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2015-2016学年人教B版高中数学课件 必修3:第二章 统计 3.2《线性回归方程》


2.3 变量间的相关关系
2.3.2 线性回归方程

本课主要学习变量间的相关关系的相关内容,具体 包括线性回归方程的求解。 本课开始回顾了上节课所学变量间的相关关系与散 点图的相关内容,紧接着引入回归直线的定义及特征, 回归直线方程的定义及求法(最小二乘法),并且通过 例题和习题进行讲解。最后通过习题进行加深巩固。

1.

理解线性回归。 2. 了解回归直线方程的求解方法。

(1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来 描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系.
(2)如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就 有相关关系。 (3)如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就 有线性相关关系 . 散点图:用来判断两个变量是否具有相关关系.

1、回归直线 (1)回归直线的定义: 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线 附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这 条直线叫做回归直线

(2)回归直线的特征:
如果能够求出这条回归直线的方程(简称回归方程) ,那么我们就可以比较清楚地了解对应两个变量之间的相 关性.就像平均数可以作为一个变量的数据的代表一样, 这条直线也可以作为两个变量之间具有相关关系的代表.

2、回归直线方程
定义:一般地,设x与y是具有相关关系的两个变量,且相应 于 n组观测值的 n个点( xi ,yi )( i= 1, 2, …, n)大致分布在 一条直线附近,求在整体上与这 n 个最接近的一条直线 . 设此直 线方程为y^=bx+a.

这里在y的上方加记号“^”,是为了区分实际值 y,表示当 x取值xi(i=1,2,…n)时,y相应的观察值为yi,而直线上对 应于xi的纵坐标是yi^=bxi+a. y^=bx+a叫做y对x的回归直线方 程,a、b叫做回归系数.
注意:求回归直线方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整 体上看各点与此直线的距离最小”,即最贴近已知的数据点,最 能代表变量x与y之间的关系.

在7块并排、形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产 量影响的试验,得到如下表所示的一组数据(单位:kg):
施化肥量x 水稻产量y 15 330 20 345 25 365 30 405 35 445 40 450 45 455

y
500 450 400 350

水稻产量

300 10

(施化肥量)

20

30

40

50

x

3、最小二乘法 假设我们已经得到两个具有线性相关的变量的一组数 据(x1,y1),(x2,y2),…(xn,yn).
n n ? ( xi ? x)( yi ? y ) ? xi yi ? nxy ? ? i ?1 i ?1 ? b ? ? ? n n 2 2 2 ? ( xi ? x) xi ? nx ? ? ? i ?1 i ?1 ? ? ?a ? y ? bx

根据最小二乘法和上述公式可以求回归方程.

根据下表,求回归方程.

分析:求线性回归直线方程的步骤:

第一步:列表xi,yi,xi yi;
2 2 第二步:计算x,y, x , y ? i ? i, ? xi yi; i=1 i=1 i=1 n n n

第三步:代入公式计算b、a的值;

第四步:写出直线方程.

解:1、列表

2、代入公式计算

87175 ? 7 ? 30 ? 399.3 故可得 b ? ? 4.75, 2 7000 ? 7 ? 30 a ? 399.3 ? 4.75 ? 30 ? 257,
3、写出回归直线方程

从而可得回归方程是y=4.75x+257

求回归方程的一般方法: 1、列表

2、计算

x , y, ? x
i ?1

n

2 i

, ? xi yi
i ?1

n

3、求 a , b

4、代入回归直线方程

Thank you!


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