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立体几何中的向量方法1


立体几何中的向量方法
在立体几何的学习中,求各种“空间角” 、和空间“距离”的难点在于作出相应的“角”及作出表示“距离” 的线段,并给出相应的证明。引入向量的工具,避开了“作” 、 “证”这个难点,提供了解决求空间角、距离及证 明“垂直” 、 “平行”的通法。进一步强化了“坐标法” 、 “数形结合”和“转化”等数学思想方法. 复习过程与方法: 1. 立足课本,掌握好向量的相关知识:概念、基本运算、建系方法、坐标求法(不定点的坐标) 、平行与垂直、 法向量求法 2. 掌握向量作为工具解决立几问题的方法 3. 向量解题后建议多思考传统的方法,不仅可以锻炼思维能力,还可以深刻认识空间几何的本质 相关知识与能力: 一.空间距离的计算 1. 空间两点间的距离:设 A、B 是空间两点,则 A、B 两点间的距离 d=| AB | 2.两条异面直线间的距离:设 a、b 是两条异面直线, n 是 a、b 的公共法向量(即 n ? a且n ? b ) ,点 A?a,B?b B 则异面直线 a、b 间的距离 b d n AB ? n

d?

n

A

a

即 AB在n 方向上的射影长为异面直线 a、b 间的距离。 3.点(或线)到平面的距离: 1)设 n是平面?的法向量,点Po是平面?外一点 ,. P 是平面α 内任一点,则 PO 到平面α 的距离

d?

Po P ? n n
α P

P0

n
θ

β

d

O

2) 直线与平面(或平面与平面)的距离转化为点到平面的距离。 二.空间角度的计算

1. 两条异面直线所成的角:设 l1 与 l2 两条异面直线, n ∥l1 , m ∥l2,则 l1 与 l2 所成的角

? n?m α =< n , m >或α =л -< n , m > (0<α ≤ ) cos< n , m >= 或 2 n?m
2. 斜线 P0P 与平面α 所成的角θ

n?m
cosα=

n?m

(0<α ≤

? ) 2

(0 ? ? ? ) 2

?

sin ? ? cos ? ?

Po P ? n p0 p n

.(见第一.3所示图)
? ? ? n, m ?

3.二面角:设相交平面α 与β 的法向量分别为 n, m ,则α 与β 所成的角的大小为< n, m > 或

基础演练:

AB 、 AD 的中点, 1.正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,E、F 分别为
(1) AC 1C 所成角 1 1与B EF 所成角 (2) AC 1 1与 (3) AC 与 AD1 所成角 1 (4) AD1 与 EF 所成角 (5) BD1 与 CE 所成角; (6) B1C 与平面 ABCD 所成角 (7) BD1 与平面 DCC1D! 所成角; (8) 二面角 A1 ? BC ? D 的大小; (9) 二面角 B ? AC 1 1?B 1 的大小; (10) 二面角 C1 ? EF ? C 的大小; (11) D1 B 的长度; (12) C 到 ABD1 的距离; (13) 四面体 EFBC1 的体积; (14) 异面直线 EC,AD1 的距离;

D1

C1 B1

A1
D F A E

C

B

2.如图正三棱柱,棱都相等,D 是 BC 的中点. 1) 求证 A1B∥平面 ADC1。 2)求 A1B 与截面 ADC1 的距离

AB=2。 A1 B1

C1

A B

DC

巩固提高 1. 如图,正方形 ABCD 、 ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD 、 ABEF 互相垂直。点 M 在 AC 上,点 N 在

BF 上,若 CM ? BN ?

2 ,求 MN 与 BE 所成角的余弦值。 3

C D M B N A F E

2.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1=2,AB=AC=1,∠BAC=900,已知点 M 是 BC 的中点,点 N 在侧棱 CC1 上 (Ⅰ).当线段 CN 的长度为多少时,MN⊥AB1; (Ⅱ).若 MN⊥AB1,求 B1N 与平面 AB1M 所成角的余弦值;

3.在平行四边形 ABCD 中,AB=AC=1,∠ACB=900,将它沿对角线 AC 折起,使 AB 与 CD 成 600 角,求 B、D 间 距离。 A B C D

第3题

4.已知四棱锥 P—ABCD 的底面为正方形,PA⊥底面 ABCD,E、F 分别为 AB、PD 的中点,PA=a,二面角 P—CD —B 为 45°。 (1)求证:AF∥平面 PCE; (2)求证:平面 PCE⊥平面 PCD; (3)求点 D 到平面 PCE 的距离.

P F D E B C

A


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