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高中数学 4.4.1参数方程的意义课件 苏教版选修4-4


参数方程的意义

1、参数方程的概念:
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以 100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准 确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何 确定投放时机呢?
提示: 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时,开始投放物资?

投放点


>
救援点

1、参数方程的概念:
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以 100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准 确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何 确定投放时机呢?

y 500

物资投出机舱后,它的运动由下列两种运动合成: (1)沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动; (2)沿oy反方向作自由落体运动。

o

x

1、参数方程的概念:
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以 100m/s的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准 确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何 解:物资出舱后,设在时刻t,水平位移为x, 确定投放时机呢?

y 500

垂直高度为y,所以 ? x ? 100t , (g=9.8m/s2 ) ? ? 1 y ? 500 ? gt 2 . ? ? 2

令y ? 0, 得t ? 10.10s. 代入x ? 100t , 得 x ? 1010m.

o 以,飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资, x 所
可以使其准确落在指定位置.

一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的 坐标x, y都是某个变数t的函数 ? x ? f (t ), (2) ? ? y ? g (t ).

1、参数方程的概念:

并且对于t的每一个允许值, 由方程组(2) 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(2) 就叫做这条曲线的 参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数, 简称参数. 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系 的方程叫做普通方程。
关于参数几点说明: 参数是联系变数x,y的桥梁,

1. 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 也可以没有明显意义。
2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样 3.在实际问题中要确定参数的取值范围

数学运用
例1、如图,以O为圆心,分别以a,b为半径(a>b>0) 作两个圆,自O作一条射线分别交两圆于M,N两点, 自M作MT ? ox,垂足为T,自N作NP ? MT , 垂足为P, 求点P的轨迹 参数方程.
y
M N P(x,y) x

O

S T

? x ? 3t , 例2: 已知曲线C的参数方程是 ? (t为参数) 2 ? y ? 2t ? 1.
(1)判断点M1(0, 1),M2(5, 4)与曲线C 的位置关系; (2)已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值。

练习1
1、曲线

A、(1,4);B、 (

? x ? 1? t2 与x轴的交点坐标是( ,(t为参数) ? ? y ? 4t ? 3 25
25 , 0); C、(1, ?3); 16
D、

)

B

(?

16

, 0);

2、方程


D



? x ? sin ? 所表示的曲线上一点的坐标是 ,(? 为参数) ? ? y ? cos?
1 C、 2 ( , ); 3 3

A、(2,7);B、

1 1 (D、(1,0) , ); 2 2

练习2:

已知曲线C的参数方程是

点M(5,4)在该 曲线上. (2)求曲线C的普通方程.

(1)求常数a;

? x ? 1 ? 2t , (t为参数,a ? R ) ? 2 ? y ? at .

1+2t=5 解得: a=1 解: (1)由题意可知: ∴ a=1 2=4 at t=2 x=1+2t (2)由已知及(1)可得,曲线C的方程为:
由第一个方程得:

x ?1 t ? 2

y=t2

代入第二个方程得:

x ?1 2 y?( ) , 2

( x ?1) ? 4 y为所求.
2

思考题:
动点M作等速直线运动, 它在x轴和y轴方向的速 度分别为5和12 , 运动开始时位于点P(1,2), 求点M的 轨迹参数方程。
解:设动点M (x,y) 运动时间为t,依题意,得

? x ? 1 ? 5t ? ? y ? 2 ? 12t
所以,点M的轨迹参数方程为

? x ? 1 ? 5t ? ? y ? 2 ? 12t

参数方程求法:
(1)建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标为(x,y); (2)选取适当的参数; (3)根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义, 建立点P坐标与参数的函数式; (4)证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程.

小结:
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y都是某个变数t的函数

? x ? f (t ), (2) ? ? y ? g (t ).

并且对于t的每一个允许值,由方程组(2)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,
那么方程(2)就叫做这条曲线的参数方程, 系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数。


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