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2012届江苏省高考数学理二轮总复习专题导练课件:专题8 向量的运用与解三角形


1 .( 2 0 1 1 ?重 庆 卷 ) 若 ? A B C 的 内 角 A、 B 、 C 所 对 的 边   分 别 为 a、 b、 c, 且 满 足 ? a ? b ? ? c ? 4 , 且 C ? 6 0 ?,
2 2

则 a b的 值 为 _ _ _ _ _   .

?? a ? b ? ? c ? 4 解析:由

题意有 ? 2 , 2 2 ? a ? b ? c ? 2 ab cos 60 ? ? a b
2 2

两 式 相 减 得 ab ?

4 3

.

  0 1 0 ?天 津 卷 ) 在 ? A B C 中 , 内 角 A, B, C 的 对 边 2 .(2 分 别 是 a, b, c, 若 a ? b ?
2 2

3 b c, C ? 2 3 sin B, sin

则 A ? ____ .
解 析 : 由 sin C ? 2 3sin B 结 合 正 弦 定 理 得 c ? 2 3 b, 所 以 co s A ? ? b ?c ?a
2 2 2

?

? 3b c ? c 2bc ? 3 2 ,

2

2bc ? 3b c ? 2 3b c 2bc 所 以 A ? 30 ? .

3 .( 2 0 1 1?北 京 卷 ) 在 ? A B C 中 , 若 b ? 5 , ? B ? tan A ? 2 , 则 a ? _ _ _ _ _ _   .

?
4



解 析 : 因 为 ? A B C 中 , tan A ? 2 , 所 以 A 为 锐 角 , 且 sin A co s A 所 以 sin A ? 2 5 5 ,再由 a sin A ? b si n B 得 a ? 2 10 . ? 2 , 又 sin A ? co s A ? 1 ,
2 2

  0 1 1?四 川 卷 ) 在 ? A B C 中 sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C . 4.(2
2 2 2

则 A的 取 值 范 围 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

解析:由题意正弦定理 a ? b ? c ? bc ? b ? c ? a ? bc ?
2 2 2 2 2 2

b ?c ?a
2 2

2

? 1,

bc 所 以 co s A ? 1 2 ? 0? A?

?
3

.

  2 0 10 ?江 苏 卷 ) 在 锐 角 三 角 形 A B C 中 , 角 A、 5.( B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b、 c .若 则 tan C tan A ? tan C tan B 的 值 是 ____   . b a ? a b ? 6 co s C ,

解 析 : 方 法 1 : 考 虑 已 知 条 件 和 所 求 结 论 对 于 角 A、 B 和 边 a、 b 具 有 轮 换 性 可 用 特 殊 值 法 . 当 A ? B 或 a ? b 时 满 足 题 意 , 此 时 有 co s C ? 1 3 , tan
2

C 2

?

1 ? co s C 1 ? cos C

?

1 2



ta n

C 2

?

2 2

2 ta n , ta n C ? 1 ? ta n

C 2 ? 2 2 C 2 1 ta n C 2 2,

ta n A ? ta n B ? ta n (

? ?C
2

) ?

?

2,

ta n C ta n A

?

ta n C ta n B

? 4.

方 法 2: 利 用 余 弦 定 理 进 行 角 化 边 。 b a ? a b
2 2 2

? 6 co s C ? 6 a b co s C ? a ? b ,
2 2

a ?b ?c 6ab? 2ab

? a ? b ,a ? b ?
2 2 2 2

3c 2

2

tan C

sin C co s B sin A ? sin B co s A ? ? ? tan A tan B co s C sin A sin B tan C
2

sin C sin ( A ? B ) 1 sin C ? ? ? ? . co s C sin A sin B co s C sin A sin B 由正弦定理, 得上式 ? ? ? 1 co s C a b 6 1 c
2 2 2 2

c
2

?
2

c

? 4.

(a ? b )

1 3c ? 6 2

例 1 已 知 四 边 形 A B C D 中 , B ? ? 6,1 ? , D ? (-2, 3), A C 若 B C ? D A, C ? B D, 求 向 量 的 坐 标 与 四 边 形 A A B C D的 面 积 . ??? ? ??? ???? ??? ? ? 分 析 : 题 中 B C ? D A, C ? B D, 其 实 就 提 供 了 A ??? ? 两 个 方 程 , 故 把 BC坐 标 和 他 们 联 系 即 可 求 解 . ??? ? ???? ??? ??? ? ?
??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ???? ?

??? ?

??? ?

解 析 : 设 B C ? ( x, y ), 则 A C ? A B ? B C ? ? 6 ? x ,1 ? y ? ,

B D ? B C ? C D ? ( x ? 2, y ? 3) ,

??? ?

DA ? DC ? CB ? BA ? ? 2, 3 ? ? ( ? x, y ) ? ( ? 6, 1) ? ? ? 4 ? x , 2 ? y ? , ? ?

????

??? ?

???

??? ?

????
?

B C ? D A ? x ? 2 ? y ? ? y ? ? 4 ? x ? ? 0 .①

??? ?

???? ??? ? A C ? B D ? A C ?B D ? 0

??? ?

? 6 ? x ? ? x ? 2 ? ? ?1 ? y ? ? y ? 3 ? ?

0 .②

?x ? 2 ? x ? ?6 由①②解得 ? 或 ? . ? y ? ?1 ?y ? 3 所 以 B C ? ( 2, 1) 或 B C ? ? ? 6 , 3 ? . ? 可 求 出 A C ? 4, D ? 8, 或 A C ? 8, B

??? ?

??? ?

? ???

??? ?

????

??? ?

B D ? 4 .因 为 S A B C D

? 1 ???? ??? ? AC ? BD ? 16. 2

变 式 1 . 已 知 A ? ? 2, 4 ? , B ? 1, 2 ? , 点 P 在 直 线 A B 上 , 且 满 足 A B ? 3 P B , 求 点 P的 坐 标 .

??? ?

??? ?

解 析 : 设 点 P ( x, y ), 则 A P ? 3 P B ? A P ? 3 P B或 A P ? ? 3 P B

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? ( x ? 2 , y ? 4 ) ? 3 ?1 ? x , 2 ? y ? 或 ( x ? 2 , y ? 4 ) ? ? 3 ?1 ? x , 2 ? y ?

? x ? 2 ? 3 ? 3x ? x ? 2 ? ?3 ? 3x ? ? 或? ? y ? 4 ? 6 ? 3 y ? y ? 4 ? ?6 ? 3 y 1 ? 5 x ? ? ? 1 5 5 ? ?x ? 4 ? ? 或? 1) 2 , 所 以 P ( , )或 P ( , 5 4 2 2 ?y ? ?y ?1 ? ? ? 2

例 2 如 图 所 示 , 在 凸 四 边 形 A B C D 中 , A B ? 5, B C ? C D ? D A ? 2, ? A ? ? .

?1 ? 求 B D 关 于 ? 的 表 达 式 ; ? 2 ? 求 co s ? 的 取 值 范 围 ; ? 3 ? 设 ? A B D 的 面 积 为 S 1,
? B C D 的 面 积 为 S 2, f (? ) ? S 1 ? S 2 , 求 函 数 f (? )的 值 域 .
2 2

分 析 : 对 于 ?1 ? , 可 根 据 余 弦 定 理 , 直 接 建 立 B D 关 于 ? 的 目 标 函 数 ; 对 于 ? 2 ?, 可 根 据 B D 或 A C的 范 围 , 并 结 合 三 角 函 数 的 性 质 进 行 求 解 ; 对 于 ? 3 ?, 可 先 求 出 目 标 函 数 , 再 作 定 夺 .
解 析 :1 ? 在 ? A D B中 , 由 余 弦 定 理 , 得 ? BD ? A D ? A B ? 2 A D ? A B co s ? ?
2 2

2 9 ? 2 0 co s ? .

? 2 ? 易 知 , B D< B C
平 方 解 得 co s ? > 13 20

? C D ? 4, 故

2 9 ? 2 0 co s ? < 4 ,

; 另 一 方 面 , AC< AD ? D C ? 4,

当 A, D , C 三 点 共 线 时 , A C ? 4 , 此 时 co s ? ? 于是 13 20 AB ? AC ? BC 2 A B? A C 37 40 . ? 37 40 ,

< co s ? <

? 3 ? S1

?

1 2

A B ? A D sin ? ? 5 sin ? .取 B D 的 中 点 M ,

连 结 C M , 则 C M ? D B, 且 CM
2

? CD ? DM
2 2

2

? 4?(
2

2 9 ? 2 0 co s ? 2 105 2

) ? 5 co s ? ?
2

13 4

.

所 以 S2 ?

1 2

( B D ?C M ) ? ? 2 5 co s ? ?
2 2 2

co s ? ?

377 16

.

所 以 f (? ) ? S 1 ? S 2
2

? 2 5 sin ? ? 2 5 co s ? ?
2

105 2

co s ? ?

377 16

? ? 5 0 (co s ? ?

21 40

) ?
2

487 32

.

487 13 37 令 g ? t ? ? ? 5 0 (t ? ) ? ( < t< ), 40 32 20 40
2

21

则 g ?t ?为 减 函 数 . 因为g( 13 20 )? 231 16 ,g( 37 40 )? 231 32 ,

231 231 故 函 数 f (? )的 值 域 为 ( , ). 32 16

变 式 2 . 平 面 四 边 形 A B C D中 , A B ?

3, A D

? D C ? C B ? 1 , ? A B D 和 ? B C D的 面 积 分 别 为 S, T , 则 S ? T 的 最 大 值 为 多 少 ?
2 2

解 析 : 设 ?DAB ? ?, ?BCD ? ?, 由 余 弦 定 理 知 BD BD
2 2

? 3 ? 1 ? 2 3co s ? ,

? 1 ? 1 ? 2 co s ? , 3 co s ? ? 1 , ? ? 3 4 1 4
2

所 以 co s ? ? 所以S
2

?T

2

sin ? ?
2

1 4

sin ?
2

( ? 6 co s ? ? 2 3co s ? ? 3) ?

7 8

.

例 3 在 ? A B C中 , 已 知 A B ? AC 边 上 的 中 线 BD ?

4 6 3

, sB ? co

6 6



5, 求 sin A的 值 .

分析:正余弦定理是一个三角形的边角关系, 而该题中边、角条件不在同一三角形中,故 设法把边、角化归到同一三角形中.

解 析 : 方 法 1: 如 右 图 , 延 长 B D 至 E , 使 D E ? B D , 连 结 A E .又 D 点 是 A C 的 中 点 , 所 以 ? A D E ≌ ? C D B , 且 A E ? B C .在 ? A B E 中 , B E ? 2 5, A B ? 所 以 co s ? B A E ? 4 6 3 AB +AE ? BE
2 2 2

, s ?BAE ? co ,

6 6



2 AB ? AE

解 得 A E ? 2, 即 B C ? 2 . 在 ? A B C中 , A C ? AC ? 28 3
2

? A B ? B C - 2 A B ? B C co s B ?
2 2

28 3

,所以

AC sin B

?

BC sin A

? sin A ?

170 14

.

方 法 2: B 为 坐 标 原 点 , 为 x 轴 正 方 向 建 立 以 直 角 坐 标 系 , 且 不 妨 设 点 A位 于 第 一 象 限 . 由 sin B ? 30 6 ,

??? 4 6 4 6 4 4 5 则 BA ? ( co s B, sin B ) ? ( , ). 3 3 3 3 ??? ? ??? ? 4+3x 2 5 设 B C ? ? x, 0 ?, 则 B D ? ( , ), 6 3 ??? ? 由 条 件 得 BD ?
?2 5 ? 4+3x ? ? ? ?? ? 3 ? 6 ? ?
2

? ? ? ? ?

2

5,

解 得 x ? 2或 x ? -

14 3

( 舍 去 ), 所 以 C 点 的 坐 标 为 ? 2, 0 ? ,

2 4 5 故 C A ? (- , ), 于 是 3 3

???

??? ??? B A?C A co s A ? ??? ??? ?
BA CA 16 9 所 以 sin A ?

? ?

8 9 80 9

?

80 9 ? ? 80 9 3 14 14 . 4 9

?
70

1 ? co s A ?
2

.

14

变 式 3 . 已 知 ? A B C 的 角 A、 B 、 C 所 对 的 边 分 别 是 a、 b、 c, 设 向 量 m ? ( a, b ), n ? (sin B, A ), p ? ( b - 2, a - 2 ). sin

?1 ? 若 m ? ?2?若m

n, 求 证 : ? A B C 为 等 腰 三 角 形 ;

? p, 边 长 c ? 2, 角 C ?

?
3

, 求 ? A B C的 面 积 .

解 析 :1 ? 因 为 m ? n, 所 以 a sin A ? b sin B, ? 即 a? a 2R ? b? b 2R

, 其 中 R 是 ? A B C的 外 接 圆 半 径 ,

故 a ? b, 于 是 ? A B C 为 等 腰 三 角 形 .

? 2 ?因 为 m

? p , 所 以 a ? b - 2 ? ? b ? a - 2 ? ? 0,

所 以 a ? b ? a b .由 余 弦 定 理 , 可 知 4 ? a ? b - a b ? ? a ? b ? - 3 a b,
2 2 2

即 ? a b ? - 3 a b - 4 ? 0,
2

所 以 ab ? 4. 所以S ? 1 2 a b s in C ? 1 2 ? 4 ? sin

?
3

?

3.

1.边角混合式的处理方法有两种:一是利用正余 弦定理进行角化边,二是利用正余弦定理进行边化 角. 2.在运用余弦定理求角的邻边时,会出现两解, 应通过大边对大角来进行取舍. 3.在使用正余弦定理的前提,关键是能化归到同 一三角形. 4.在解三角应用题时应选取恰当的角,且注意角 的范围.

( 2 0 1 1?山 东 卷 ) ( 本 小 题 满 分 1 2 分 ) 在 ? A B C 中 , 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c .已 知 co s A ? 2 co s C co s B sin C sin A ? 1 4 , b ? 2 , 求 ? A B C的 面 积 S . ? 2c ? a b 的值; .

?1 ? 求

? 2 ? 若 co s B

解 析 :1 ? 由 正 弦 定 理 , 设 ? 则 2c ? a b 所以 cos B 即 ? c o s A ? 2 c o s C ? s in B ? 化 简 可 得 s in ?

a s in A ?

?

b s in B s in B .

?

c s in C

? k,

2 k s in C ? k s in A k s in B ?

2 s in C ? s in A

,2 分 ) (

cos A ? 2 cos C

2 s in C ? s in A s in B

? 2 s in C

? s in A ? c o s B ,

?A?

B ? ? 2 s in ? B ? C ? . 分 ) (4

又 A ? B ? C ? ? , 所 以 s in C ? 2 s in A, 因此 sin C s in A ? 2 .( 6 分 )

? 2 ?由

sin C sin A

? 2 得 c ? 2 a .(7 分 )
2 2 2

由 余 弦 定 理 b ? a ? c ? 2 a c co s B 及 c o s B ? 得 4 ? a ? 4a ? 4a ?
2 2 2

1 4

, b ? 2,

1 4

, 解 得 a ? 1.

从 而 c ? 2 .(9 分 ) 又 因 为 co s B ? 所 以 sin B ? 因此S ? 1 2 1 4 15 4 a c sin B ? 1 2 ?1? 2 ? 15 4 ? 15 4 . (1 2 分 ) . , 且0 ? B ? ?,

在处理解三角形问题时,首先要将条件中的
边角关系进行合理的转化,其次根据三角形中

的边、角条件,利用正、余弦定理加以求解即
可.


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