等比数列综合

1．在等比数列 {an } 中， a3 ? 20, a6 ? 160 ，则 an =

． . .

9 1 2 2.等比数列中，首项为 ，末项为 ，公比为 ，则项数 n 等于 8 3 3
3.在等比数列中， an > 0 ，且 an?2 ? an ? an?1 ，则该数列的公比 q 等于 4.在等比数列{an}中，已知 S

n=3n+b，则 b 的值为_______． 5.等比数列 ?an ? 中，已知 a1 ? a2 ? 324 ， a3 ? a4 ? 36 ，则 a5 ? a6 = 6.数列{an}中，a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1…是首项为 1、公比为 7.等比数列 1,2a,4a 2 ,8a 3 ,? 的前 n 项和 Sn= .

1 的等比数列，则 an 等于 3

。

8.一个等比数列 ?an ? 中， a1 ? a4 ? 133 ，a2 ? a3 ? 70 ，求这个数列的通项公式。

9.设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,S4=1,S8=17,求通项公式 an.

10. 已 知 在 等 比 数 列 ?an ? 中 ， 各 项 均 为 正 数 ， 且 a1 ? 1, a1 ? a2 ? a3 ? 7, 则 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 是 。 an ? _________ 11.设数列{an}的前项的和 Sn=

1 （an-1） (n ? N +),（1）求 a1;a2; (2)求证数列{an}为等比数列。 3

12.正项等比数列{an}中，S2=7，S6=91，则 S4= 。 * n 13.在等比数列{an}中，已知 n∈N ，且 a1+a2+…+an=2 －1，那么 a12+a22+…+an2 等于 14.设数列 {an } 中前n项的和Sn ? 2an ? 3n ? 7 ，则 an 的通项公式

。

15.数列 {an } 满足： a1 ? 1, a 2 ?

3 3 1 , a n ? 2 ? a n ?1 ? a n (n ? N *). 2 2 2

（1）记 d n ? an?1 ? an ，求证：{dn}是等比数列； （2）求数列 {an } 的通项公式；

16.已知关于 x 的二次方程 an x 2 ? an?1 x ? 1 ? 0(n ? N ? ) 的两根 ? , ? 满足 6? ? 2?? ? 6? ? 3 ，且 a1 ? 1 （1）试用 an 表示 a n ?1 （3）求数列的通项公式 an （2）求证： {a n ? } 是等比数列 （4）求数列 {an } 的前 n 项和 S n

2 3

17.已知等比数列 {an } 的公比为正数，且 a3 · a9 =2 a5 ， a2 =1，则 a1 = A.

2

1 2

B.

2 2

C.

2
）

18.设{ an }为等差数列，公差 d = -2， Sn 为其前 n 项和.若 S10 ? S11 ，则 a1 =（ A.18 B.20 C.22 D.24 19.已知数列满足 a1=1，an＋1=2an＋1(n∈N*)(1) 求证数列{an＋1}是等比数列； (2) 求{an}的通项公式．

20.在等比数列｛an｝中，已知 Sn＝48，S2n＝60，求 S3n．

21.一个有穷的等比数列的首项为 1，项数为偶数，其奇数项的和为 85，偶数项的和为 170，求这个数列的公比和项 数．

2 2 2 22.在等比数列{an}中，已知对任意正整数 n，有 Sn=2n －1，则a 1 ＋a 2 ＋…＋a n 等于

A． (2 n －1) 2 C．2 n －1

1 B． (2 n －1) 2 3 1 D． (4 n －1) 3

23.已知数列{an}中，Sn 是它的前 n 项和，并且 Sn+1=4an＋2(n∈N*)，a1=1 (1)设 bn=an+1－2an(n∈N*)，求证：数列{bn}是等比数列；

(2) 设c n =

an (n∈N*) ，求证：数列{c n }是等差数列． 2n

24.

数列{an}的前 n 项和 S n ? 2an ? 1 ，数列{bn}满足： b1 ? 3, bn?1 ? an ? bn (n ? N ? ) ． （Ⅰ）证明数列{an}为等比数列； （Ⅱ）求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

25.

已知三个数成等差数列，其和为 126；另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到

85，76，84．求这两个数列．

26.

设等差数列 {an } 的前ｎ项的和为 S n ,且 S 4 =－62, S 6 =－75,求： （1） {an } 的通项公式 a n 及前ｎ项的和 S n ； （2）|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+……+|a 14 |.

27.

等差数列前 10 项的和为 140，其中，项数为奇数的各项的和为 125，求其第 6 项．

28.

已知等差数列{an}中，S3=21，S6=64，求数列｛|an|｝的前 n 项和 Tn．

29.求和： S n ? 1 ? 3x ? 5x ? 7 x ? ? ? ? ? (2n ? 1) x
2 3

n?1

30 求数列 .

2 4 6 2n , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2

求数列 31.

1 1? 2

,

1 2? 3

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和.

32.

在数列{an}中， an ?

1 2 n 2 ? ? ??? ? ，又 bn ? ，求数列{bn}的前 n 项的和. n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

33.

在各项均为正数的等比数列中，若 a5 a6 ? 9, 求 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 的值.

1.

5×2

n-1

2. 4.

3.

1? 5 2

1 ? n, a ? , ? 1 ? 2 3 4.－1 5. 4. 6. （1－ n ） 7. S n ? ? n 3 2 ?1 ? (2a ) ，a ? 1 ? 1 ? 2a 2 ?

3 ? 2 5 ? a1 ? a1q ? 133 8.由题设知 ? 两式相除得 q ? 或 ，代入 a1 ? a4 ? 133 ，可求得 a1 ? 125 或 8， 2 5 2 ? ? a1q ? a1q ? 70

? 2? ? an ? 125? ? ? 5?

n ?1

? 5? 或 an ? 8? ? ? 2?

n ?1

9.设 ?an ? 的公比为 q，由 S4=1,S8=17 知 q≠1,

? a1 (1 ? q 4 ) ? 1 ? q ? 1, ? ∴? 解得 8 ? a1 (1 ? q ) ? 17, ? ? 1? q
11.由 S1 ?

1 ? 1 ? ? a1 ? ?a1 ? ? 15 或 ? 5。 ? ? ? ?q ? 2 ?q ? ?2

∴an=

2n ?1 (?1) n ? 2n ?1 n ?1 或 an= 。10. 2 15 5

1 1 1 1 1 1 ( a1 ? 1) ,得 a1 ? (a1 ? 1) ∴ a1 ? ? 又 S 2 ? (a 2 ? 1) ,即 a1 ? a 2 ? (a 2 ? 1) ,得 a 2 ? . 4 3 3 2 3 3

(Ⅱ)当 n>1 时, a n ? S n ? S n ?1 ?

a 1 1 1 1 1 (a n ? 1) ? (a n ?1 ?1), 得 n ? ? , 所以 ?an ? 是首项 ? ,公比为 ? 的等 3 3 2 2 an?1 2
14.略。

比数列.

12. 28.

13.

1 （4n－1） 3

15.（1） a1 ? 1, a 2 ?

a ? an?1 1 3 3 1 1 1 1 ,? a 2 ? a1 ? ? 1 ? 又 a n ? 2 ? a n ?1 ? a n ?1 ? a n 。? n ? 2 ? ,即d n?1 ? d n 2 2 2 2 2 an?1 ? an 2 2
1 2 1 的等比数列. 2
n

故数列 {d n }是以 为首项，公比为 （2）由（1）得 d n ? a n ?1 ? a n ? ( )

1 2

? a n ? (a n ? a n ?1 ) ? (a n ?1 ? a n ? 2 ) ? ... ? (a 2 ? a1 ) ? a1 1 1 1 ? ( ) n ?1 ? ( ) n ? 2 ? ... ? ( )1 ? 1 2 2 2 1 ? 2 ? ( ) n ?1 2
17.B 18.B

16.略。

19.证明由 an＋1=2an＋1 得 an＋1＋1=2(an＋1)又 an＋1≠0 ∴ (2)解析： 由(1)知 an＋1=(a1＋1)qn
－1

an?1 ? 1 =2 即{an＋1}为等比数列． an ? 1
－1=2·2
n－1

即 an=(a1＋1)q

n－1

－1=2 －1

n

20.∵｛an｝为等比数列∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)∴S3n＝ 22.∵a1=S1=1，an=Sn－Sn-1=2n-1 ∴an=2n-1
2 2 ∴b 1 ＋b 2 ＋…＋b n = a 1 ＋a 2 2 ＋…＋a 2

(S 2n ? S 2n ) 2 (60 ? 48) 2 ＋60＝63 ? S 2n ? Sn 48

∴bn=(an)2=(2n-1)2=22n-2=4n-1

= 1＋ 4 ＋ 4 2 ＋…＋ 4 n ?1 4n ? 1 1 n = ? (4 ? 1) 4 ?1 3
23. (1)∵ Sn+1=4an＋2 Sn+2=4an+1＋2 两式相减，得

Sn+2－Sn+1=4an+1=4an(n∈N*)

即：an+2=4an+1－4an bn=an+1－2an(n∈N*)∴ bn+1=2bn 由此可知， 数列{bn}是公比为 2 bn=3·2n-1

变形， 得 an+2－2an+1=2(an+1－2an)∵

的等比数列．由 S2=a1＋a2=4a1＋2，a1=1 可得 a2=5，b1=a2－2a1=3∴ 24.（1）略。 （Ⅱ） an ? 2n?1 , bn?1 ? 2n?1 ? bn ∴ b2 ? b1 ? 20 , b3 ? b2 ? 21, b4 ? b3 ? 22 ,
bn ? b1 ? 2 0 ? 21 ? ? ? 2 n?2 ? 3 ?

bn?1 ? bn ? 2n?1 ,

bn ? bn?1 ? 2 n?2 , 等式左、右两边分别相加得：

1 ? 2 n ?1 ? 2 n?1 ? 2, 1? 2

?Tn ? (20 ? 2) ? (21 ? 2) ? (22 ? 2) ? ? ? (2n?1 ? 2) ? (20 ? 21 ? 22 ? ? ? 2n?1 ) ? 2n

= 1 ? 2 ? 2n ? 2 n ? 2n ? 1. 1? 2 25.设成等差数列的三个数为 b－d，b，b＋d，由已知，b－d＋b＋b＋d=126∴b=42 这三个数可写成 42－d，42，42＋d．
n

再设另三个数为 a，aq，aq2．由题设，得

?a＋ 42 －d = 85 ?a－d = 43 ? ? 整理，得 ?aq = 34 ?ap＋ 42 = 76 ? 2 ? 2 ?aq ＋ 42 ＋d = 84 ?aq ＋d = 42
1

① ② 解这个方程组，得 ③

a1=17 或 a2=68 当 a=17 时，q=2，d=－26 当a = 68时，q = ，d = 25 2 从而得到：成等比数列的三个数为 17，34，68，此时成等差的三个数为 68，42，16；或者成等比的 三个数为 68，34，17，此时成等差的三个数为 17，42，67． 26.设等差数列首项为 a1，公差为 d，依题意得 ?4a1 ? 6d ? ?62
? ?6a1 ? 15d ? ?75

解得：a1=－20,d=3。

3 43 ⑴ a n ? a1 ? (n ? 1)d ? 3n ? 23, S n ? (a1 ? a n )n ? n(?20 ? 3n ? 23) ? n 2 ? n； 2 2 2 2 ⑵ a1 ? ?20, d ? 3, ??an ?的项随着n的增大而增大
设ak ? 0且ak ?1 ? 0, 得3k ? 23 ? 0, 且3(k ? 1) ? 23 ? 0,? 20 23 ? k ? (k ? Z ), k ? 7, 即第7项之前均为负数 3 3

∴

| a1 | ? | a2 | ? | a3 | ? ? | a14 |? ?(a1 ? a2 ? ? S14 ? 2S7 ? 147 .

? a7 ) ? (a8 ? a9 ?

? a14 )

10(10 ? 1) ? d = 140 ?10a1＋ 2 27. ? 解得 a1=113，d=－22．∴ 其通项公式为 ? ?a1＋a 3 ＋a 5 ＋a 7 ＋a 9 = 5a1＋20d = 125
an=113＋(n－1)·(－22)=－22n＋135 ∴a6=－22×6＋135＝3

解 设公差为d，由公式S n ＝na 1 ＋
28.

n( n ? 1) d 2

?3a 1 ＋3d = 21 得? ?ba 1 ＋15d = 24
∴an＝9＋(n－1)(n－2)＝－2n＋11

解方程组得：d＝－2，a1＝9

由a n ＝－ 2n＋11＞ 0 得n＜

11 = 5.5，故数列{a n }的前5项为正， 2

其余各项为负．数列{an}的前 n 项和为：

S n ＝ 9n＋

n( n ? 1) ( － 2) = －n 2 ＋10n 2

∴当 n≤5 时，Tn＝－n2＋10n 当 n＞6 时，Tn＝S5＋|Sn－S5|＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn ∴Tn＝2(－25＋50)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50

?Tn = －n 2 ＋10n ? 即? 2 ? ?n －10n＋50

n≤5 n＞ 6

n∈N *