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2014年普通高等学校招生全国统一考试福建卷(数学理)


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)
数 学 (理工类)

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.复数 z ? (3 ? 2i)i 的共轭复数 z 等于( )

A. ? 2 ? 3i

B. ? 2? 3 i<

br />
C. 2? 3 i

D. 2? 3 i


2.某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是(

A. 圆柱

B. 圆锥

C. 四面体

D. 三棱柱
)

3.等差数列 {an } 的前 n 项和 Sn ,若 a1 ? 2, S3 ? 12 ,则 a6 ? (

A.8

B. 1 0

C. 1 2

D.14


4.若函数 y ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 的图像如右图所示,则下列函数图像正确的是(

5.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 S 得值等于(



A.18

B. 2 0

C. 2 1

D.40

2 2 6.直线 l : y ? kx ? 1 与圆 O : x ? y ? 1 相交于 A, B 两点,则 " k ? 1" 是“ ?ABC 的面积为

1 ”的( 2



A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分又不必要条件

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第一节 已知函数 f ?x ? ? ? 第二节 f ?x ? 是偶函数

?x 2 ? 1, x ? 0 ?cos x, x?0

则下列结论正确的是(



B. f ?x ? 是增函数

C. f ?x ? 是周期函数 D. f ?x ? 的值域为 ?? 1,??? )

第三节 在下列向量组中,可以把向量 a ? ?3,2? 表示出来的是( 第四节 e1 ? (0,0), e2 ? (1,2) C. e1 ? (3,5), e2 ? (6,10)
2

B . e1 ? (?1,2), e2 ? (5,?2) D. e1 ? (2,?3), e2 ? (?2,3)
2

x2 ? y 2 ? 1 上的点,则 P, Q 两点间的最大距离是( 第五节 设 P, Q 分别为 x ? ? y ? 6? ? 2 和椭圆 10
第六节 5 2 B. 46 ? 2 C. 7 ? 2 D. 6 2



第七节 用 a 代表红球,b 代表蓝球, c 代表黑球,由加法原理及乘法原理,从 1 个红球和 1 个篮球中取出 若干个球的所有取法可由 ?1 ? a ??1 ? b? 的展开式 1 ? a ? b ? ab 表示出来,如: “1”表示一个球都不取、 “ a ”表示取出一个红球,面“ ab ”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推,下列各式中,其展开 式可用来表示从 5 个无区别的红球、5 个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的篮球都取出或都不 取出的所有取法的是 第八节
5

?1? a ? a

2

? a3 ? a 4 ? a5 1 ? b5 ?1 ? c? B. 1 ? a5 1 ? b ? b2 ? b3 ? b4 ? b5 ?1 ? c?
5

??

?

?

??

?

5

C. ?1 ? a? 1 ? b ? b2 ? b3 ? b4 ? b5 1 ? c5 D. 1 ? a5 ?1 ? b? 1 ? c ? c 2 ? c3 ? c 4 ? c5
5

?

??

? ?

?

?

?

第九节 填空题

?x ? y ? 1 ? 0 ? 第十节 若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 8 ? 0 则 z ? 3x ? y 的最小值为________ ?x ? 0 ?
12、在 ?ABC 中, A ? 60?, AC ? 2, BC ? 3 ,则 ?ABC 等于_________ 13、要制作一个容器为 4 m ,高为 1m 的无盖长方形容器,已知该容器的底面造价是每平方米 20 元,侧面 造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是_______(单位:元) 第十一节 如图,在边长为 e ( e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则他落到阴影部分
3

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的概率为______. 第十二节 若集合 {a, b, c, d } ? {1,2,3,4}, 且下列四个关系:

① a ? 1 ;② b ? 1 ;③ c ? 2 ;④ d ? 4 有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组 (a, b, c, d ) 的个数 是_________. 第十三节 解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. (本小题满分 13 分)

第十四节 已知函数

1 f ( x) ? cos x(sin x ? cos x) ? . 2
若0 ??

第十五节

?

?
2

,且 sin ?

?

2 ,求 f (? ) 的值; 2

第十六节 求函数

f ( x) 的最小正周期及单调递增区间.

17.(本小题满分 12 分) 在平行四边形 ABCD 中, AB ? BD ? CD ? 1 , AB ? BCD, CD ? BD .将 ? ABD 沿 BD 折起,使 得平面 ABD ? 平面 BCD ,如图. 第十七节 第十八节 求证: CD ? CD ; 若 M 为 AD 中点,求直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值.

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18.(本小题满分 13 分) 为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000 位顾客进行奖励,规定:每位顾客从 一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球,球上所标的面值之和为该顾 客所获的奖励额. (1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元,其余 3 个均为 10 元,求 ①顾客所获的奖励额为 60 元的概率 ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望; (2)商场对奖励总额的预算是 60000 元,并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的两种球组成,或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励 总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的 4 个球 的面值给出一个合适的设计,并说明理由.

19.(本小题满分 13 分)

x2 y2 已知双曲线 E : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线分别为 l1 : y ? 2 x, l2 : y ? ?2 x . a b
(1)求双曲线 E 的离心率; (2)如图, O 为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1 , l2 于 A, B 两点( A, B 分别在第一, 四象限) ,且 ?OAB 的面积恒为 8,试探究:是否存在总与直线 l 有且只有一个公 共点的双曲线 E ?若存在,求出双曲线 E 的方程;若不存在,说明理由。

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ?x ? ? e ? ax ( a 为常数)的图像与 y 轴交于点 A ,曲线 y ? f ?x ? 在点 A 处
x

的切线斜率为-1.

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(I)求 a 的值及函数 f ?x ? 的极值; (II)证明:当 x ? 0 时, x ? e ;
2 x

(III)证明:对任意给定的正数 c ,总存在 x0 ,使得当 x ? ?x0, ? ?? ,恒有 x ? ce .
2 x

第十九节

本题设有(1) , (2) , (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.

如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题 号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换 已知矩阵 A 的逆矩阵 A?1 ? ? ?1 ? (I)求矩阵 A ; (II)求矩阵 A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量. (2) (本小题满分 7 分)选修 4—4:极坐标与参数方程 已知直线 l 的参数方程为 ?
?1

? 2 1? ?. 2? ?

? x ? a ? 2t , ( t 为参数) ,圆 C 的参数方程为 ? y ? ?4t

? x ? 4 cos? , ( ? 为常数). ? ? y ? 4 sin ?
(I)求直线 l 和圆 C 的普通方程; (II)若直线 l 与圆 C 有公共点,求实数 a 的取值范围. (3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选将 已知定义在 R 上的函数 f ?x? ? x ? 1 ? x ? 2 的最小值为 a . (I)求 a 的值;

q, r 为正实数,且 p ? q ? r ? a ,求证: p 2 ? q 2 ? r 2 ? 3 . (II)若 p ,

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