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12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编:不等式


江苏省 12 市 2015 届高三上学期期末考试数学试题分类汇编 不等式
一、填空题
?2 x ? y ≤ 2, ? 1、 (常州市 2015 届高三) 若实数 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≥ ?1, 则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小 ? x ? y ≥ 1, ?

值为 ▲ 2、 (常州市 2015 届高三)若不等式 x2 ? 2 y 2≤cx( y ? x) 对任意满足 x ? y ? 0 的实数 x, y 恒成 立,则实数 c 的最大值为 ▲ 3、 (连云港、徐州、淮安、宿迁四市 2015 届高三)若实数 x , y 满足 x + y - 4 ≥ 0 ,则

z = x2 + y 2 + 6x - 2 y + 10 的最小值为 ▲
4、 (连云港、徐州、淮安、宿迁四市 2015 届高三)已知函数 f ? x ? ? ? 不等式 f ( f ( x)) ≤ 3 的解集为 ▲

?? x 2 ,

x ≥ 0,

2 ? x ? 2 x, x ? 0

,则

? 2x ? y ? 0 ? x? y 5、 (南京市、 盐城市 2015 届高三) 若变量 x , y 满足 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 , 则 2 的最大值为 ? x?0 ?



6、 (南京市、盐城市 2015 届高三)若实数 x , y 满足 x ? y ? 0 ,且 log 2 x ? log 2 y ? 1,则

x2 ? y 2 的最小值为 x? y



7、 (南通市 2015 届高三)已知函数 y ? a ? b(b ? 0) 的图像经过点 P(1,3) ,如下图所示,
x



4 1 ? 的最小值为 a ?1 b

.

1

8、 (苏州市 2015 届高三上期末)已知 a , b 为正实数,且 a ? b ? 2 ,则 小值为

a 2 ? 2 b2 ? 的最 a b ?1
b 的取 a ? 2c

9、 (泰州市 2015 届高三上期末)已知实数 a, b, c 满足 a ? b ? c , c ? 0 ,则
2 2 2

值范围为


2 2

10、 (无锡市 2015 届高三上期末)已知正实数 a, b 满足 9a + b = 1,则 值 为

ab 的最大 3a + b

?x ? 2 y ? 4 ? 0 ? 11、 (扬州市 2015 届高三上期末)实数 x,y 满足 ? x ? 1 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值 ?y ?1 ?
为__ 12、 (扬州市 2015 届高三上期末)设实数 x,y 满足 x2+2xy-1=0,则 x2+y2 的最小值是 ____ 二、解答题 1、 (常州市 2015 届高三)某学校为了支持生物课程基地研究植物生长,计划利用学校空地 建造一间室内面积为 900m2 的矩形温室, 在温室内划出三块全等的矩形区域, 分别种植三种 植物,相邻矩形区域之间间隔 1m,三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道,左、 右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道, 如图. 设矩形温室的室内长为 x (m) ,三块种植植物的矩形区域的总面积 为 S (m2) . ... (1)求 S 关于 x 的函数关系式; (2)求 S 的最大值.

1
3

1

1
1

3

x
(?第17 题? )

2、 (南京市、盐城市 2015 届高三)某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆,其设计方案侧面 的 外 轮 廓 线 如 图 乙 所 示 : 曲 线 AB 是 以 点 E 为 圆 心 的 圆 的 一 部 分 , 其 中 E (0,t )

2

( 0 ? t ? 25 , 单 位 : 米 ) ; 曲 线 BC 是 抛 物 线 y ? ?ax2 ? 50(a ? 0) 的 一 部 分 ; CD ? AD ,且 CD 恰好等于圆 E 的半径. 假定拟建体育馆的高 OB ? 50 米. (1)若要求 CD ? 30 米, AD ? 24 5 米,求 t 与 a 的值; (2)若要求体育馆侧面的最大宽度 DF 不超过 75 米,求 a 的取值范围; (3)若 a ?

1 ,求 AD 的最大值. 25

(参考公式:若 f ( x) ? a ? x ,则 f ?( x) ? ?

1 ) 2 a?x

3、 (南通市 2015 届高三)已知 a,b,c 均为正数,求证: 4、 (苏州市 2015 届高三上期末)如图,某生态园将一三角形地块 ABC 的一角 APQ 开辟为 水果园种植桃树,已知角 A 为 120?, AB, AC 的长度均大于 200 米,现在边界 AP,AQ 处建 围墙,在 PQ 处围竹篱笆. (1)若围墙 AP,AQ 总长度为 200 米,如何围可使得三角形地块 APQ 的面积最大? (2)已知 AP 段围墙高 1 米,AQ 段围墙高 1.5 米,造价均为每平方米 100 元.若围围墙用了 20000 元,问如何围可使竹篱笆用料最省? A Q P B C

5、 (泰州市 2015 届高三上期末)如图,我市有一个健身公园,由一个直径为 2km 的半圆和 一个以 PQ 为斜边的等腰直角三角形 ?PRQ 构成,其中 O 为 PQ 的中点.现准备在公园里 建设一条四边形健康跑道 ABCD ,按实际需要,四边形 ABCD 的两个顶点 C、D 分别在线 段 QR、PR 上,另外两个顶点 A、B 在半圆上, AB / /CD / / PQ ,且 AB、CD 间的距离 为 1km.设四边形 ABCD 的周长为 c km.

3

(1)若 C、D 分别为 QR、PR 的中点,求 AB 长; (2)求周长 c 的最大值.
R C

Q B

O

D A P

6、 ( 泰 州 市 2015 届 高 三 上 期 末 ) 已 知 正 实 数 a, b, c 满 足 a ? b ? c ? 3 , 求 证 :

b c a ? 2 ? 2 ?3. 2 a b c
7、 (无锡市 2015 届高三上期末)某公司生产的某批产品的销售量 P 万件(生产量与销售量 相等)与促销费用 x 万元满足 P =

x+ 2 (其中 0 # x 4

a, a 为正常数).已知生产该批

产品还要投入成本 6( P +

1 20 ) 万元(不包含促销费用) ) 元/ ,产品的销售价格定为 (4 + P P

件. (1)将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数; (2)当促销费用投入多少万元时,该公司的利润最大?

8、 (无锡市 2015 届高三上期末)已知函数 f(x)=|x-1|+|x-a|、 (I)当 a=2 时,解不等式 f(x)≥4; (II)若不等式 f(x)≥a 恒成立,求实数 a 的取值范围。

参考答案
一、填空题 1、1 2、 2 2 ? 4 3、18 4、 (??, 3] 5、8 6、4

9 7、 2

3? 2 2 3 8、

9、 [?

3 3 , ] 3 3

10、

2 12

11、-2 12、

5 ?1 2

二、解答题 1、解: (1)由题设,得

4

7200 ? 900 ? S ? ? x ? 8? ? ? 2 ? ? ?2 x ? ? 916 , x ? ?8, 450? . x ? x ?

?????????6 分 ????????8 分

(2)因为 8 ? x ? 450 ,所以 2 x ? 当且仅当 x ? 60 时等号成立. 从而 S ≤ 676 .

7200 7200 ≥ 2 2x ? ? 240 , x x

?????????10 分 ?????????12 分

答:当矩形温室的室内长为 60 m 时,三块种植植物的矩形区域的总面积最大,最大为 676 m2 . 2、解: (1)因为 CD ? 50 ? t ? 30 ,解得 t ? 20 . ????? 2 分 此时圆 E : x2 ? ( y ? 20)2 ? 302 ,令 y ? 0 ,得 AO ? 10 5 , 所 以 O D ?

A ?D 2A ?4O 5 ?1 0 2 y ? ?a x5 ?0 ( a中, ?0 ) 1 解得 a ? . 49


5 ? , 1将4 点 5 C(14 5,30) 代 入
???? 4

(2)因为圆 E 的半径为 50 ? t ,所以 CD ? 50 ? t ,在 y ? ?ax2 ? 50 中令 y ? 50 ? t ,得

OD ?

t , a t ? 75 对 t ? (0, 25] 恒成立, a
????

则由题意知 FD ? 50 ? t ? 8分

25 25 1 25 恒成立,而当 t ? ,即 t ? 25 时, t ? 取最小值 10, ? t? a t t t 1 1 故 . ???? ? 10 ,解得 a ? 100 a
所以 10 分 (3)当 a ?

1 时, OD ? 5 t ,又圆 E 的方程为 x2 ? ( y ? t )2 ? (50 ? t )2 ,令 y ? 0 ,得 25 x ? ?10 25 ? t ,所以 AO ? 10 25 ? t ,
???? 12

从而 AD ? f (t) ? 10 25 ? t ? 5 t (0 ? t ? 25), 分 又 因 为

f ?(t ) ? 5(?

t ? 5 , ???? 14 分 当 t ? (0,5) 时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 单调递增;当 t ? (5, 25) 时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 单调
递减,从而当 t ? 5 时, f (t ) 取最大值为 25 5 . 答:当 t ? 5 米时, AD 的最大值为 25 5 米. ????16 分 (说明:本题还可以运用三角换元,或线性规划等方法解决,类似给分) 3、

2 1 5( 25 ? t ? 2 t ) ? , 令 f ?(t ) ? )? 25 ? t t 25 ? t ? t

0 , 得

5

4、解 设 AP ? x 米, AQ ? y 米. (1)则 x ? y ? 200 , ?APQ 的面积

S?

1 2

xy sin120? ?

3 4

xy .

??????????????????????3 分

∴S ≤

3 x? y 2 ( ) ? 2500 3 . 4 2

当且仅当 x ? y ? 100 时取“=”. ??????????????????????6 分 (注:不写“=”成立条件扣 1 分) (2)由题意得 100 ? (1? x ? 1.5 ? y) ? 20000 ,即 x ? 1.5 y ? 200 . ???????8 分 要使竹篱笆用料最省,只需其长度 PQ 最短,所以

PQ2 ? x2 ? y 2 ? 2xy cos120? ? x2 ? y 2 ? xy

? (200 ?1.5 y)2 ? y 2 ? (200 ?1.5 y) y ? 1.75 y 2 ? 400 y ? 40000 ( 0 ? y ?
当y?

400 ) 3

???????????????11 分

800 200 200 21 时, PQ 有最小值 ,此时 x ? . 7 7 7

??????????13 分

答: (1)当 AP ? AQ ? 100 米时,三角形地块 APQ 的面积最大为 2500 3 平方米; (2)当 AP ?

200 800 米 , AQ ? 米时,可使竹篱笆用料最省.????????? 14 分 7 7

5、 (1)解:连结 RO 并延长分别交 AB、CD 于 M 、N ,连结 OB ,

6

∵ C、D 分别为 QR、PR 的中点, PQ ? 2 ,∴ CD ?

1 PQ ? 1 , 2

?PRQ 为等腰直角三角形, PQ 为斜边,? RO ?
NO ?

1 PQ ? 1 , 2

1 1 1 RO ? .∵ MN ? 1 ,∴ MO ? .??????3 分 2 2 2

在 Rt ?BMO 中, BO ? 1 ,∴ BM ? ∴ AB ? 2BM ? 3 .

BO 2 ? OM 2 ?

3 , 2
?????6 分

(2) 解法1 设 ?BOM ? ? , 0 ? ? ?

?
2



在 Rt ?BMO 中, BO ? 1 ,∴ BM ? sin ? , OM ? cos ? . ∵ MN ? 1 ,∴ CN ? RN ? 1 ? ON ? OM ? cos ? ,
2 ∴ BC ? AD ? 1 ? (sin ? ? cos ? ) ,????????????????????8 分 2 ∴ c ? AB ? CD ? BC ? AD ? 2(sin ? ? cos ? ? 1 ? (sin ? ? cos ? ) ) ??????10 分

? 2 2 (sin ? ? cos ? )2 ? ( 1 ? (sin ? ? cos ? ) 2 ) 2 ? 2 6 , (当 ? ?
5? ∴当 ? ? 或? ? 时,周长 c 的最大值为 2 6 km . 12 12
解法2 以 O 为原点, PQ 为 y 轴建立平面直角坐标系. 设 B(m, n) , m, n ? 0 , m ? n ? 1, C (m ? 1, m) ,
2 2

?
12



?

5? 时取等号) 12

???????14 分

2 ∴ AB ? 2n , CD ? 2m , BC ? AD ? 1 ? (m ? n) .???????????8 分 2 ∴ c ? AB ? CD ? BC ? AD ? 2(m ? n ? 1 ? (m ? n) )

?????????10 分

? 2 2 (m ? n)2 ? ( 1 ? (m ? n) 2 ) 2 ? 2 6 ,
(当 m ?

6? 2 6? 2 6? 2 6? 2 ,n ? 或m ? ,n ? 时取等号) 4 4 4 4
7

∴当 m ?

6? 2 6? 2 6? 2 6? 2 ,n ? 或m ? ,n ? 时,周长 c 的最大值为 4 4 4 4
?????14分

2 6 km .
6、证明:∵正实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 3 , ∴ 3 ? a ? b ? c ? 3 3 abc ,∴ abc ? 1 , ∴

??????5 分 ??????10分

b c a b c a 1 ? 2 ? 2 ? 33 2 ? 2 ? 2 ? 33 ? 3. 2 a b c a b c abc

7、

8、

8

9


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