当前位置:首页 >> 数学 >>

山东省日照市2014届高三3月模拟考试 理科数学 Word版含答案


绝密★启用前 201 4 年高三模拟考试

试卷类型:A

理科数学
2014.3 本试卷分第 I 卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页。满分 l50 分。考试时间 l20 分钟。 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区 和科类填写在答 题卡和试卷规定的位置上。 2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑,如需改动,用橡皮擦干;争后,再选涂其它答案标号。 3.第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应的位置;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不 能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 第 I 卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 l0 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. (1)已知集合 M={ x | y ? ln(1 ? x) },集合 N={ y | y ? ex , x ? R}(e 为自然对数的底数) 则M N= (B) { x | x ? 1} (C) { x | 0 ? x ? 1 } (D)
?

(A){ x | x ? 1}

1 (2)复数 z ? 1 ? i ,则 ? z z 1 3 1 3 3 3 3 1 (A) ? i (B) ? i (C) ? i (D) ? i 2 2 2 2 2 2 2 2 (3)三棱柱的侧棱与底面垂直,且底面是边长为 2 的等边三角形, 其正(主)视图(如图所示)的面积为 8,则侧(左)视图的面积为

(A) 8

(B) 4

(C) 4 3

(D)

3

x? (4) 函 数 y ? s i n ( 3

?

3 一条对称轴的方程是

) cos x(?

?

? ) cos x(? 3 6 3

?

)c xo? s( 的图 )象 的 3

?

(A) x ?

?
12

(B) x ?

?
6

(C) x ? ?

?
12

(D) x ? ?

?
24

(5)“ 2 a ? 2b ”是“ ln a ? ln b ”的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(6)若 P(2,-l)为圆 ( x ?1)2 ? y 2 ? 25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是

-1-

(A) x ? y ? 3 ? 0 (C)
x ? y ?1 ? 0

(B) 2 x ? y ? 3 ? 0 (D) 2 x ? y ? 5 ? 0

(7)从 8 名女生和 4 名男生中,抽取 3 名学生参加某档电视节目,如果按性别比例 分层抽样,则不同的抽取方法数为 (A) 224 (B) 112 (C) 56 (D) 28 (8)现有四个函数①y=x· sinx,②y=x· cosx,③y=x· |cosx|,④y=x· 2x 的部分图象如下, 但顺序被打乱,则按照图象从左到名,对应的函数序号正确的一组是

(A) ①④②③ (C) ④①②③

(B) ①④③② (D) ③④②①

3 1 (9)已知三点 A(2,1),B(1, ? 2),C( , ? ),动点 P(a,b)满足 0≤ OP OA ≤2,且 5 5 1 0≤ OP OB ≤2,则点 P 到点 C 的距离大于 的概率为 4 5? 5? ? ? (A) 1 ? (B) (C) 1 ? (D) 64 64 16 16

? x 2 ? 2, x ? [0,1), (10)已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足:f ( x) ? ? 且 f ( x ? 2) ? f ( x) , 2 ?2 ? x , x ? [?1, 0),
g ( x) ? 2x ? 5 ,则方程 f ( x) ? g ( x) 在区间[-5,1]上的所有实根之和为 x?2 (A) -5 (B) -6 (C) -7 (D) -8

第 II 卷 (共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 2 (11)若 ( x ? ) n (n ? N * ) 展开式中的第 5 项为常数,则 n 等于 x (12)执行右面的框图, 若输出 P 的值是 24, 则输入的正整数 N 应为 (13)若双曲线 . .

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的实轴长、虚轴长、焦距成等差数 a 2 b2

列,则双曲线的离心率为 (14) 已知双曲正弦函数 shx ?


e x ? e? x e x ? e? x 和双曲余弦函数 chx ? 与 2 2

我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质,请类比正、余弦函数的和角 ..

-2-

或差角 公式,写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个 类似的正确结论 ... .. (15)若关于 x 的不等式(组) 0 ? x 2 ?

.

7 2n 2 x? n ? 对任意 n ? N * 恒成立,则所有 2 9 (2 ? 1) 9

这样的解 x 构成的集合是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. (16)(本小题满分 12 分) ? ? 已知函数 f ( x) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ), x ? R. 6 3 (I)求函数 f(x)的最小正周期; BC ? C ? 1 (II)在 ? ABC 中,若 A= ,锐角 C 满足 f ( ? ) ? ,求 的值. AB 4 2 6 2 (17)(本小题满分 12 分) 寒假期间,我市某校学生会组织部分同学,用“10 分制”随机调查“阳光花 园”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取 16 名,如图所示的茎叶图记录 了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶):若 幸福度分数不低于 8.5 分,则称该人的幸福度为“幸福” .

(I)求从这 16 人中随机选取 3 人,至少有 2 人为“幸福”的概率; (II)以这 l6 人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选 3 人,记 ? 表示抽到“幸福”的人数,求 ? 的分布列及数学期望. (18)(本小题满分 12 分) 如图,等腰梯形 ABCD,AD//BC,P 是平面 ABCD 外一点, P 在平面 ABCD 的射影 O 恰在 AD 上,PA=AB=BC=2AO=2, BO= 3 . (I)证明:PA ? BO; (II)求二面角 A—BP—D 的余弦值.

(19)(本小题满分 l2 分)
1 1 , 公 比 q? 的 等 比 数 列 , 设 4 4 * bn ? 2 ? 3 l 1oag ( ,数列 ) { cn }满足 cn ? an bn . n n? N

己 知 数 列 { an } 是 首 项 为 a1 ?
4

(I)求数列{ cn }的前 n 项和 Sn ;

-3-

1 2 m ? m ? 1 对一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围. 4 (20)(本小题满分 l3 分)

(II)若 cn ?

已知椭圆 C2 的方程为

y 2 x2 2 ? 2 ? 1 (a>b>0),离心率为 ,且短轴一端点和两 2 a b 2

焦点构成的三角形面积为 1, 抛物线 C1 的方程为 y 2 ? 2 px (p>0), 焦点 F 与椭圆的 一个顶点重合. (I)求椭圆 C2 和抛物线 C1 的方程; (II) 过点 F 的直线交抛物线 C1 于不同两点 A , B ,交 y 轴于点 N ,已知

NA ? ?1 AF , NB ? ?2 BF ,求 ?1 ? ?2 的值;
(III)直线 l 交椭圆 C2 于不同两点 P,Q,P,Q 在 x 轴上的射影分别为 P ' ,Q ' , 满足 OP OQ ? OP ' OQ ' ?1 ? 0 (O 为原点),若点 S 满足 OS ? OP ? OQ ,判定点 S 是否在椭圆 C2 上,并说明理由. (21)(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? ax, g ( x) ? e x ln x (e=2.71828…). (I)设曲线 y ? f ( x) 在 x=1 处的切线为 l,点(1,0)到直线 l 的距离为
2 ,求 a 2

的值; (II)若对于任意实数 x≥0,f(x)>0 恒成立,试确定实数 a 的取值范围; (III)当 a=-1 时, 是否存在实数 x0 ? [1, e], 使曲线 C:y ? g ( x) ? f ( x) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直?若存在,求出 x0 的值;若不存在,请说明理由.

-4-

二〇一一级高三模块考试

理科数学答案

2014.3

说明:本标准中的解答题只给出一种解法,考生若用其它方法解答,只要步骤合理,结果正 确,准应参照本标准相应评分。 一、选择题:每小题 5 分,共 50 分. CDCAB,ABAAC (1)解析:答案 C, M ? {x | x ? 1} , N ? { y | y ? 0} ,故 M ? N = {x | 0 ? x ? 1} . (2)解析:答案 D,

1 1 1? i 1? i 3 1 z ? 1 ? i,? ? z ? ?1? i ? ?1? i ? ? 1? i ? ? i . z 1? i (1 ? i)(1 ? i) 2 2 2
(3)解析:答案 C, 由题意知, 直三棱柱的棱长为 4 ,底面等边三角形的高为 3 , 所以其左视图的面积为 4 3 . (4)解析:答案 A,

? ? ? )c xo ?s ( ? ) x ? co s ( 3 x? ) co s ( 6 3 3 ? ? ? ? ? ?s i n ( x3 ? )c xo ?s ( ? ) x ? c o s ( 3 x ? )?c o s ( 3 6 3 2 6 ? ? ? ? ?s i n ( x3 ? )c xo ?s ( ? ) x ? co s ( 3x? ) s i n ( 3 6 3 6 ? ? ?s i n ( x3 ? ?x? ) 3 6 ? ? sin(4 x ? ) 6 y ?s i n ( x3 ?
由 4x ?

? 3

) ) )

? ? k? ? ? =k ? ? , k ? Z 得 x= ? , k ? Z .当 k ? 0 时, x= . 6 2 4 12 12

(5)解析:答案 B,

2 a ? 2b 等价于 a ? b ,当 0 ? a ? b 或 a ? 0 ? b 时, ln a ? ln b 不成立;
而 ln a ? ln b 等价于 a ? b ? 0 ,能推出 2 ? 2 ;
a b

所以“ 2 ? 2 ”是“ ln a ? ln b ”的必要不充分条件.
a b

(6)解析:答案 A, 圆的圆心为 C (1, 0) .由圆的性质知,直线 PC 垂直于弦 AB 所在的直线,则 k AB =-

1 ,即 k PC

k AB = -

1 1 ?? ? 1 . 又 由 直 线 的 点 斜 式 方 程 得 直 线 AB 的 方 程 为 : 0 ? (?1) kPC 1? 2

y ? (? 1 ) ? x ? ,2 即 x ? y ?3 ? 0.
(7)解析:答案 B,根据分层抽样,从 8 个人中抽取男生 1 人,女生 2 人;所以取 2 个女生 1

-5-

2 1 个男生的方法: C8 C4 ? 112.

(8)解析:答案A, ① y ? x ? sin x 在定义域上是偶函数,其图象关于 y 轴对称; ② y ? x ? cos x 在定义域上是奇函数,其图象关于原点对称; ③ y ? x ? cos x 在定义域上是奇函数,其图象关于原点对称, 且当 x ? 0 时,其函数值 y ? 0 ; ④ y ? x ? 2 ,在定义域上为非奇非偶,且当 x ? 0 时,其函数值 y ? 0 ,
x

且当 x ? 0 时,其函数值 y ? 0 .

(9)解析:答案A,动点 P ( a, b) 满足的不等式组为 ?

?0 ? 2a ? b ? 2 ,画出可行域可知 P 的运 ?0 ? a ? 2b ? 2

动区域为以 C ? , ? ? 为中心且边长为

?3 ?5

1? 5?

2 5 的正方形,而点 P 到点 C 的距离小于或等于 5

1 1 ?3 1? 的 区 域 是 以 C? ,? ? 为 圆 心 且 半 径 为 的圆以及圆的内部,所以 4 4 ?5 5?
2 ?2 5? ?1? ? ? ? ? ? ? 5 ? ?4? 5 ? P? ? 1? ? 2 64 ?2 5? ? ? ? 5 ? 2

(10)解析:答案 C ,由题意知 g ( x) ?

2 x ? 5 2( x ? 2) ? 1 1 ? ? 2? , 函数 f ( x) 的周期为 x?2 x?2 x?2

2 ,则函数 f ( x), g ( x) 在区间 ? ?5,1? 上的图象如下图所示:
y

A B -5 -3 0

C 1 x

-6-

由图形可知函数 f ( x), g ( x) 在区间 [?5,1] 上的交点为 A, B, C ,易知点 B 的横坐标为 ?3 ,若 设 C 的横坐标为 t (0 ? t ? 1) , 则点 A 的横坐标为 ?4 ? t , 所以方程 f ( x) ? g ( x) 在区间 [?5,1] 上的所有实数根之和为 ?3 ? (?4 ? t ) ? t ? ?7 . 二、填空题: (11)解析:答案 12 ,由 Tk ?1 ? Cn ( x )
k n?k

2 n?4 ( )k , ? 4 ? 0, n ? 12. x 2

(12) 解析:答案 4 ,把 k ? 1, p ? 1 在框图中运行 4 次后,结果是 24 ,所以 N ? 4 . (13) 解 析 : 答 案

5 3
2



由 2a ? 2c ? 4b 得 a ? c ? 2b ? 2 c2 ? a2

, 即 , 即

a2 ? 2 a c ?
5a ?

2

c? 4

c? 4

2

a得

5a2 ? 2ac ? 3c2 ? 0,(5a ? 3c)(a ? c) ? 0

c 5 3c ,? e .? a 3

(14)解析:答案: ch( x ? y) ? chxchy ? shxshy .

e x ? e? x e y ? e? y e x ? e? x e y ? e? y ? ? ? 由右边 ? 2 2 2 2
? 1 x? y (e ? e x ? y ? e ? x ? y ? e ? x ? y ? e x ? y ? e x ? y ? e ? x ? y ? e ? x ? y ) 4

?

1 e x ? y ? e? ( x ? y ) (2e x ? y ? 2e? ( x ? y ) ) ? ? ch( x ? y) ? 左边,故知. 4 2

填入 ch( x ? y) ? chxchy ? shxshy , sh( x ? y) ? shxchy ? chxshy ,

sh( x ? y) ? shxchy ? chxshy 之一也可.

? 2 7 2n x ? x ? ?0 ? 9 (2n ? 1) 2 2 ? (15)解析:答案 {?1, } ,不等式等价于 ? ,即 n 9 2 ? x2 ? 7 x ? 2 ? ? 9 (2n ? 1) 2 9 ? ? 2 7 2n x ? x ? ? 9 (2n ? 1) 2 ? ? n 2 ? x2 ? 7 x ? 2 ? n 2 ? 9 (2 ? 1) 9 ?
2n 2n 1 n ? ? ? 又 n (均值不等式不成立) 令 t ? 2 ? 2(n ? N ) 故 2 2n n 1 (2 ? 1) 2 ? 2 ? 2 ? 1 2n ? ? 2 2n

-7-

2n 2n 1 1 1 9 ? 2? t ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ,所以 n ? 2n ? ? ? 0, ? , 2 n 1 t 2 2 (2 ? 1) 2 ? 2 ? 2 ? 1 2n ? ? 2 ? 9 ? 2n

2 ? 2 7 x ? x? ? 2n 7 2 n 2 ? 9 9 2 , (因为 n 最小值大于 0 , 在x ? x? n ? ? 2 2 (2 ? 1) 9 2 ( 1 )? 9 ? x2 ? 7 x ? 2 ? 9 9 ?
故x ?
2

中, 可以取等号) ,

2 2 7 2 x ? ,解得 x ? ?1 或 x ? ,所以答案为 {?1, } . 9 9 9 9

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) ? 2sin( x ? ) sin[

π 6

π 3

π 6

π π ? ( x ? )] 2 6

π π π ? 2sin( x ? ) cos( x ? ) ? sin(2 x ? ) , 6 6 3
所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 (Ⅱ)由(Ⅰ)得, f ( 由已知, sin C ?

2π ? π. 2

???????????????6 分

C π C π π ? ) ? sin[2( ? ) ? ] ? sin C , 2 6 2 6 3

π 1 ,又角 C 为锐角,所以 C ? , 6 2

π 2 sin BC sin A 4 ? 2 ? 2. 由正弦定理,得 ? ? 1 AB sin C sin π 6 2
17. 解: (I)记至少有 2 人是“幸福”为事件 A ,由题意知
2 1 3 1 18 121 C4 C4 ? C12 p ( A) =1- 3 =1= ; 3 140 140 140 C16 C16

???????????12 分

???????6 分

(Ⅱ) ? 的可能取值为0,1,2,3.

所以 ? 的分布列为:

1 1 p (? ? 0) ? ( )3 ? , 4 64 9 1 3 1 2 ( ) ? p(? ? 1) ? C3 , 4 4 64 3 1 27 p(? ? 2) ? C32 ( ) 2 ( ) ? , 4 4 64 3 27 p(? ? 3) ? ( )3 ? ,?????10分 4 64

-8-

?
P

0
1 64

1

2

3
27 64

9 64

27 64

E? ?

1 9 27 27 144 9 ? 0+ ?1+ ? 2+ ? 3= = ?????12分 64 64 64 64 64 4

18.证明: (I)在 ?AOB 中, AB ? 2, AO ? 1, BO ? 3 , 则 AB2 ? AO2 ? BO2 , ∴ AO ⊥ BO . ∵ PO ⊥平面 ABCD ,∴ PO ⊥ BO . 又 AO ? 平面 PAO , PO ? 平面 PAO ,且 AO ∴ BO ⊥平面 PAO . 又 PA ? 平面 PAO , ∴ PA ⊥ BO . ???6 分

PO ? O ,

z

P

(Ⅱ)由题知,以 O 为坐标原点, OB, OD, OP 为 x, y , z 轴, 建立如图空间直角坐标系 O ? xyz . 由已知, PA ? 2, AO ? 1 ,∴ PO ? 3 . 因为等腰梯形 ABCD , AD / / BC , AB ? BC ? 2 , 所以 OD ? 3 ,∴ P 0,0, 3 , A?0,?1,0? ,
O A B

D y

x

C

?

?

B 3,0,0 , D?0,3,0? ,
所以 AB ?

?

?

????8 分

? 3,1,0?, AP ? ?0,1, 3?, DB ? ? 3,?3,0?, DP ? ?0,?3, 3 ?.
? ? AB ? m ? 3x1 ? y1 ? 0 ? ? AP ? m ? y1 ? 3z1 ? 0


设平面 APB 的法向量为 m ? ?x1 , y1 , z1 ?,则 ?

令 y1 ? 3 ,故 x1 ? z1 ? ?1 ,即 m ? ? 1, 3,?1 . 设平面 DPB 的法向量为 n ? ?x2 , y2 , z2 ? , 则?

?

?

? ? DB ? m ? 3x2 ? 3 y2 ? 0 ? ? DP ? m ? ?3 y2 ? 3z2 ? 0



令 y 2 ? 3 ,∴ x2 ? z 2 ? 3 ,即 n ? 3, 3,3 .

?

?

-9-

故 cos m, n ?

m?n ?3 105 , ? ?? 35 | m|?| n | 5 ? 21

设二面角 A ? BP ? D 的大小为 ? ,由图可知 ? 是钝角, 所以二面角 A ? BP ? D 的余弦值为 ?

105 . 35

????12 分

19.解:(Ⅰ)由题意知, an ? ( ) ( n ? N*) ,
n

1 4

所以 bn ? 3log 1 an ? 2, bn ? 3log 1 ( ) ? 2 ? 3n ? 2 ,
n 4 4

1 4

故 an ? ( ) , bn ? 3n ? 2(n ? N*) ,
n

1 4

1 n 4 1 1 2 1 3 1 n ?1 1 n 所以 Sn ? 1? ? 4 ? ( ) ? 7 ? ( ) ? ? (3n ? 5) ? ? ) ? (3n ? 2) ? ( ) , 4 4 4 4 4 1 1 2 1 3 1 4 1 n 1 n ?1 于是 S n ? 1 ? ( ) ? 4 ? ( ) ? 7 ? ( ) ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) ? (3n ? 2) ? ( ) 4 4 4 4 4 4 3 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 两式相减得 S n ? ? 3[( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ] ? (3n ? 2) ? ( ) 4 4 4 4 4 4 1 1 ? ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 . 2 4 2 12n ? 8 1 n ?1 2 3n ? 2 1 n ?( ) ? ? ? ( ) (n ? N *) ????????7 分 所以 Sn ? ? 3 3 4 3 3 4 1 n ?1 1 n 1 n ?1 (Ⅱ)因为 cn ?1 ? cn ? (3n ? 1) ? ( ) ? (3n ? 2) ? ( ) ? 9(1 ? n) ? ( ) , ( n ? N *) 4 4 4 1 所以当 n ? 1 时, c 2 ? c1 ? , 4
所以 cn ? (3n ? 2) ? ( ) , ( n ? N*) ??????????3 分 当 n ? 2时, cn?1 ? cn ,即c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? ? ? cn , 所以当 n ? 1 时, cn 取最大值是 又 cn ?

1 , 4

1 2 m ? m ? 1对一切正整数 n恒成立 , 4 1 2 1 所以 m ? m ? 1 ? 4 4
即 m ? 4m ? 5 ? 0得m ? 1或m ? ?5 ????????12 分
2

20. 解: (Ⅰ) 由题意, 椭圆 C2 的方程为

c 2 x2 y2 2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) , ,b c ?1 ,a ? b ? c 2 , 又 ? 2 b a a 2

- 10 -

解得 a ?

2, b ? c ? 1,∴椭圆 C2 的方程是 x ?
2

y2 ? 1. 由此可知抛物线 C1 的焦点为 2
??????4 分

F (1, 0) ,得 p ? 2 ,所以抛物线 C1 的方程为 y 2 ? 4 x .
(Ⅱ) ?1 ? ?2 是定值,且定值为 ?1 ,由题意知,

直线的斜率 k 存在且不为 0 ,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ?1), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 则 N (0, ?k ) 联立方程组

? y2 ? 4x , 消去 y ? ? y ? k ( x ? 1)
? 2k 2 ? 4 ? x1 ? x2 ? k2 ? ?x ? x ? 1 ? 1 2

得 : k 2 x2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0, ?? ? 16k ? 16 ? 0 且
2

,



NA ? ?1 AF

,

NB ? ?2 BF



?1 (1 ? x1 ) ? x1, ?2 (1 ? x2 ) ? x2 , 整理得 ?1 ?

x1 x , ?2 ? 2 , 可得 1 ? x1 1 ? x2

2k 2 ? 4 ?2 x ? x ? 2 x1 x2 k2 ?1 ? ?2 ? 1 2 ? ? ?1 . 2k 2 ? 4 1 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 x2 1? ?1 k2
??????9 分 (Ⅲ)设 P( xP , yP ), Q( xQ , yQ ),? S ( xP ? xQ , yP ? yQ ), 则 P ( xP ,0), Q ( xQ ,0).
' '

由 OP ? OQ ? OP ' ? OQ' ? 1 ? 0 得 2xP xQ ? yP yQ ? ?1 ?① 将点 P, Q 坐标带入椭圆方程得, xP ?
2

y 2 yP 2 ? 1 ?② xQ 2 ? Q ? 1 ?③ 2 2 ?1

由①+②+③得 ( xP ? xQ ) ?
2

( yP ? yQ )2 2

所以点 S ( xP ? xQ , yP +yQ ) 满足椭圆 C2 的方程 , 所以点 S 在椭圆 C2 上 . ??? 13 分
x 21.解: (Ⅰ) f ?( x) ? e ? a , f (1) ? e ? a .

y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线斜率为 f ?(1) ? e ? a ,
∴切线 l 的方程为 y ? (e ? a) ? (e ? a)( x ? 1) ,即 (e ? a) x ? y ? 0 .??2 分 又点 (1, 0) 到切线 l 的距离为

(e ? a) ?1 ? (?1) ? 0 ? 0 2 2 ? ,所以 , 2 2 2 2 (e ? a) ? (?1)

- 11 -

解之得, a ? ?e ? 1, 或 a ? ?e ? 1. (Ⅱ)因为 x ? 0, f ( x) ? e x ? ax ? 0 恒成立, 若 x ? 0, f (0) ? 1 ? 0 恒成立; 若 x ? 0, f ( x) ? e x ? ax ? 0 恒成立,即 a ? ?

????4 分

ex ,在 x ? 0 上恒成立, x

ex xe x ? e x (1 ? x) ? e x ' ? 设 Q( x ) ? ? , 则 Q ( x ) ? ? x x2 x2
当 x ? (0,1) 时, Q' ( x) ? 0 ,则 Q ( x) 在 (0,1) 上单调递增; 当 x ? (1, ??) 时, Q' ( x) ? 0 ,则 Q ( x) 在 (1, ??) 上单调递减; 所以当 x ? 1 时, Q ( x) 取得最大值, Q(1) ? ?e , 所以 a 的取值范围为 (?e, ??) . ????9 分

(Ⅲ)依题意,曲线 C 的方程为 y ? ex ln x ? ex ? x ,令 M ( x) ? e x ln x ? e x ? x 所以 M ( x) ?
'

ex 1 ? e x ln x ? e x ? 1 ? ( ? ln x ? 1) ? e x ? 1 , x x

设 h( x ) ?

1 1 1 x ?1 ? ln x ? 1 ,则 h ' ( x) ? ? 2 ? ? 2 ,当 x ??1, e?, h' ( x) ? 0 , x x x x

故 h( x) 在 ?1, e? 上单调增函数,因此 h( x) 在 ?1, e? 上的最小值为 h(1) ? 0

1 ? ln x ? 1 ? h(1) ? 0 x 1 x 又 x0 ??1, e? 时, e ? 0, ? ln x ? 1 ? 0 x 1 ' x 所以 M ( x) ? ( ? ln x ? 1) ? e ? 1 ? 0 x
即 h( x ) ?
x x ' 曲线 y ? e ln x ? e ? x 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直等价于方程 M ( x) ? 0 有实数

解,但是 M ( x) ? 0 , M ( x) ? 0 没有实数解,
' '

故不存在实数 x0 ?[1, e], 使曲线 C : y ? g ( x) ? f ( x) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直. ????14 分

- 12 -


相关文章:
...高三3月模拟考试文科数学试题(含答案解析)word版
2014届山东省日照市(日照一中)高三3月模拟考试文科数学试题(含答案解析)word版_数学_高中教育_教育专区。2014 年日照高三模拟考试 文科数学 本试卷分第 I 卷和第...
山东省日照市2014届高三3月第一次模拟考试数学理试题(...
山东省日照市2014届高三3月第一次模拟考试数学理试题(纯Word版)[来源:学优高考...2014 届高三模块考试 理科数学答案 2014.3 说明:本标准中的解答题只给出一种...
山东省日照市2015届高三3月模拟考试理科综合试题 Word...
山东省日照市2015届高三3月模拟考试理科综合试题 Word版含答案_理化生_高中教育_教育专区。山东省日照市 2015 届高三 3 月模拟考试理科综合试题 2015.03 本试卷分...
山东省日照市2015届高三3月模拟考试数学(理)试题 Word...
山东省日照市2015届高三3月模拟考试数学(理)试题 Word版含答案[来源:学优高考网1483264]_数学_高中教育_教育专区。山东省日照市 2015 届高三 3 月模拟考试数学(...
山东省日照市2015届高三3月模拟考试理科综合试题_Word...
山东省日照市2015届高三3月模拟考试理科综合试题_Word版含答案_高三理化生_理化生_高中教育_教育专区。山东省日照市 2015 届高三 3 月模拟考试理科综合试题 2015....
山东省日照市2015届高三3月模拟考试英语试题 Word版含答案
山东省日照市2015届高三3月模拟考试英语试题 Word版含答案_高考_高中教育_教育专区。试卷类型:A 山东省日照市 2015 届高三 3 月模拟考试英语试题注意事项: 1.本...
山东省日照市2015届高三3月模拟考试理科综合试题 Word...
山东省日照市2015届高三3月模拟考试理科综合试题 Word版含答案[来源:学优高考网2550272]_语文_高中教育_教育专区。山东省日照市 2015 届高三 3 月模拟考试理科综合...
山东省日照一中2014届高三12月月考 理科数学 Word版含答案
山东省日照一中2014届高三12月月考 理科数学 Word版含答案_数学_高中教育_教育...根据上述分解规律, n =1+3+5+?+19, m (m∈N )的分解中最小的数是 ...
山东日照市2015届高三3月模拟考试地理试题 (Word版含答...
山东日照市2015届高三3月模拟考试地理试题 (Word版含答案)_高三政史地_政史地_高中教育_教育专区。山东日照市2015届高三3月模拟考试地理试题 (Word版含答案) ...
...下学期第二次模拟考试理科综合试题 Word版含答案_图...
山东省日照市2017届高三下学期第二次模拟考试理科综合试题 Word版含答案 - 2017 年高三模拟考试 理科综合 2017.05 注意事项: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第...
更多相关标签: