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如何找等量关系[1]


如何找等量关系
山东 李其明 列方程解应用题的关键是找相等关系, 有些同学在学习列方程解应用题时, 不知如何从 问题中抽象出相等关系,下面介绍一些找等量关系的方法,供同学们参考. 一、抓关键词 例 1.甲队有 32 人,乙队有 28 人,如果要使甲队人数是乙队人数的 2 倍,那么需从乙 队抽调多少人到甲队? 分析: 在本题中抓住“2 倍”便可发现相等关系: 抽调后甲队人数=抽调后乙队人数×2. 评注:在解答应用时,若题目中出现诸如“几倍、共、多、少、快、慢、提前、超过、 增加、相差”等关键词语时,应抓住它们进行分析,以使相等关系显现出来. 二、抓不变量 例 2. 某企业生产一种产品, 每件成本是 400 元, 销售价为 510 元, 本季度销售 m 件. 为 了进一步扩大市场,该企业决定下季度销售价降低 4%,预计销售数量提高 10%,要使总的 销售利润(销售利润=销售价—成本价)保持不变,该产品的成本价应降低多少? 分析:降低前与降低后的销售利润不变,这就是本题的相等关系. 评注:在解答应用题时,要注意分析找出不变量,即相等关系,如:两人由两地同时出 发相向而行,相遇前的时间相等;等体积变形中的体积不变. 三、根据事理 例 3.某项工作,甲单独完成需 12 天,乙单独完成需 15 天;若甲、乙合作若干天后, 再由乙单独作 6 天完成,若再由甲单独完成需几天? 分析:这件工作是怎样完成的,就是相等关系.根据题意,甲、乙合作若干天后,乙单 独作,等量关系为:甲乙合作的工作量+乙单独的工作量=工作总量. 评注:解答某些应用题时,可以根据题目叙述的事理确定相等关系. 四、利用公式 例 4.商店对某种商品调价,按原价的 8 折出售,此时商品的利润率是 10%,此商品的 进价为 1600 元,商品的原价是多少元? 分析:根据公式,商品利润率=

商品利润 调价后的利润 ,可得相等关系:10%= . 1600 商品进价

评注:解答应用题时,要注意分析各种量是否符合某个公式,如:路程=时间×速度, 工作总量=工作时间×工作效率,矩形面积=长×宽,利息=本金×利率. 五、借助图表 例 5. 《中华人民共和国个人所得税》规定:公民月工资、薪金所得不超过 800 元部分 不必钠税,超过 800 元的部分为全月纳税所得额,此项税款按下表累计计算: 全月应纳税所得额 不超过 500 元的部分 超过 500 元至 2000 元的部分 超过 2000 元至 5000 元的部分 ???? ????? 税率 5% 10% 15% ???

(纳税款=应纳税所得额×对应的税率) . 某人本月纳税 150.1 元,求他本月的工薪收入. 分析:全月纳税所得额如上图所示: 税率 5% 0 500 纳税所得额 税率 10% 2000 税率 15% 5000

由于某人本月纳税 150.1 元,可知他的纳税所得额超过 500 元,而未达到 2000 元.根 据图示有相等关系:500 元的纳税额+超过 500 元部分的纳税额=150.1 元. 评注: 某些应用题中的相等关系较隐蔽, 不易被发现时, 可以借助图示、 用列表的方式, 将抽象的问题具体化,进而挖掘出相等关系. 六、利用参数 例 6.在车站开始检票时,有 a(a>0)名旅客在候车室排队等候检票进站.检票开始后仍 有旅客继续前来排队检票进站. 设旅客按固定的速度增加, 检票口检票的速度是固定的若开 放一个检票口,则需 30 分钟才可将排队等候的旅客全部检票完毕,以便后来到站的旅客能 随到随检,至少要同时开放几个检票口? 分析:这是一道动态型应用题,涉及未知量不少;许多学生阅读题目后,不知所措,分 不清数量间的关系,如果用增设参数的方法,很容易理顺题目中的数量关系,问题便可迎刃 而解.设χ 是检票开始后每分钟新增加旅客人数;y 为每个检票口每分钟检票人数,n 是在 5 分钟内检票完毕需同时开始的检票口数,则有: a+30χ =30y a+10χ =20y a+5χ ≤5ny 由①②易得χ = ① ② ③

a a ,y= 15 30 a a a a 从而有 a+5× ≤5n× ,∴a+ ≤n× 15 6 3 30

∴n≥

21 ,n 取最小正整数为 4. 6

即至少同时开放 4 个检票口. 评注:对于较复杂的问题,由于数量关系较多,不易梳理,这时可以借助增设参数的方 法来寻找相等关系,从而解决问题. 七、借助实物图的特征 例 5.某农具厂用直径为 6 ㎝的圆钢 6㎝ 锻造半径为 3 ㎝钢球毛坯,问圆钢应截 多长? R 分析:如图,设圆钢的长为 x ㎝,可锻造 3㎝ 的毛坯在锻造过程中,体积没有变化, 所以有:π ×(

6 4 3 )x=π × ? 3 2 3

评注:即通过实物图示来找出题目中的数量关系,从而列出方程.


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