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竞赛试题选编之三角函数


竞赛试题选编之三角函数 一.选择题 (2004 年 全 国 高 中 数 学 联 赛 ) 设 锐 角 ? 使 关 于 x 的 方 程

x2 ? 4 x cos? ? cot ? ? 0 有重根,则 ? 的弧度数为(
A.

) D.

? 6

B.

?
12



or

5? 12

C.

?
6

or

5? 12

? 12
y=

( 2003 tan(x+ (A)

年 高 中 数 学 联 赛 ) 若

x?[?

5? ? ,? ] , 则 12 3

2? ? ? )?tan(x+ )+cos(x+ )的最大值是 3 6 6

12 2 5

(B)

11 2 6

(C)

11 3 6

(D)

12 3 5

(2001 年全国高中数学联赛)在四个函数 y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx| 中以?为周期、在(0, (A) y=sin|x|

? )上单调递增的偶函数是 2
(C) y=|ctgx| (D) y=lg|sinx| >cos

(B) y=cos|x|

(2000 年全国高中数学联赛)设 sin?>0,cos?<0,且 sin 范围是( (A)(2k?+ ) (B)(

?
3

?
3

,则

?
3

的取值

? ? ,2k?+ ), k?Z 3 6 5? (C)(2k?+ ,2k?+?),k?Z 6

2k? ? 2k? ? + , + ),k?Z 3 3 6 3

(D)(2k?+

? ,2k?+ ? ) ? (2k?+ 5? ,2k?+?),k?Z
4 3
6

若方程 cos2x+ 3 sin2x=a+1 在 ?0,

? ?? 则参数 a ? 上有两个不同的实数解 x, ? 2?

的取值范围是 A (A)0≤a<1 (B)-3≤a<1 (C)a<1 (D)0<a<1 2 2 设 a 是整数,关于 x 的方程 x +(a-3)x+a =0 的两个实根为 x1、x2,且 tan(arctan x1+arctan x2)也是整数.则这样的 a 的个数是 B (A)0 (B)1 (C)2 (D)4

已知 sin2?=a,cos2?=b,0<?<
b ; 1? a a ? b ?1 ⑤ . a ? b ?1

? ?? ? ,给出 tan?? ? ? 值的五个答案: 4 4? ?

1? b ; a





a ; 1? b



1? a ; b

第 1 页 共 4 页

其中正确的是:C (A)①②⑤ (B)②③④

(C)①④⑤

(D)③④⑤

若 ?ABC 是钝角三角形,则 arccos(sinA) ? arccos(sinB) ? arccos(sinC ) 的值域是(C). (A) (0,

?

2 2 方程 x ? sin x ? 1993 的实根的个数为(
(A)0 二.填空题 (B)1 (C)2

]

(B) { }

?

(C) (

? 3?
2 , 2

)

(D) (0,

3? ) 2

) (D)大于 2

(2005 年全国高中数学联赛)设 ? 、 ? 、? 满足 0 ? ? ? ? ? ? ? 2? ,若对于 任意 x ? R, cos(x ? ? ) ? cos(x ? ? ) ? cos(x ? ? ) ? 0, 则 ? ? ? ? ___ ( 2004 年 高 中 数 学 联 赛 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 函 数

f ( x) ? a sin ax ? cos ax (a ? 0) 在一个最小正周期长的区间上的图像与函
数 g ( x) ? a 2 ? 1 的图像所围成的封闭图形的面积是________________。
2 2 (2001 年全国高中数学联赛)使不等式 sin x ? a cos x ? a ? 1 ? cos x

对一切 x ? R 恒成立的负数 a 的取值范围是 . 设 k、?是实数,使得关于 x 的方程 x2-(2k+1)x+k2-1=0 的两个根为 sin? 和 cos?,则?的取值范围是 .{?|?=2n?+?或 2n?-

? ,n∈Z} ; 2

(2000 年全国高中数学联赛)arcsin(sin2000?)=__________. 已知

sin 3 ? cos3 ? ? ? k ,则 k 的取值范围为 sin ? cos ?

1? ?1 ? ? ? ? 1,? ? ? ? ,1? 2? ?2 ? ?

函数 f(x)=|sinx|+sin42x+|cosx|的最大值与最小值之差等于 . 2 ; 已知点(a,b)在曲线 arcsinx=arccosy 上运动,且椭圆 ax2+by2=1 在圆 x2+y2 =

2 3

的外部(包括二者相切的情形) .那么,arcsinb 的取值范围是

?? ? ? ? ? ? ? ?6 , 4 ??? 4 , 3?; ? ? ? ?
第 2 页 共 4 页

方 程 sin(3cosx)-2 sin(3cosx) ·sin(2cosy)+1=0 的 实 数 解 (x,y)=____

? 1 ?? ? sin ?2 arccos?ctg 2(arctg )? ? 的值等于___。 2 ?? ? ?
已 知 函 数 f ( x) ? sin x ? 2 sin
2 2

x ?m 对 任 意 实 数 x 均 满 足 2

1 ? f ( x) ?

25 , 则 m 的取值范围是___ 4

o o cos5o sin15 sin25 sin35o =___________ sin5o cos15o cos25o cos35o

积乘

? (1 ? 2cos
k ?1

7

2k? ) =________ 7
1 2 x 2 ? 2 的值域是 2

函数 f (x) = 12arccot | x | + 2arccos

已知

sin 3 ? sin( ? 3? ) 6

?

?

cos3 ? cos( ? 3? ) 6

?

? 3 (α ≠

k? ,k∈z) ,则 tan2α 值是 4

设 0<α <

? ? 1 ,若 1+ 3 tan( ? ? )= ,则α = sin ? 2 3
.-1;

f(x)=

x2 +xcosx+cos(2x)(x∈R)的最小值是 8

已知 cos ?cos ? ? ? ______ 已知 ? ?

3 则 sin ? ? sin ? 的 最 大 值 与 最 小 值 之 差 等 于

?
24

, 则

s ? n i s ? n i s ? n i s ? n i ? ? ? 的 cs 4? cs 3? cs 3? cs 2? cs 2? cs ? cs ? o o o o o o o


值等于

3 ; 3
2 2

已知 f ( x) ? (sin x ? 4sin ? ? 4) ? (cos x ? 5cos? ) 的最小值为 g (? ) ,则

g (? ) 的最大值是
三.解答题



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已知函数 f(x)=sin(

kx π ? )的周期大于 1,并且当自变量 x 在任意两个整数 5 2

间(包括整数本身)变化时,函数 f(x)至少有一个最大值和一个最小值,求 证:k 为无理数。 π 已知:α >0,β >0,α +β < ,求 2 ①cosα cosβ sin(α +β )的最大值 ②sinα sinβ cos(α +β )的最大值 已知奇函数 f ( x ) 在 (??,0) ? (0, ??) 上有定义,且在 (0, ??) 上是增函数,

n ? 2 f (1) ? 0 , 又 知 函 数 g (? ) ? s i 2 ? ? m c o s ? m ? ,?

? [ 0, M , N 满 足 , ] 2

M ? { m | g? ) 0} N ? {m | f [ g (? )] ? 0}.求 M ? N . ( ? ,
已知函数 f ( x) ? a sin 2 x ? b sin x ? c ,其中 a, b, c 是非零实数,甲、 乙两人做 一游戏,他们轮流确定系数 a, b, c (如甲令 b ? 1 ,乙令 a ? ?2 ,甲再令 c ? 3 ) 后,如果对于任意实数 x , f ( x ) ? 0 ,那么甲得胜,如果存在实数 x 使 f ( x ) ? 0 , 那么乙得胜, 甲先选数,他是否有必胜策略? 为什么? 如果 a, b, c 是任意实

数, 结论又如何? 为什么? (1997 年希望杯) 在 ?ABC 中, ? A 、 ? B 、 ?C 所对的边分别为 a, b, c ,且 a, b, c 成等比数 列,试求 y ?

1 ? sin 2 B 的取值范围. sin B ? cos B
2

设 ? ? 0, , cos ? ? 2m sin ? ? 2m ? 2 ? 0 恒成立,求 m 的取值范围. ? 2? (1997 年日本高考题) 在锐角 ?ABC 中, A 、 B 、 C 分别为三角形的内角。 求证: cos(B ? C ) cos(C ? A) cos(A ? B) ? cos A cos B cosC 。

? ?? ? ?

已知 0<θ <π /4,且 x 2 ? tg 2? ? 2 xtg? , 求证

2 x ? 2 x 3 ? 2 x 5 ? ? ? 2 x 2n?1 ? ? ? tg 2? .

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