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2014-2015学年福建省龙岩市武平一中高一(下)期末数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年福建省龙岩市武平一中高一(下)期末数学试卷
一.选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.与角﹣80°终边相同的角是( ) A. 80° B. 100° C. 260° D. 280° 2.有 50 件产品编号从 1 到 50,现在从中抽取 5 件检验,用系统抽样确定

所抽取的样本编 号可能为( ) A. 5,10,15,20,25 B. 9,19,29,39,49 C. 2,13,24,35,46 D. 5,15,20,30,40 3.为了得到函数 y=sin(2x﹣ A. 向左平移 C. 向左平移 )的图象,只需把函数 y=sin2x 的图象( B. 向右平移 D. 向右平移 )

个单位长度 个单位长度

个单位长度 个单位长度

4.已知扇形的周长为 8cm,圆心角为 2 弧度,则该扇形的面积为( A. 4cm
2

) D. 16cm
2

B. 6cm

2

C. 8cm

2

5.某小组有 2 名男生和 2 名女生,从中任选 2 名同学去参加演讲比赛.在下列选项中,互 斥而不对立的两个事件是( ) A. “至少有 1 名女生”与“都是女生” B. “至少有 1 名女生”与“至多 1 名女生” C. “恰有 1 名女生”与“恰有 2 名女生” D. “至少有 1 名男生”与“都是女生” 6.下表是某厂 1~4 月份用水量(单位:百吨)的一组数据: 月份 x 1 2 3 4 用水量 y 4.5 4 3 2.5 由散点图可知,用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归直线方程是 = ﹣0.7x+a,则 a 等于( A. 10.5 7. A. ) B. 5.15
﹣1

C. 5.2 ) C. 2

D. 5.25

﹣sin10°(tan 5°﹣tan5°)=( B. 1

D.

8.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是(



A. 2

B. 4

C. 8

D. 16

9. 在△ABC 中, M 是 BC 的中点, AM=1, 点 P 在 AM 上且满足 等于( A. ) B. C.

, 则

D.

10.函数 f(x)=cos(πx+φ) (φ>0)的图象如图所示,设 P 是图象的最高点,A、B 是图 象与 x 轴的交点,则 tan∠APB=( )

A. 10

B. 8

C.

D.

11.关于 f(x)=3sin(2x+

)有以下命题,其中正确命题的个数(



①若 f(x1)=f(x2)=0,则 x1﹣x2=kπ(k∈Z) ; ②f(x)图象与 g(x)=3cos(2x﹣ ③f(x)在区间[﹣ ,﹣ )图象相同;

]上是减函数; ,0)对称. C. 2 D. 3

④f(x)图象关于点(﹣ A. 0

B. 1

12.在四边形 ABCD 中, 的面积为( A. )

=

=(1,1) ,

+

=

,则四边形 ABCD

B. 2

C.

D.

二.填空题(本题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,请把正确答案填在题中横线上) 6 5 4 3 2 13.用秦九韶算法计算多项式 f(x)=x ﹣12x +60x ﹣160x +240x ﹣192x+64 当 x=2 时的 值时,v4 的值为 . 14.将二进制数 1011010(2)化为十进制结果为 果为 . ;再将该数化为八进制数,结

15.在边长为 2 的正方形 ABCD 中,点 O 为边 AB 的中点,在正方形 ABCD 内随机取一点 P,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 .

16. 在△ABC 中, ∠B=60°, O 为△ABC 的外心, P 为劣弧 AC 上一动点, 且 y∈R) ,则 x+y 的取值范围为 .

=x

+y (x,

三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤) 17.如图,已知角 α 的终边在第二象限,且与单位圆交于点 P(m, (Ⅰ)求实数 m 的值; ) .

(Ⅱ)求

的值.

18.某校高三(1)班全体女生的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同 程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:

(1)求高三(1)班全体女生的人数; (2)求分数在[80,90)之间的女生人数,并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的 高; (3)若要从分数在[80,100)之间的试卷中任取两份分析女学生失分情况,在抽取的试卷 中,求至少有一份分数在[90,100)之间的概率.

19.设向量 =(2,sinθ) , (1)若 ∥ ,求 tanθ 的值; (2)若 ? = ,求 sinθ+cosθ 的值.

,θ 为锐角.

20.已知函数 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的单调递增区间; (3)求 f(x)在



上的最值及取最值时 x 的值.

21.已知向量 =(sin ,﹣1) , =( 为 2. (1)求 f(x)最小正周期和解析式; (2)设 α,β∈[0, ],f(3α+

A, Acos ) (A>0) ,函数 f(x)= ? 的最大值

) ,f(3β+2π)= ,求 sin(α﹣β)的值.

22.已知函数 f(x)的图象是由函数 g(x)=cosx 的图象经如下变换得到:先将 g(x)图 象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍,横坐标不变,再将所得到的图象向右平移 位长度. (1)求函数 f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程; (2)已知关于 x 的方程 f(x)+g(x)=m 在[0,2π)内有两个不同的解 α,β (i)求实数 m 的取值范围; (ii)证明:cos(α﹣β)= ﹣1. 个单

2014-2015 学年福建省龙岩市武平一中高一(下)期末数 学试卷
参考答案与试题解析

一.选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.与角﹣80°终边相同的角是( ) A. 80° B. 100° C. 260° D. 280° 考点:终边相同的角. 专题:三角函数的求值. 分析:根据与﹣80°终边相同的角是 k×360°﹣80°,k∈z,从而求得结果. 解答: 解:与﹣80°终边相同的角是 k×360°﹣80°,k∈z, 当 k=1 时,1×360°﹣80°=280°. 故选:D. 点评:本题考查终边相同的角的定义和表示方法,属于容易题. 2.有 50 件产品编号从 1 到 50,现在从中抽取 5 件检验,用系统抽样确定所抽取的样本编 号可能为( ) A. 5,10,15,20,25 B. 9,19,29,39,49 C. 2,13,24,35,46 D. 5,15,20,30,40 考点:系统抽样方法. 专题:概率与统计. 分析:由系统抽样的特点知, 将总体分成均衡的若干部分是将总体分段, 分段的间隔要求相 等, 间隔一般为总体的个数除以样本容量. 从所给的四个选项中可以看出间隔相等且组距为 10 的一组数据是由系统抽样得到的. 解答: 解:从 50 件产品中随机抽取 5 件进行检验, 采用系统抽样的间隔为 50÷5=10, 只有选项 B 中编号间隔为 10, 故选:B. 点评:本题考查了系统抽样的方法应用问题,解题时要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本,应将总体分成均衡的若干部分,按照预先制定的间隔,从每一部分抽取一个个体, 得到所要的样本,是系统抽样.

3.为了得到函数 y=sin(2x﹣ A. 向左平移 C. 向左平移

)的图象,只需把函数 y=sin2x 的图象( B. 向右平移 D. 向右平移



个单位长度 个单位长度

个单位长度 个单位长度

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:由条件根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 解答: 解: 把函数 y=sin2x 的图象向右平移 (2x﹣ )的图象, 个单位长度, 可得函数 y=sin2 (x﹣ ) =sin

故选:D. 点评:本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题. 4.已知扇形的周长为 8cm,圆心角为 2 弧度,则该扇形的面积为( A. 4cm
2

) D. 16cm
2

B. 6cm

2

C. 8cm

2

考点:扇形面积公式. 专题:计算题. 分析:设出扇形的半径, 求出扇形的弧长, 利用周长公式, 求出半径, 然后求出扇形的面积. 解答: 解:设扇形的半径为:R,所以,2R+2R=8,所以 R=2,扇形的弧长为:4,半径 为 2, 扇形的面积为: =4(cm ) .
2

故选 A. 点评:本题是基础题,考查扇形的面积公式的应用,考查计算能力. 5.某小组有 2 名男生和 2 名女生,从中任选 2 名同学去参加演讲比赛.在下列选项中,互 斥而不对立的两个事件是( ) A. “至少有 1 名女生”与“都是女生” B. “至少有 1 名女生”与“至多 1 名女生” C. “恰有 1 名女生”与“恰有 2 名女生” D. “至少有 1 名男生”与“都是女生” 考点:互斥事件与对立事件. 专题:概率与统计. 分析:互斥事件是两个事件不包括共同的事件, 对立事件首先是互斥事件, 再就是两个事件 的和事件是全集,由此规律对四个选项逐一验证即可得到答案 解答: 解:A 中的两个事件是包含关系,故不符合要求. B 中的两个事件之间有都包含一名女的可能性,故不互斥; C 中的两个事件符合要求,它们是互斥且不对立的两个事件; D 中的两个事件是对立事件,故不符合要求 故选:C. 点评:本题考查互斥事件与对立事件, 解题的关键是理解两个事件的定义及两事件之间的关 系.属于基本概念型题. 6.下表是某厂 1~4 月份用水量(单位:百吨)的一组数据:

月份 x 用水量 y

1 4.5

2 4

3 3

4 2.5

由散点图可知,用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归直线方程是 = ﹣0.7x+a,则 a 等于( A. 10.5 考点:线性回归方程. 专题:概率与统计. 分析:由条件利用回归直线经过样本的中心点( , ) ,求得 a 的值. 解答: 解:由题意可得样本的中心点的坐标为(2.5,3.5) , 再把样本的中心点的坐标(2.5,3.5)代入其线性回归直线方程是 =﹣0.7x+a, 可得 3.5=﹣0.7×2.5+a,求得 a=5.25, 故选:D. 点评:本题主要考查回归直线经过样本的中心点( , ) ,属于基础题. 7. A. ﹣sin10°(tan 5°﹣tan5°)=( B. 1
﹣1

) B. 5.15

C. 5.2

D. 5.25

) C. 2 D.

考点:三角函数的化简求值. 专题:三角函数的求值. 分析:由条件利用同角三角函数的基本关系、倍角公式,把要求的式子化为= 2cos10°,通分后利用诱导公式、和差化积公式化为 cos30°,从而得到结果. 解答: 解:原式= = = = = = = = ﹣

= =cos30° = .

故选 D. 点评:本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、和差化积公式的应用,属于中档 题 8.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是( )

A. 2

B. 4

C. 8

D. 16

考点:循环结构. 专题:阅读型;图表型. 分析:根据程序框图可知,程序运行时,列出数值 S 与 n 对应变化情况,从而求出当 S=2 时,输出的 n 即可. 解答: 解: .由框图可知,程序运行时,数值 S 与 n 对应变化如下表: S ﹣1 2

n 2 4 8 故 S=2 时,输出 n=8. 故选 C 点评:本题主要考查了直到型循环结构, 循环结构有两种形式: 当型循环结构和直到型循环 结构,当型循环是先判断后循环,直到型循环是先循环后判断,属于基础题.

9. 在△ABC 中, M 是 BC 的中点, AM=1, 点 P 在 AM 上且满足 等于( A. ) B. C.

, 则

D.

考点:平面向量数量积的运算. 专题:计算题;平面向量及应用. 分析:根据向量加法的几何意义,得出 =2 ,从而所以 = .

解答: 解:如图 因为 M 是 BC 的中点,根据向量加法的几何意义, 又 所以 , = = . =2 ,

故选:A. 点评:本题考查向量加法的几何意义,向量数量积的计算,属于基础题. 10.函数 f(x)=cos(πx+φ) (φ>0)的图象如图所示,设 P 是图象的最高点,A、B 是图 象与 x 轴的交点,则 tan∠APB=( )

A. 10

B. 8

C.

D.

考点:余弦函数的图象. 专题:三角函数的求值. 分析:由题意求出函数的周期,与最值,过 p 作 PD⊥x 轴于 D,解出∠APD 与∠BPD 的正 切,利用两角和的正切函数求出 tan∠APB. 解答: 解:由函数 f(x)=cos(πx+φ) (φ>0)的图象可得, 由题意可知 T= tan∠APD= , tan∠BPD= , =2,最大值为:1;过 P 作 PD⊥x 轴于 D,AD= ,DB= ,DP=1,所以

所以 tan∠APB=tan(∠APD+∠BPD)=

=8,

故选:B.

点评:本题主要考查三角函数的图象与两角和的正切函数公式的应用, 题目新, 考查理解能 力计算能力,属于中档题.

11.关于 f(x)=3sin(2x+

)有以下命题,其中正确命题的个数(



①若 f(x1)=f(x2)=0,则 x1﹣x2=kπ(k∈Z) ; ②f(x)图象与 g(x)=3cos(2x﹣ ③f(x)在区间[﹣ ,﹣ )图象相同;

]上是减函数; ,0)对称. C. 2 D. 3

④f(x)图象关于点(﹣ A. 0

B. 1

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:考查 f(x)=3sin(2x+ )的零点、周期性、对称性、单调性,可得结论. ) ,由于它的周期为 π,相邻的两个零点相差半个周

解答: 解:关于 f(x)=3sin(2x+ 期, 故若 f(x1)=f(x2)=0,则 x1﹣x2=k? 由于 g(x)=3cos(2x﹣ 由 2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+

(k∈Z) ,故①不正确. + )=f(x)=3sin(2x+ ≤x≤kπ+ , ,﹣ ]上是 ) ,故②正确.

)=3sin(2x﹣

,k∈z,求得 kπ+ ≤x≤kπ+

故函数 f(x)的减区间为[kπ+ 减函数, 故③正确. 把 x=﹣

],k∈z,故 f(x)在区间[﹣

代入 f(x)的解析式求得 f(x)=0,可得 f(x)图象关于点(﹣

,0)对称,

故④正确. 故选:D. 点评:本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的零点、周期 性、对称性、单调性,属于基础题. 12.在四边形 ABCD 中, 的面积为( A. ) B. 2 C. D. = =(1,1) , + = ,则四边形 ABCD

考点:平面向量的基本定理及其意义. 专题:平面向量及应用. 分析:根据已知条件可判定四边形 ABCD 是菱形,并且边长为

,对等式

两边平方可得 cos∠ABC,从而求出 sin∠ABC,根据三角形 的面积公式:S= 解答: 解:∵ ∴四边形 ABCD 是?; ∵ ∴四边形 ABCD 是菱形,边长为 ∴ 都是单位向量; ; ; 即可求出四边形 ABCD 的面积.

整理得:



∴cos ∴sin

; ; .

故选:A. 点评:求解本题的关键是判断出四边形 ABCD 是菱形,本题考查知识点是,根据向量的坐 标求长度,菱形的概念,单位向量,向量加法的平行四边形法则,三角形的面积公式. 二.填空题(本题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,请把正确答案填在题中横线上) 6 5 4 3 2 13.用秦九韶算法计算多项式 f(x)=x ﹣12x +60x ﹣160x +240x ﹣192x+64 当 x=2 时的 值时,v4 的值为 80 . 考点:秦九韶算法. 专题:算法和程序框图. 分析:由秦九韶算法计算多项式 ( f x) = ( ( ( ( (x﹣12) x+60) x﹣160) x+240) x﹣192) x+64. 即 可得出. 6 5 4 3 2 解答: 解:由秦九韶算法计算多项式 f(x)=x ﹣12x +60x ﹣160x +240x ﹣192x+64 =( ( ( ( (x﹣12)x+60)x﹣160)x+240)x﹣192)x+64. ∴当 x=2 时的值时, v0=1,v1=1×2﹣12=﹣10,v2=﹣10×2+60=40,v3=40×2﹣160=﹣80,v4=﹣80×2+240=80. 故答案为:80. 点评:本题考查了秦九韶算法的应用,属于基础题.

14. 将二进制数 1011010(2)化为十进制结果为 90 ; 再将该数化为八进制数, 结果为 132 . (8) 考点:整除的定义. 专题:算法和程序框图. 分析:利用二进制数化为“十进制”的方法可得 1011010(2) =1×2 +0×2 +1×2 +1×2 +0×2 +1×2 +0×2 .再利用“除 8 取余法”即可得出. 6 5 4 3 2 1 0 解答: 解:二进制数 1011010(2)=1×2 +0×2 +1×2 +1×2 +0×2 +1×2 +0×2 =90. 如图所示, ∴90(10)=132(8)
6 5 4 3 2 1 0

点评:本题考查了二进制数化为“十进制”的方法、“除 8 取余法”,属于基础题. 15.在边长为 2 的正方形 ABCD 中,点 O 为边 AB 的中点,在正方形 ABCD 内随机取一点 P,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 .

考点:几何概型. 专题:计算题;概率与统计. 分析:本题考查的知识点是几何概型,关键是要找出点到 O 的距离大于 1 的点对应的图形 的面积,并将其和正方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解. 解答: 解:在正方形 ABCD 内随机取一点 P,点 P 到点 O 的距离等于 1 的轨迹是以 O 为 圆心,1 为半径的半圆,面积为 ∵正方形的面积为 4, ∴点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 1﹣ 故答案为: . = . ,

点评:几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、面积、体积等,而且这 个“几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.

16. 在△ABC 中, ∠B=60°, O 为△ABC 的外心, P 为劣弧 AC 上一动点, 且 y∈R) ,则 x+y 的取值范围为 [1,2] .

=x

+y (x,

考点:平面向量的基本定理及其意义. 专题:不等式的解法及应用;平面向量及应用.

分析:看能否建立关于 x,y 变量之间的式子,设外接圆的半径为 r,则 ,对等式两边平方得:
2 2

,整理便会得到 x ﹣ ,

2

xy+y =1, 所以 (x+y) =3xy+1, 因为 P 为劣弧上的点, 所以 x, y∈[0, 1], 根据 所以 从而求出 x+y 的范围.

解答: 解:∠AOC=120°,设|OA|=|OC|=|OP|=r;

∵ ∴ ∴

; ; r =r ;
2 2 2

∴(x+y) =3xy+1; ∵P 为劣弧 AC 上一动点; ∴0≤x≤1,0≤y≤1; ∴x+y≥ ∴xy≤ ∴1≤ ∴1≤(x+y) ≤4 ∴1≤x+y≤2. ∴x+y 的取值范围为[1,2]. 故答案为:[1,2]. 点评:求解本题的关键便是根据| |=r,对等式| |=r 两边进行平方.考查圆周角与 .
2



圆心角的关系,向量的数量积,基本不等式

三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤) 17.如图,已知角 α 的终边在第二象限,且与单位圆交于点 P(m, (Ⅰ)求实数 m 的值; ) .

(Ⅱ)求

的值.

考点:两角和与差的正弦函数;任意角的三角函数的定义;运用诱导公式化简求值. 专题:三角函数的求值. 分析: (I)利用单位圆的性质可得: =1,且 m<0,解得 m;

(II)由(I)可得:sinα,cosα.再利用诱导公式即可得出. 解答: 解: (Ⅰ)根据题意得: (Ⅱ)∵sinα= ,cosα=﹣ , =1,且 m<0,解得:m=﹣ ;

∴原式=

=

=

=



点评:本题考查了三角函数化简求值、单位圆的性质、诱导公式、两角和差的正弦公式,考 查了计算能力,属于基础题. 18.某校高三(1)班全体女生的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同 程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:

(1)求高三(1)班全体女生的人数; (2)求分数在[80,90)之间的女生人数,并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的 高;

(3)若要从分数在[80,100)之间的试卷中任取两份分析女学生失分情况,在抽取的试卷 中,求至少有一份分数在[90,100)之间的概率. 考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图. 专题:概率与统计. 分析: (1)根据条件所给的茎叶图看出分数在[50,60)之间的频数,由频率分布直方图 看出分数在[50,60)之间的频率,根据频率、频数和样本容量之间的关系解出样本容量. (2)算出分数在[80,90)之间的人数,算出分数在[80,90)之间的频率,根据小矩形的 面积是这一段数据的频率,做出矩形的高. (3)由题意知本题是一个古典概型,试验包含的所有事件可以通过列举得到结果数,看出 满足条件的事件数,根据古典概型公式得到结果. 解答: 解: (1)由茎叶图知:分数在[50,60)之间的频数为 2. 由频率分布直方图知:分数在[50,60)之间的频率为 0.008×10=0.08. ∴全班人数为 =25 人.

(2)∵分数在[80,90)之间的人数为 25﹣2﹣7﹣10﹣2=4 人 ∴分数在[80,90)之间的频率为 =0.16, =0.016.

∴频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为

(3)将[80,90)之间的 4 个分数编号为 1,2,3,4; [90,100]之间的 2 个分数编号为 5,6. 则在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为: (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , (3,4) , (3,5) , (3,6) , (4,5) , (4,6) , (5,6)共 15 个. 至少有一个在[90,100]之间的基本事件有(1,5) (1,6) (2,5) (2,6) (3,5) (3,6) (4,5) (4,6) (5,6)共 9 个, ∴至少有一份分数在[90,100]之间的概率是 .

点评:这是一个统计综合题,频数、频率和样本容量三者之间的关系是知二求一,这种问题 会出现在选择和填空中,有的省份也会以大题的形式出现,把它融于统计问题中.

19.设向量 =(2,sinθ) , (1)若 ∥ ,求 tanθ 的值; (2)若 ? = ,求 sinθ+cosθ 的值.

,θ 为锐角.

考点:平面向量数量积的运算;平行向量与共线向量. 专题:计算题;平面向量及应用. 分析: (1)根据向量平行的坐标表示式,结合题中数据建立关于 θ 的关系式,用同角三 角函数基本关系化简即可得到 tanθ=2.

(2)根据向量数量积的公式可得 2+sinθcosθ=
2

,解出 sinθcosθ= .结合同角三角函数的

平方关系, 算出 (sinθ+cosθ)= , 将两边开方并且注意到 θ 为锐角, 即可得到 sinθ+cosθ= (舍负) . 解答: 解: (1)∵ =(2,sinθ) , ∴2cosθ﹣sinθ=0,可得 tanθ=2. (2)∵ ? = ∴2+sinθcosθ= , ,化简得 sinθcosθ= .
2

,且 ∥ ,…(2 分) …(5 分)

…(8 分) …(10 分)

因此, (sinθ+cosθ) =1+2 sinθcosθ= . 又∵θ 为锐角,可得 sinθ+cosθ 是正数 ∴sinθ+cosθ= (舍负) . …(12 分)

点评:本题给出向量含有三角函数的坐标形式,在满足 、 平行的情况和 ? =

的情况

下,求 tanθ 和 sinθ+cosθ 的值.着重考查了平面向量平行的坐标表示式、向量数量积的坐标 公式和同角三角函数关系等知识,属于中档题.

20.已知函数 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的单调递增区间; (3)求 f(x)在



上的最值及取最值时 x 的值.

考点:二倍角的余弦; 两角和与差的正弦函数; 二倍角的正弦; 三角函数的周期性及其求法; 正弦函数的单调性. 专题:三角函数的图像与性质. 分析: (1) 利用三角函数的恒等变换化简函数 f (x) 的解析式为 由此求得它的周期. (2)根据函数 f(x)的解析式为 ,由 ,求得 x 的范围,可得函数的增区间. (3)根据 x 的范围,以及正弦函数的定义域和值域求得函数的最值. 解答: 解: (1)因为 = …(1 分) ,

=

=

,…(3 分) .…..(4 分) ,由 ,…(6 分)

所以 f(x)的最小正周期 (2)因为

得 所以 f(x)的单调增区间是 (3)因为 所以 所以 当 当 ,所以

,…..(7 分) .…(8 分) .…..…(9 分) .…..…..…. (10 分) .…..…(12 分) ,即 x=0 时,f(x)取得最小值 1.…..…(13 分) ,即 时,f(x)取得最大值 4.…..…(14 分)

点评:本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值, 三角函数的周期性和求法, 正弦函数 的单调性、定义域和值域,属于中档题.

21.已知向量 =(sin ,﹣1) , =( 为 2. (1)求 f(x)最小正周期和解析式; (2)设 α,β∈[0, ],f(3α+

A, Acos ) (A>0) ,函数 f(x)= ? 的最大值

) ,f(3β+2π)= ,求 sin(α﹣β)的值.

考点:平面向量数量积的运算;三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题:三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 分析: (1)利用平面向量的数量积得到解析式,然后利用三角函数公式化简,由题意得 到周期和 A; (2)由(1)得到 α,β 的三角函数值,然后由两角和与差的三角函数公式求值. 解答: 解: (1) … (3 分) f(x)的最小正周期 …(4 分)

因为 A>0,由题意知 A=2,…(5 分)

所以 f(x)=2sin( x﹣ (2)f(3α+

)…(6 分) )﹣ )=2sinα= ,

)=2sin( (3α+

f(3β+2π)=2sin( (3β+2π)﹣ ∴sin ∴cosα= sinβ= = ,cos ,α,β∈[0, =

)=2sin( ],

)=2cosβ= ,…(8 分)

…(10 分) =﹣ …(12 分)

∴sin(α﹣β)=sinαcosβ﹣cosαsinβ=

点评:本题考查了平面向量的数量积、 三角函数式的化简以及三角函数公式; 熟练掌握两角 和与差的三角函数公式是关键. 22.已知函数 f(x)的图象是由函数 g(x)=cosx 的图象经如下变换得到:先将 g(x)图 象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍,横坐标不变,再将所得到的图象向右平移 位长度. (1)求函数 f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程; (2)已知关于 x 的方程 f(x)+g(x)=m 在[0,2π)内有两个不同的解 α,β (i)求实数 m 的取值范围; (ii)证明:cos(α﹣β)= ﹣1. 个单

考点:三角函数中的恒等变换应用;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:创新题型;函数的性质及应用;三角函数的图像与性质. 分析: (1)由函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律可得:f(x)=2sinx,从而可求对称 轴方程. (2) (i)由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得 f(x)+g(x)= sin(x+j) (其中 sinj= ,cosj= ) ,从而可求| |<1,即可得解. ,sin(β+j)= .当 1<m< 时,可求 α﹣β=π﹣2(β+j) ,
2

(ii)由题意可得 sin(α+j)=

当﹣ <m<1 时,可求 α﹣β=3π﹣2(b+j) ,由 cos(α﹣β)=2sin (β+j)﹣1,从而得证. 解答: 解: (1)将 g(x)=cosx 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变) 得到 y=2cosx 的图象,再将 y=2cosx 的图象向右平移 的图象,故 f(x)=2sinx, 从而函数 f(x)=2sinx 图象的对称轴方程为 x=k (k∈Z) . 个单位长度后得到 y=2cos(x﹣ )

(2) (i)f(x)+g(x)=2sinx+cosx= cosj= )



)=

sin(x+j) (其中 sinj=



依题意,sin(x+j)= 的取值范围是(﹣ , (ii)因为 α,β 是方程 所以 sin(α+j)= 当 1<m< 当﹣

在区间[0,2π)内有两个不同的解 α,β,当且仅当| ) . sin(x+j)=m 在区间[0,2π)内有两个不同的解, .

|<1,故 m

,sin(β+j)=

时,α+β=2(

﹣j) ,即 α﹣β=π﹣2(β+j) ; ﹣j) ,即 α﹣β=3π﹣2(β+j) ;
2 2

<m<1 时,α+β=2(

所以 cos(α﹣β)=﹣cos2(β+j)=2sin (β+j)﹣1=2(

) ﹣1=



点评:本小题主要考查三角函数的图象与性质、 三角恒等变换等基础知识, 考查运算求解能 力、抽象概括能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、分类与整体思想、化归与转化思 想、数形结合思想.


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