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第一章第四讲1.4.1-单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义-课件


1.任意角的正弦函数、余弦函数 (1)前提:设角α 的顶点是坐标系的原点,始边与 x轴的非负半轴重合,角α 终边上任一点Q(x,y).
y 2 2 且sin α =___, r x ?y ,

(2)结论:OQ的长度为 r ?
x cos α =___. r

2.单位圆中任意角的正弦函数、余弦函数

v u

全体实数

全体实数

3.正弦函数、余弦函数的值在各象限的符号

简记:一全正、二正弦、四余弦.

题型一

任意角的正弦函数、余弦函数

1 例1(1)已知角α 与单位圆的一个交点坐标是 (a,- ), 2

则cos α 等于(

)

3 1 3 A. B.- C.- D.不确定 2 2 2 (2)已知角α 的终边经过点P(-2,-4),求角α 的正、
余弦函数值.

1 2 3 ,所以 a ? ? 解:(1)选D.因为 a ? (? ) ? 1 . 2 2 故cos α= ? 3 .
2

(2)因为点P(-2,-4)在角α的终边上,故u1=-2,
v1=-4,可知r=OP= 所以sin α=

2

?-2 ? ? ?-4 ?
2

2

? 2 5.

v1 -4 2 5 ? ?- ; r 2 5 5 cos α= u1 ? -2 ? - 5 . r 2 5 5

变式训练:(1)已知角α 的终边经过点P(2,-3), 则cos α 的值是( )


3 A. 2

3 B. ? 2

2 13 C. 13

2 13 D.- 13

(2)已知角α 为第二象限的角.P(a,4)为α 终边上
4 一点,且sin α =, 则sin α +cos α 的值为 5

_________.

解(1)选C.角α的终边经过点P(2,-3),故

2 13. 由三角函数的定义知 OP ? 13; cos ? ? , 13
4 4 4 解(2) |OP|=r= 得 2 2 由sin α= ? , a ?4 , 5 a 2 ? 42 5
所以a=±3.又α为第二象限的角,所以a=-3, ?3 3 ?? , 所以cos α= 5 a 2 ? 42 4 3 1 所以sin α+cos α= ? ? . 5 5 5

题型二

三角函数值的符号的应用

例2(1)已知角α 是第二象限角,则点P(sin α ,cos α )在

第______象限.
(2)确定下列各式的符号. ①cos 200°.②sin 160°+cos(-40°).

③sin 210°·cos 260°.

解:(1)因为角α是第二象限角,所以sin α>0, cos α<0,所以点P的坐标符号是(+,-),所以 点P在第四象限.
(2)①200°为第三象限的角,所以cos 200°<0.

②160°为第二象限的角,所以sin 160°>0.
-40°为第四象限的角,所以cos(-40°)>0, 所以sin 160°+cos(-40°)>0.

③210°为第三象限的角,sin 210°<0, 260°为第三象限的角,所以cos 260°<0, 所以sin 210°·cos 260°>0.

变式训练2确定下列各式的符号.

11 (1)sin 2 015°.(2)cos ?. (3)sin 4·cos 4. 6

解:(1)2 015°=360°×5+215°,所以2 015°为 第三象限的角, 所以sin 2 015°<0. 11 11 (2) ? 为第四象限的角,所以cos ? >0. 6 6
3? 所以4 rad为第三象限的角. (3)4∈(?, ), 2

所以cos 4<0,sin 4<0.所以sin 4·cos 4>0.

能力提高:已知角α 的终边经过点 P(-3m,m)(m≠0),则sin α =_________.

解:由题意得:|OP|=

?-3m ?

2

? m ? 10 m ,
2

当m>0时,|OP|= 10 m ? 10m, m 10 则sin α= ? . 10m 10 当m<0时,|OP|= 10 m ? - 10m,
m 10 则sin α= ?- . 10 - 10m
10 答案: 10 或 - 10 10

变式训练:已知角α 的终边过点 P(-3a,4a)(a≠0),则cos α =________.

解:由题意可得:|OP|=

? ?3a ?

2

? ? 4a ? ? 5 a .
2

? 3a 3 当a>0时,|OP|=5a,则 cos ? ? ?? . 5a 5 ?3a 3 当a<0时,|OP|=-5a,则 cos ? ? ? . ?5a 5

3 3 ? 答案: 或 5 5


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