 P(2,3)的直线的方程,求出它与两坐标轴的交点,根据条件可得 4k +14k+9=0,或 2 4k ﹣38k+9=0. 而这两个方程的判别式都大于 0,故每个方程都有两个解,故满足条件的直线有四条. ③将函数 y=cos2x 的图象向右平移 个单位,可以得到函数 y﹣sin(2x﹣ )的图象,故③不正确.

④若△ ABC 中,∠A=60°,a=4,则此三角形周长可以为 12,此时,三角形是等边三角形. 解答:解:①∵ 故①不正确. ②设过定点 P(2,3)的直线的方程为 y﹣3=k(x﹣2) ,它与两坐标轴的交点分别为 (2﹣ ,0) , (0,3﹣2k) , 根据直线与两坐标轴围成的面积为 13= ,化简可得 4k +14k+9=0,或
2

≥2

=2, (当且仅当 x=0 时,等号成立) ,故当 x>0 时,

的最小值大于 2,

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2

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4k ﹣38k+9=0. 而这两个方程的判别式都大于 0,故每个方程都有两个解,故满足条件的直线有四条,故② 正确. ③将函数 y=cos2x 的图象向右平移 =sin( )=﹣sin(2x﹣ 个单位,可以得到函数 y=cos2( x﹣ )的图象,故③不正确. )=sin[ ﹣(2x﹣ )]

④已知△ ABC,∠A=60°,a=4,则此三角形周长可以为 12,此时,三角形是等边三角形,故④正确. 故选 B. 点评:本题基本不等式取等号的条件,过定点的直线,三角函数的图象变换,诱导公式的应用,检验基本不等式等 号成立的条件,是解题的易错点. 11、北京 2008 年第 29 届奥运会开幕式上举行升旗仪式,在坡度 15°的看台上,同一列上的第一排和最后一排测得 旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°,看台上第一排和最后一排的距离 米(如图所示) ,旗杆底部与第一排在一 个水平面上,已知国歌长度约为 50 秒,升旗手匀速升旗的速度为( )

A、 (米/秒) C、 (米/秒)

B、

(米/秒)

D、 (米/秒)

考点:解三角形的实际应用。 专题:计算题;应用题。 分析: 先根据题意可知∠DAB, ∠ABD 和∠ADB, AB, 然后在△ ABD 利用正弦定理求得 BD, 进而在 Rt△ BCD 求得 CD, 最后利用路程除以时间求得旗手升旗的速度. 解答:解:由条件得△ ABD 中,∠DAB=45°,∠ABD=105°,∠ADB=30°,AB=10 , 由正弦定理得 BD= 则在 Rt△ BCD 中,CD=20 所以速度 V= = 米/秒 ?AB=20 ×sin60°=30

故选 A. 点评:本题主要考查了解三角形的实际应用.考查了学生分析问题和基本的推理能力,运算能力. 12、有一山坡,坡角为 30°,若某人在斜坡的平面上沿着一条与山坡底线成 30°角的小路前进一段路后,升高了 100 米,则此人行走的路程为( ) A、300m B、400m C、200m D、200 m 考点:解三角形的实际应用。 专题:计算题。 分析: 设 AD 为山坡底线, AB 为行走路线, BC 垂直水平面. 则 BC, ∠BDC, ∠BAD 可知, 进而根据 BC 垂直水平面. 判 断出∠BCD=90°,进而根据 BC,sin30°求得 BD,进而在 Rt△ ABD 中,利用 BD 和∠BDA 求得 AB. 解答:解:如图,AD 为山坡底线,AB 为行走路线,BC 垂直水平面. 则 BC=100,∠BDC=30°,∠BAD=30°, ∴BD=200,AB=2BD=400 米. 故选 B

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点评:本题主要考查了解三角形的实际应用.考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力. 二、填空题(共 12 小题) 13、在△ ABC 中,已知 a,b,c 是角 A,B,C 的对应边,①若 a>b,则 f(x)=(sinA﹣sinB)?x 在 R 上是增函数; ②若 a ﹣b =(acosB+bcosA) ,则△ ABC 是 Rt△ ; ③cosC+sinC 的最小值为 ⑤若(1+tanA) (1+tanB)=2,则 ,其中正确命题的序号是 ①②④ .
2 2 2



④若 cosA=cosB,则 A=B;

考点:函数单调性的判断与证明;余弦定理的应用。 专题:计算题;综合题。 分析:①根据三角形中大边对大角以及正弦定理即可得到 f(x)=(sinA﹣sinB)?x 在 R 上是增函数;②利用正弦定 理和三角恒等变形对 a ﹣b =(acosB+bcosA) ,进行化简得到 A= cosC+sinC 化简得
2 2 2

,故△ ABC 是 Rt△ ;③利用三角恒等变形对

,根据角范围分析即可得到答案;④利用余弦函数的单调性即可证明结论;⑤

利用两角和的正切公式的变形 tanB+tanA=tan(A+B) (1﹣tanAtanB) ,进行化简即可求得结果. 解答:解:①∵a>b,根据正弦定理得 sinA>sinB, ∴f(x)=(sinA﹣sinB)?x 在 R 上是增函数,故正确; ②∵a ﹣b =(acosB+bcosA) 2 2 2 2 2 2 2 ∴a ﹣b =(acosB+bcosA) =a cos B+2abcosBcosA+b cos A, 2 2 2 2 整理得 a sin B=2abcosBcosA+b (1+cos A) , 2 2 2 2 即 sin Asin B=2sinAsinBcosBcosA+sin B(1+cos A) , sinA(sinAsinB﹣cosBcosA)=sinB+cosA(sinAcosB+sinBcosA) sinAcosC=sinB+cosAsinC,∴sin(A﹣C)=sin(A+C) , ∴A﹣C+A+C=π,即 A= ③cosC+sinC= ∵0<C<π,∴ ∴cosC+sinC ,故 cosC+sinC 的最小值为 ;错; ④∵cosA=cosB,且 0<A、B<π,y=cosx 在[0,π]上单调递减, ∴A=B;故正确; ⑤∵(1+tanA) (1+tanB)=2, ∴1+tanAtanB+tanB+tanA=2,即 tan(A+B) (1﹣tanAtanB)+tanAtanB=1 ∴tan(A+B)=1,∴ ,故错; ,故△ ABC 是 Rt△ ;正确; ,
2 2 2

故①②④正确. 故答案为:①②④ 点评:此题考查正弦定理的应用以及三角恒等变形等基础知识,综合性强,利用三角函数的单调性求最值时,注意 利用三角恒等变形对要求函数化简为 y=Asin(? x+φ) ,根据角范围分析求得函数的最值,是常考知识点,也是易错 点,同时考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力,属中档题. 14、设函数 f(x)=3sinx+2cosx+1.若实数 a、b、c 使得 af(x)+bf(x﹣c)=1 对任意实数 x 恒成立,则 等于 ﹣1 . 考点:函数恒成立问题;正弦定理。 专题:计算题。 的值

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分析:作为一个选择题,可以令 C 取特殊值来求值,作为一个解答题,需将 af(x)+bf(x﹣c)=1 用和差角公式进 行变形,利用恒成立的意义转化成关于 a,b,c 的方程,解出 a,b,c 的值,进而求解. 解答:解:令 c=π,则对任意的 x∈R,都有 f(x)+f(x﹣c)=2,于是取 a=b= ,c=π, 则对任意的 x∈R,af(x)+bf(x﹣c)=1,由此得 一般地,由题设可得 f(x)= =﹣1. sin(x+?﹣c)+1,其中 0<?< 且 tan?= , ,

sin(x+?)+1,f(x﹣c)=

于是 af(x)+bf(x﹣c)=1 可化为 asin(x+?)+ bsin(x+?﹣c)+a+b=1,即 asin(x+?)+ bsin(x+?)cosC﹣ bcos(x+?)sinC+a+b﹣1=0, 所以 (a+bcosC)sin(x+?)﹣ sinCcos(x+?)++a+b﹣1=0,

由已知条件,上式对任意 x∈R 恒成立,故必有



若 b=0,则由(1)知 a=0,显然不满足(3)式,故 b≠0.所以,由(2)知 sinc=0,故 c=2kπ+π 或 c=2kπ(k∈Z) .当 c=2kπ 时,cosc=1,则(1) 、 (3)两式矛盾,故 c=2kπ+π(k∈Z) ,cosc=﹣1.由(1) 、 (3)知 a=b= ,所以 ﹣1. 点评:本题考查三角函数和差角公式的运用与恒成立条件的转化.解题过程中对不确定的情况要善于分类讨论. 15、在△ ABC 中, ,且△ ABC 的面积 S=asinC,则 a+c 的值= 4 . =

考点:二倍角的余弦;三角形中的几何计算。 专题:计算题。 分 析 : 首 先 根 据 三 角 形 的 面 积 公 式 求 出

b

的 值 , 然 后 将 所 给 的 式 子 写 成

+ acosC+ccosA=b=2,即可求出答案. 解答:解:∵S= absinC=asinC ∴b=2 ∴acos
2

=3 进 而 得 到 acosC+ccosA+a+c=6 , 再 根 据 在 三 角 形 中

+ccos

2

=3



+

=3

即 a(cosC+1)+c(cosA+1)=6 ∴acosC+ccosA+a+c=6 ∵acosC+ccosA=b=2 ∴2+a+c=6 ∴a+c=4 故答案为:4. 点评:本题考查了二倍角的余弦以及三角形中的几何运算,解题的关键是巧妙的将所给的式子写成 =3 的形式,属于中档题. ,若 ,

+

16、已知 a,b,c 分别是△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,向量 =

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且 ,则角 A,B 的大小分别是 A= ;B=

正弦、余弦定理及其应用


考点:正弦定理;数量积判断两个平面向量的垂直关系。 专题:计算题。 分析:由向量数量积的意义,有 ,进而可得 A,再根据正弦定理,可得
2

sinAcosB+sinBcosA=sinC sinC,结合和差公式的正弦形式,化简可得 sinC=sin C,可得 C,由 A、C 的大小,可得 B. 解答:解:根据题意, 由正弦定理可得,sinAcosB+sinBcosA=sinCsinC, 又由 sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC, 化简可得,sinC=sin C, 则 C= 则 , , ;B= .
2



故答案为:A=

点评:本题考查向量数量积的应用,判断向量的垂直, ,以及两角和正弦函数的应用,解题时,注意向量的正确表 示方法. 17、如图,在海岸上 A、C 两地分别测得小岛 B 在 A 地的北偏西 α 方向,在 C 地的北偏西 ,则 C 与 B 的距离是 30 km. ﹣α 方向,且

考点:正弦定理。 专题:计算题。 分析:在△ ABC 中,先求得 B 与 C,再利用正弦定理即可求解. 解答:解:由题意,在△ ABC 中,由正弦定理得 ,∴ ,



,∴AC=30

故答案为 30. 点评:本题主要考查了方向角的定义,是一个基础的内容.是中档题,考查利用正弦定理、余弦定理在实际问题中 的应用,注意选择正确的三角形以及合理的定理解答是解好题目的关键,考查计算能力. 18、在△ ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c,若 a:b:c=3:5:6,则 考点:正弦定理的应用。 专题:计算题。 分析:通过 a:b:c=3:5:6,利用正弦定理推出 , 的比值,即可得到表达式的值. = .

解答:解:在△ ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c,若 a:b:c=3:5:6, 所以 ; ;

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所以 故答案为: . = =1 = ;

正弦、余弦定理及其应用

点评:本题考查三角形中正弦定理的应用,考查计算能力,恰当利用比例关系是解题的关键. 19、已知△ ABC 的面积为 S,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 4S=a +b ﹣c ,那么 C=
2 2 2



考点:余弦定理。 专题:计算题。 分析:利用余弦定理及三角形的面积公式对已知条件进行化简可得,sinC=cosC,结合三角形的内角范围可求角 C 解答:解:∵4s=a +b ﹣c ∴ 化简可得,sinC=cosC ∵0<C<π ∴ 故答案为: 点评:本题主要考查了三角形的面积公式及余弦定理的应用,属于基础试题. 20、在△ ABC 中,已知 a +b ﹣ab﹣c =0,且
2 2 2 2 2 2

,则 A= 45° .

考点:余弦定理。 专题:计算题。 分析:利用余弦定理表示出 cosC,把已知第一个等式变形后代入,求出 cosC 的值,由 C 为三角形的内角,利用特 殊角的三角函数值求出 C 的度数,进而得到 A+B 的度数,用 A 表示出 B,再根据正弦定理化简第二个等式,把表示 出的 B 代入,并利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简,根据同角三角函数间的基本关系得到 tanA 的值,由 A 为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的度数. 2 2 2 2 2 2 解答:解:∵a +b ﹣ab﹣c =0,即 a +b ﹣c =ab, ∴cosC= = ,又 C 为三角形的内角,

∴C=60°,即 A+B=120°, ∴B=120°﹣A, 根据正弦定理得 = = ,

整理得: cosA+sinA= sinA+sinA, 解得:sinA=cosA,即 tanA=1,又 A 为三角形的内角, ∴A=45°. 故答案为:45° 点评:此题考查了正弦、余弦定理,两角和与差的正弦函数公式,同角三角函数间的基本关系,以及特殊角的三角 函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 2 21、在△ ABC 中,∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c,若 A=60°,b、c 分别是方程 x ﹣7x+11=0 的两个根,则 a 等于 4 . 考点:余弦定理的应用。 专题:计算题。 2 2 分析:先根据韦达定理求得 b+c 和 bc 的值,进而利用配方法求得 b +c 的值,代入余弦定理可得关于 a 的方程进而 求得 a.

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解答:解:依题意可知 b+c=7,bc=11 ∴b +c =(b+c) ﹣2bc=27 ∴ = = ,求得 a=4.
2 2 2

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故答案为:4 点评:本题主要考查了余弦定理的应用.余弦定理 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理,直接运用它可解 决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题,若对余弦定理加以变形并适当移于其它知 识,则使用起来更为方便、灵活. 22、如图,已知△ ABC 内接于⊙O,点 D 在 OC 的延长线上,AD 切⊙O 于 A,若∠ABC=30°,AC=2,则 AD 的长为 .

考点:三角形中的几何计算。 专题:计算题。 分析:根据已知可得△ AOC 是等边三角形,从而得到 OA=AC=2,则可以利用勾股定理求得 AD 的长. 解答:解: (2)∵OA=OC,∠AOC=60°, ∴△AOC 是等边三角形, ∴OA=AC=2, ∵∠OAD=90°,∠D=30°, ∴AD= ?AO= . 故答案为: . 点评:本题考查和圆有关的比例线段,考查同弧所对的圆周角等于弦切角,本题在数据运算中主要应用含有 30°角 的直角三角形的性质,本题是一个基础题. 23、有一广告气球,直径为 6 m,如图所示,放在公司大楼的上空,当行人仰望气球的中心的仰角∠BAC=30°时,测 得气球的视角 θ=2°,若 θ 的弧度数很小时,可取 sinθ=θ,由此可估计该气球的高 BC 约为 86 .

考点:解三角形的实际应用。 专题:计算题。 分析:先假设气球到人的距离为 s,根据 6=s×sin2°可近似求出 s 的值,再由 h=BC=s×sin30°可近似得到答案. 解答:解:假设气球到人的距离 AC 为 s ∴6=s×sin2°=s× ∴s=171.887m ∴h=BC=s×sin30°=85.94m≈86m 故答案为:86. 点评:本题主要考查解三角形在实际生活中的应用.先将实际问题抽象成数学模型,再由数学知识可求得答案.

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,则 S 的

24、将边长为 1 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记 最大值是 .

考点:解三角形的实际应用。 专题:计算题。 分析:先设剪成的小正三角形的边长为 x 表示出 S 的解析式,然后求 S 的最小值,令 3﹣x=t,代入整理,利用基本 不等式得到最大值. 解答:解:设剪成的小正三角形的边长为 x,则: 令 3﹣x=t,t∈(2,3) , ∴ 当且仅当 故答案为 点评:本题的考点是解三角形的实际运用,主要考查函数模型的建立,考查利用基本不等式求最大值,关键是依据 题意构建函数模型. 三、解答题(共 6 小题) 25 、 ( 2008? 湖 南 ) 已 知 △ ABC 的 外 接 圆 的 半 径 为 ,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,又向量 , ,且 , 时,S 的最大值是 (0<x<1)

(I)求角 C; (II)求三角形 ABC 的面积 S 的最大值. 考点:数量积判断两个平面向量的垂直关系;正弦定理;余弦定理。 专题:计算题;综合题;方程思想。 分析: (I)由 ,推出
2 2 2

,利用坐标表示化简,结合余弦定理求角 C;

(II)利用(I)中 c =a +b ﹣ab,应用正弦定理,和基本不等式,求三角形 ABC 的面积 S 的最大值. 解答:解: (Ⅰ)∵ ∴ 且
2

,由正弦定理得:
2 2

化简得:c =a +b ﹣ab 由余弦定理:c =a +b ﹣2abcosC∴ ∵ (Ⅱ)∵a +b ﹣ab=c =(2RsinC)=6 2 2 ∴6=a +b ﹣ab≥2ab﹣ab=ab(当且仅当 a=b 时取“=”)
2 2 2 2 2 2

所以, 点评:本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系,正弦定理,余弦定理的应用,考查学生分析问题解决问题的

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能力,是中档题.

正弦、余弦定理及其应用


26、 (2006?江西)在锐角△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 (1)求 (2)若 a=2, 的值; ,求 b 的值.

考点:半角的三角函数;余弦定理的应用。 专题:计算题;综合题。 分析: ( 1 )先根据角 A 的范围和正弦值求出余弦值,然后根据同角三角函数的基本关系和二倍角公式对 进行化简,最后代入角 A 的余弦值即可. (2)先根据三角形的面积公式求出 b 与 c 的乘积,然后将数据代入余弦定理 a =b +c ﹣2bccosA 即可求出 b 的值. 解答:解: (1)因为锐角△ ABC 中,A+B+C=π, 所以 cosA= , ,
2 2 2



= (2)
2 2 2

,则 bc=3.
4 2

将 a=2,cosA= ,c= 代入余弦定理:a =b +c ﹣2bccosA 中得 b ﹣6b +9=0 解得 b= 点评:本题主要考查同角三角函数的基本关系和、倍角公式、三角形的面积公式以及余弦定理的应用.三角函数部 分公式比较多,不容易记忆,一定要强化记忆,这样才能做到做题时的游刃有余. 27、 (2010?重庆)设函数 f(x)=cos(x+ π)+2 ,x∈R.

(1)求 f(x)的值域; (2)记△ ABC 内角 A、B、C 的对边长分别为 a,b,c,若 f(B)=1,b=1,c= 考点:正弦函数的定义域和值域;正弦定理;余弦定理。 专题:计算题。 分析: (I)将 f(x)=cos(x+ π)+2

,求 a 的值.

化简,变形后可以用三角函数的有界性有值域.

(II)由 f(B)=1 求出∠B,利用余弦定理建立关于 a 的方程求出 a. 解答:解: (I)f(x)=cos(x+ π)+2 =cosxcos π﹣sinxsin π+cosx+1 =﹣ cosx﹣ = cosx﹣ =sin(x+ sinx+cosx+1 sinx+1 )+1

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因此函数 f(x)的值域为[0,2] (II)由 f(B)=1 得 sin(B+ 又 B 是三角形的内角,所以 B= )+1=1,即 sin(B+ )=0,即 B+

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=0 或 π,B= 或﹣

由余弦定理得 b =a +c ﹣2accosB 2 2 即 1=a +3﹣3a,整理 a ﹣3a+2=0 解得 a=1 或 a=2 答: (I)函数 f(x)的值域为[0,2] (II)a=1 或 a=2 点评:考查利用三角函数的有界性求值域与利用余弦定理解三角形,属基本题型,用来训练答题者熟练三角恒等变 形公式与余弦定理. 28、 (2009?山东)已知函数 f(x)=2sinxcos (Ⅰ)求 θ 的值; (Ⅱ)在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a=1,b= ,f(A)= ,求角 C.
2

2

2

2

+cosxsinθ﹣sinx(0<θ<π) ,在 x=π 处取最小值.

考点:正弦定理;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;二倍角的余弦;三角函数的最值。 专题:计算题。 分析: (Ⅰ)把函数解析式中第一项利用二倍角的余弦函数公式化简后,利用两角和的正弦函数公式化简,由函数 在 x=π 处取最小值,把 x=π 代入到化简后的式子中并令 f(x)等于﹣1,得到 sinθ 的值,然后利用 θ 的范围及特殊 角的三角函数值即可求出 θ 的度数; (Ⅱ)把 θ 的值代入到 f(x)中化简可得 f(x)的解析式,然后把 x 等于 A 代入解析式,利用其值等于 ,根据 A

的范围,利用特殊角的三角函数值求出 A 的度数,然后由 a,b 和 sinA 的值,利用正弦定理即可求出 sinB 的值,根 据 B 的范围和特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数,根据三角形的内角和定理即可求出 C 的度数. 解答:解: (Ⅰ)f(x)=2sinx =sinx+sinxcosθ+cosxsinθ﹣sinx =sin(x+θ) . 因为 f(x)在 x=π 时取最小值, 所以 sin(π+θ)=﹣1, 故 sinθ=1. 又 0<θ<π,所以 θ= ; )=cosx.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f(x)=sin(x+ 因为 f(A)=cosA= 且 A 为△ ABC 的角, 所以 A= . sinB= = , ,

由正弦定理得 又 b>a, 所以 B= 当 B=

时, 时,C=π﹣A﹣B=π﹣ .



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点评:此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的直正弦函数公式化简求值,灵活运用正弦定理 及特殊角的三角函数值化简求值,是一道多知识的综合题.学生做题时应注意 C 的度数有两个解. 29、 (2007?浙江)已知△ ABC 的周长为 +1,且 sinA+sin B= sin C (I)求边 AB 的长; (Ⅱ)若△ ABC 的面积为 sin C,求角 C 的度数. 考点:正弦定理;余弦定理。 专题:计算题。 分析: (I)先由正弦定理把 sinA+sinB= sinC 转化成边的关系,进而根据三角形的周长两式相减即可求得 AB. 2 2 (2)由△ ABC 的面积根据面积公式求得 BC?AC 的值,进而求得 AC +BC ,代入余弦定理即可求得 cosC 的值,进而 求得 C. 解答:解: (I)由题意及正弦定理,得 AB+BC+AC= +1.BC+AC= AB, 两式相减,得:AB=1. (Ⅱ)由△ ABC 的面积= BC?ACsinC= sinC,得 BC?AC= , ∴C2+BC2=(AC+BC)2﹣2AC?BC=2﹣23=43, 由余弦定理,得 ,

所以 C=60°. 点评:本题主要考查了正弦定理、三角形的面积计算等相关知识.此类问题要求大家对正弦定理、余弦定理、面积 公式要熟练掌握,并能运用它们灵活地进行边与角的转化,解三角形问题也是每年高考的一个重点,但难度一般不 大,是高考的一个重要的得分点. 30、 (2005?湖北)在△ ABC 中,已知 AB= ,cosB= ,AC 边上的中线 BD= ,求 sinA 的值.

考点:余弦定理;正弦定理。 专题:计算题。 分析:解三角形的特征是把题目中所给的条件全部集合到一个三角形中,依次解出边、角,达到解三角形的目的. 方法一通过充分利用 D 是中点,构造新三角形,在新三角形中解出 BC 的一半求出 BC,再由余弦定理求边 AC,下 则可用正弦定理求出 sinA; 方法二根据所给的条件巧妙地建立了一个直角坐标系, 将三角问题转化到向量中研究, 大大降低了分析问题的难度, 首先是求出了 , 两个向量,利用公式求出了两个向量的夹角 A 的余弦,再求正弦.此法越过了构造新三角形,

使得方法易想. 方法三与方法一类似构造了一系列的新三角形,此方法充分利用 D 是中点这一性质构造出了一个平行四边形,使得 求三角形的另两边的边长时视野开阔,方法也较巧妙. 解答:解:解法一:设 E 为 BC 的中点,连接 DE,则 DE∥AB,且 DE= AB= 在△ BDE 中利用余弦定理可得:BD =BE +ED ﹣2BE?EDcosBED,5=x + +2× 解得 x=1,x=﹣ (舍去) . 故 BC=2,从而 AC =AB +BC ﹣2AB?BCcosB=
2 2 2 2 2 2 2

,设 BE=x. × x,

,即 AC=

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又 sinB= ,故 = ,sinA= .

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解法二:以 B 为坐标原点,

为 x 轴正向建立直角坐标系,且不妨设点 A 位于第一象限.

由 sinB= 设 =(x,0) ,则 =( , ) .

,则

=(

cosB,

sinB)=( ,

) ,

由条件得|

|= (舍去) .故 =(﹣ ,

=



从而 x=2,x=﹣

) .

于是 cosA=

=

=



∴sinA=

=



解法三:过 A 作 AH⊥BC 交 BC 于 H,延长 BD 到 P 使 BD=DP,连接 AP、PC. 过 P 做 PN⊥BC 交 BC 的延长线于 N,则 HB=ABcosB= ,AH= ,

BN=

=

= .

=



而 HB= ,∴CN= ,HC= ,AC=

=

故由正弦定理得

=

,∴sinA=



点评:构造法解三角形,如果条件不在一个三角形中时首先要做的就是把这些条件转化到一个新构造出来的三角形 中,此三角形与要研究的三角形之间必有确定的关系,通过解新三角形来达到解要研究三角形的目的. 利用三角与向量之间的关系转化到向量中去也是解三角形的一个好办法,此法大大降低了解三角形时思维的深度, 方法较好,数学解题中的一个重要能力就是灵活转化,本题能起到培养答题者转化化归意识的一道好题.

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