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微元法在高中物理中的应用


微元法在高中物理中的应用

江苏省靖江市斜桥中学 夏桂钱

微元法是分析、解决物理问题中的常用方法,也是从部分到整体的思维方法。它是将研究对 象(物体或物理过程)进行无限细分,从其中抽取某一微小单元即“元过程”,进行讨论,每 个“元过程”所遵循的规律是相同的。对这些“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理, 进而使问题求解。 使用此方法可以把一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以 解决,使所求的问题简单化,从而起到巩固知识、加深认识和提高能力的作用。

一、挖掘教材中微元素材,认知微元思想

微元法思想在新课标教材(人教版)上时有渗透。如在引入瞬时速度的概念时,教材从平均 速度出发,提出从 t 到 t+△t 这段时间间隔内,△t 越小运动快慢的差异也就越小,运动的描 述就越精确。在此基础上,再提出若△t 趋向于零时,就可以认为△t 的平均速度就是 t 时刻 的瞬时速度。正是这种无限分割的方法,可以使原来较为复杂的过程转化为较简单的过程。 再如,我们要推导匀变速直线运动的位移公式,显然不能直接用 s=vt,原因就在于速度本身 是变化的,不能直接套用匀速直线运动的公式。但是我们可以想象,如果我们把整个过程的 时间分成无数微小的时间间隔,我们分得愈密,每一份的时间间隔也就愈小,此间隔内,速 度的变化亦就愈小,如果分得足够细,就可以认为速度几乎不变,此时就可将每一份按匀速 直线运动来处理,完毕之后,再累加即可。

必修 2 第五章第四节《重力势能》中,计算物体沿任意路径向下运动时重力所做的功时,先 将物体运动的整个路径分成许多很短的间隔, 由于每一段都很小很小, 就可以将每一段近似 地看做一段倾斜的直线, 从而就能利用功的定义式计算出每一小段内重力的功, 再累加得到 整个过程重力的总功。第五节《弹性势能》中关于在求弹簧弹力所做的功时,先将弹簧拉伸 的整个过程分成很多小段,在足够小的情况下,每一小段位移中可以认为拉力是不变的,从 而也能直接利用功的定义式来计算每一小段内拉力所做的功, 再累加得到整个过程拉力的总 功。这两个功的计算,前者的难点在于物体运动的路径是曲线,后者的难点在于力的大小在 变化。教材中的处理方法是前者采用了“化曲为直”的思想,后者采用了“化变为恒”的思想。

以上四个实例中,前两个选择的微元是一小段时间,即“时间元”,后两个选择的微元是一小 段位移, 即“位移元”, 这是中学物理中常用的两个微元。 在机械运动中瞬时速度概念的建立, 是微元思想具体应用的典范。其实,像瞬时加速度、瞬时电流、瞬时感应电动势等物理概念 的建立,也渗透了微元思想,课本中都未作深入的探讨,但教师如果能够将这些概念的建立 与瞬时速度概念的建立进行类比,不仅能让学生加深对微元概念的理解,而且能为学生学习微 元法提供机会。学生掌握了微元思想有助于对这些物理概念、规律的理解,有助于拓宽知识 的深度和广度,同时开拓了解决物理问题的新途径,是认识过程中的一次飞跃。

二、明晰微元解题思路,形成微元方法

“微元法”作为高中物理的一个重要物理思想, 在被应用于物理解题时, 其解题思路可概括为: 选取“微元”,将瞬时变化问题转化为平均变化问题,避开直接求瞬时变化问题的困难;再利 用数学“微积分”知识,将平均变化问题转化为瞬时变化问题,既完成求解问题的“转化”又能 保证所求问题性质不变且求解更简单。即采取了从对事物的极小部分(微元)分析入手,达到 解决事物整体的方法。具体可分以下三个步骤进行:①选取微元用以量化元事物或元过程; ②视元事物或元过程为恒定, 运用相应的规律给出待求量对应的微元表达式; ③在微元表达 式的定义域内施以叠加演算,进而求得待求量。试以例题说明微元解题的思路。

例 1 如图, 水平放置的导体电阻为 R , R 与两根光滑的平行金属导轨相连, 导轨间距为 L , 其间有垂直导轨平面的、磁感应强度为 B 的匀强磁场。导轨上有一导体棒 ab 质量为 m 以初 速度向右运动。求:⑴导体棒在整个运动过程中的位移 x?⑵导体棒整个运动过程中通过闭 合回路的电量?

三、注重微元思想应用,提升解题技巧

由于数学知识上的局限, 对于高等数学中可以使用积分来进行计算的一些物理问题, 学生在 高中很难加以解决。 我们都可以通过选取具有代表性的极小的一部分进行分析处理, 再从局 部推广到整体。事实上,这些选取的具有代表性的“元”,可以是一小段线段圆弧(线元)、 一小块面积(面积元)、或一小部分质量(质量元)以及一小段时间(时间元)等,它们均 具有整体对象的基本特征。 下面通过具体实例进一步阐述微元思想的应用, 提升微元解题技 巧。

小结 本题可采用运动的合成与分解来做, 但学生难以理解, 不妨采用微元法引导学生分析。 要求船在该位置的速率即为瞬时速率, 需从该时刻起取一小段时间来求它的平均速度, 当这 一小段的时间趋于零时,该平均速率就为所求速率。

例 3 用一大小不变的力 F 拉着物体沿一半径为 R 的圆周运动一周, 力 F 方向始终沿切线方 向,求 F 所做的功。 解析 此题属于变力做功问题,若套用公式 W=FL,由于运动一周位移为 0,则 W=0。但实 际情况是:变力 F 始终与运动方向相同,变力 F 始终作为动力做功,因此在物体运动一周 过程中,变力 F 应该做正功。进行计算处理时,可用微元法将曲线分成无限个微元段△L。 每一微元段由于无限小,都可以看成是直线,从而在每一微元段内,可看成是恒力 F 在做 功,W=F· △L,总功为各个微元段做功的代数和, 即

小结 流体模型(如水流、气流、粒子流等)具有连续性作用的特点,若从整体着手,便会 有“山重水复疑无路”的痛苦,若运用微元思想就会有“柳暗花明又一村”的惊喜。

由于一切“变化”都必须在一定的时间和空间范围内才可能得以实现,因此“微元法”就抓住 “变化”的这一本质特征,通过限制“变化”所需的时间或空间,把变化的事物或变化的过程转 化为不变的事物或不变的过程。其常用手段为:通过限制“变化”赖以发生的“时间”和“空间” 来限制“变化”。实践证明,虽然高中生对微元法的学习感到困难,但作为大学知识在高中的应 用,“微元法”可以丰富我们处理问题的手段,拓展了我们的思维,只要我们利用好教材所提供 的素材,在平常的教学中把学生的探究活动开展好,潜移默化、 逐步渗透,特别是在高三复习中 结合数学中导数和积分的知识, 应用微元法来解决实际问题能力的考查便成了理所当然之事, 应予以重视。

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