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八年级数学人教版 第十五章整式升除与因式分解导学案


第十五章整式乘除与因式分解 §15.1 整式的乘法

第一课时 同底数幂乘法
学习目标 ⒈在推理判断中得出同底数冪乘法的运算法则,并掌握“法则”的应用. ⒉经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程,感受幂的意义,发展推理能力 和表达能力,提高计算能力. ⒊在组合作交流中,培养协作精神,探究精神,增强学习信心. 学习重点:同底数冪乘法运算性质的推导和应用. 学习难点:同底数冪的乘法的法则的应用. 学习过程: 一、预习与新知: ⒈⑴ 阅读课本 P141-142 (2) 2
3

表示几个 2 相乘? 3 2 表示什么?

a

5

表示什么? a m 呢?

(3)把 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 表示成 a n 的形式. ⒉请同学们通过计算探索规律. (1) 2 3 ? 2 4 (2) 5
3

? ? 2 ? 2 ? 2 ?? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 2

? ?

? 5
7

4

?
6

?5
? ?? 3 ?
? ?

? ?

(3) ( ? 3 )

? ( ? 3) ?
3

? ?

? 1 ? (4) ? ? ? 10 ?

? 1 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 10 ? ? 10 ?

(5) a

3

? a

4

?
3

? a
? 2
4

? ?

⒊计算(1) 2



2

7



(2) 3 2

?3

5

和37

(3)a 结果吗?

3

? a

4



a

7

(代数式表示);观察计算结果,你能猜想出 a

m

? a

n



问题: (1)这几道题目有什么共同特点? (2)请同学们看一看自己的计算结果,想一想这个结果有什么规律?

⒋请同学们推算一下 a

m

? a

n

的结果?

同底数幂的乘法法则: 二、课堂展示: (1)计算 ① 10
3

? 10

4

②a ?a

3

③a ? a

3

?a

5

④x?x

2

? x ?x
2

(2)计算

① 10

n

? 10

m ?1

②x

7

?x

5

③m ?m

7

?m

9

④- 4

4

?4

4

⑤29

? ?? 2 ?

3

⑥2

2n

?2

2 n ?1



y ?y ?y ?y
5 2 4

⑧3

2

?3 ?3
3

5

三、随堂练习: (1)课本 P142 页练习题 (2)课本 P148 页 15.1 第 1①②,2①

C组 1.计算:① b 2 ④ ?? p ? ? ?? p ?
5

?b ?b ?b
3 4

10

② ?? x ?
3

6

x ? ?? x ?
7

8

③ ? ?? y ? ?? y ? ?? x ?
2 6

5

4

? ?? p ? ? p
6

2.把下列各式化成 ? x ? y ? 或 ? x ? y ? 的形式.
n n

① ?x ? y ? ?x ? y ?
3

4

② ?x ? y ? ?x ? y ? ? y ? x ?
3 2

③ ?x ? y ? ?x ? y ?
2m

m ?1

3.已知 x

m?n

?x

m?n

? x

9

求 m 的值.

四.小结与反思

第二课时

幂的乘方

学习目标 ⒈理解幂的乘方的运算性质,进一步体会和巩固幂的意义;通过推理得出幂 的乘方的运算性质,并且掌握这个性质. ⒉经历一系列探索过程, 发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力,通 过情境教学,培养学生应用能力. ⒊培养学生合作交流意识和探索精神,让学生体会数学的应用价值. 学习重点:幂的乘方法则. 学习难点:幂的乘方法则的推导过程及灵活应用. 学习过程: 一.预习与新知: 1 填空①同底数幂相乘
10
m

不变,指数
6

。②
3

a ?a
2

3

?

? 10
2

n

?
? ?

③ ?? 3 ?

7

? ?? 3 ? ?

④a ?a2
100

?a

?

⑤ ?2 3 ?

? 2

?x 4 ?
a
2

5

? x

? ?

?2
? x
5

?

3

? 2

? ?

2 计算:① a ? 3

② x5

③ a 3 ? ?? a ?

6

④ ?x 3 ?

3

3 计算① ?2 2 ? 和 2 6
3

② ?2

4

3 ? 和 2 12 ③ ?10

2

?

3

和 10 6

问题:①上述几道题目有什么共同特点? ②观察计算结果,你能发现什么规律? ③你能推导一下 ?a m ? 的结果吗?请试一试
n

二.课堂展示:1 计算① ?10 5 ?

3

② ?x n ?

3

③ ? ?x 7 ?

7

2 下面计算是否正确,如果有误请改正. ① ?x 3 ?
3

? x

6

②a6

?a
2 5

4

? a

24

3 选择题:①计算 ?? ? x ? (A) x 7 (B) ?
x
7

?

?

? ?
(D) ?
x
10

(C) x 10

② a 16 可以写成( (A) a 8
?a
8


?a
2

(B) a 8

(C) ?a 8 ? (D) ?a 8 ?
8

2

三.随堂练习

①课本 P143 页练习 ②课本 P148 页习题 15.1 第 1,2 题.

C组 (1)下列各式正确的是( ) (A) ?2 3 ?
2

? 2

5

(B) m 7
4

?m

7

? 2m

7

(C) x 5
3

?x ? x

5

(D) x 4

?x

2

? x

8

(2)计算 ① ? p 7 ? ;② ? x 2 ?3 ? x 7 ④
10
7

;③ ?a 4 ? ⑤ ?? ? 2 ?

? a

? ?
3

4

? 10

5

? 10

n

;⑤ ?? a

? b?

2 3

?

2 6

?

⑥ ?? ? a ? 3 ?

?

4 5

?

(3)已知: 3 m

? a

;3n

? b

,用 a , b 表示 3 m ? n 和 3 2 m ? 3 n

?3? ⑷已知 ? ? ?2?

n

?

81 16

求 n 的值

⑸求下列各式中的 x ①
4
x

? 2

x?6

?3? ②? ? ?4?

x

?1?

7 16

四.小结与反思

第三课时

积的乘方

学习目标 ⒈探索积的乘方的运算性质,进一步体会和巩固幂的意义,在推理得出积的 乘方的运算性质的过程中,领会这个性质. ⒉探索积的乘方的过程, 发展学生的推理能力和有条理的表达能力,培养学生 的综合能力. ⒊小组合作与交流, 培养学生团结协作精神和探索精神,有助于塑造他们挑战 困难的勇气和信心. 学习重点:积的乘方的运算. 学习难点:积的乘方的推导过程的理解和灵活运用. 学习过程: 一.预习与新知: ⑴阅读教材 P143-144 页 ⑵填空:①幂的乘方,底数 ,指数 ②计算: ?10 2 ? ③ x 15
?
3

?
?

?b ?
5

5

?

? x

? ?
2
n

m

?

? ?

3

? ?

5

; x mn

?

? ?

m

?

? ?

⑶计算① ? 2 ? 3 ? 和 2 3 ? 3 3 ;② ?3 ? 5 ? 和 3 2
3 2

?5

2

;③ ?ab 2 ? 和 a 2
2

? b

? ?
2

2

(请观察

比较)

④怎样计算 ?2 a 3 ?

4

?说出根据是什么?

⑤请想一想: ? ab ?

n

?

二.课堂展示: ⑴下列计算正确的是( (A) ?ab 2 ? (C) ? ?
xy
2

).
2

? ab
3 3

4

(B) ?? 2 a 2 ?
3

? ?2a
3

4

?

? x y
?y
2

(D) ?3 xy ? ② ? 2b ?
3

3

? 27 x y
2

3

⑵计算:① ? x 4

?

3

③ ?2 a 3 ?

④ ?? 3 x ? ⑤ ?? a ?
4

3

三.随堂练习:⑴课本 P144 页练习 ⑵课本 P148 页习题 15.1 第三,四题

C组 ⑴计算:① ? ?
? ?1? ?? ? ?8? ? 3? ? 3? ? ? ?? ? 5? ? 5?
2 3

;② ? ? 2 xy ?

4

;③ ?3 a ?

n

;



?? 3ab ?
2

3



2008

⑤8

2008

⑵下列各式中错误的是( ) (A) ?2 4 ? ⑶与
3

? 2
2

12

(B) ? ? 3 a ?

3

? ? 27 a

3

(C) ?3 xy ?

4

? 81 x y
4

8

(D) ? ? 2 a ?

3

? ?8a

3

??? 3a ? ? 的值相等的是( )
3 2

(A) 18 a 12 ⑶计算:① ? ⑤ ? ? 0 . 25 ?
2008

(B) 243 a 12 (C) ? 243 a 12 (D)以上结果都不对
3 4 a b?
2 2

?1 ? ②? x 2 y 3 ? ?2 ?

3

③ ? ? 3n ?

3

④? a3

? ? 4a

?

2

?a

? ?? 4 ?

2009

⑷一个正方体的棱长为 2 ? 10 2 毫米, ①它的表面积是多少?②它的体积是多少?

⑸已知: 3 m

? 2n ? 8

求: 8 m

?4

n

的值(提示: 2 3

? 8,2

2

? 4



四.小结与反思

第四课时 幂的运算巩固练习
学习目标 ⒈ 学生对教材的三个部分:同底数幂的乘法,幂的乘方,积的乘方有一个正确的理解, 并能够正确的运用. ⒉ 学生在已有的知识基础上,自主探索,获得幂的运算的各种感性认识,进而在理性 上获得运算法则. ⒊ 培养良好的数学构建思想和辨析能力和一定的思维批判性. 学习重点:理解三个运算法则. 学习难点:正确使用三个幂的运算法则. 学习过程: 一.预习与新知: ⑴叙述幂的运算法则?(三个) ⑵谈谈这三个幂运算的联系与区别?

二.课堂展示:⑴计算: ? x 2 ? ? ? x ? ? ?? x 2 ? ? 2 x 10 (请同学们填充运算依据)
2 3

解:原式= ? x 2 ? x 2 ? ?? x 6 ? ? 2 x 10 = x 2 ? 2 ? 6 ? 2 x 10 = x 10 ? 2 x 10 = ? x 10 ⑵下列计算是否有错,错在那里?请改正. ① ? xy ? ? xy
2 2

( ( ( (

) ) ) )

② ?3 xy ? ? 12 x 4 y 4
2

③ ?? 7 x 3 ? ? 49 x 6
2

④? ?
?

?

7

? x? 2 ?

3

?

? 343 2

x

3

⑤ x 5 ? x 4 ? x 20

⑥ ?x 3 ? ? x 5
2

⑶计算: ? x 3 y 2 ? ? ? x 3 y 2 ?
2

3

三.随堂练习:⑴计算:① x ? x

3

n?3

? 4 2 ? ②? ? x y ? ③ ? 5 ?

3

?? ab

3

c

3

?

2n

④ ?? 3 x 2 ? ? ? 2 x ?
2

?

2 3

?

⑵下列各式中错误的是( ) (A) ? x 2 ? x ? x 3 (B) ?? x 3 ? ? x 6
2

(C) m 5 ? m 5 ? m 10 (D) ? ? p ? ? p ? p 3
2

? 1 2 ? ⑶ ? ? x y ? 的计算结果是( ? 2 ?

3


1 8 1 8

(A) ? ⑷若 x

1 2

x y
m ?1

6

3

(B) ?
8

1 6

x y

6

3

(C) ? ) (D)10

x y

6

3

(D)

x y

6

3

m ?1

x

? x 则 m 的值为(

(A)4

(B)2

(C)8

C组
⒈计算:⑴ a ? a 2 ? a 3 a 4 ⑸?
1 4

⑵ ?? x ? ? ?? x ? ? ?? x ?
6 5

2

⑶ ? ?? a ?

?

2 3

?

⑷ ?? 3 xy

?

2

?

2 3

?

?? x ? ?? x ??
2 3

⑹ ?2 x ? 1? ? ?2 x ? 1?
3

4

⒉一个正方形的边长增加了 3 厘米,它的面积就增加 39 平方厘米,求这个正方形的边长?

⒊阅读题:已知: 2 m ? 5 求: 2 3 m 和 2 3 ? m 解: 2 3 m ? ?2 m ? ? 5 3 ? 125
3

2

3? m

? 2 ?2
3

m

? 8 ? 5 ? 40

⒋已知: 3 n ? 7

求: 3 4 n 和 3 4 ? n

⒌找简便方法计算:⑴ 2 100 ? ?0 . 5 ?

101

⑵22 ? 3 ? 52

⑶24 ? 32 ? 54

⒍已知: a m ? 2 , b n ? 3 求: a 2 m ? b 3 n 的值

四.小结与反思

第五课时 单项式乘以单项式
学习目标 ⒈知识与技能:理解整式运算的算理,会进行简单的整式乘法运算. ⒉过程与方法: 经历探索单项式乘以单项式的过程, 体会乘法结合律的作用和转化的思 想,发展有条理的思考及语言表达能力. ⒊情感,态度与价值观:培养学生推理能力,计算能力,协作精神. 学习重点:单项式乘法运算法则的推导与应用. 学习难点:单项式乘法运算法则的推导与应用. 学习过程: 一.预习与新知: ⑴P144-145 页 ⑵什么是单项式?次数?系数? ⑶现有一长方形的象框知道长为 50 厘米, 宽为 20 厘米, 它的面积是多少?若长为 3 a 厘米, 宽为 2 b 厘米,你能知道它的面积吗?请试一试?

⑷利用乘法结合律和交换律完成下列计算. ① ?? 3 p 3 ??? 4 p 2 ? ② ? ? 7 a ?? ?
? ?
3 ? a ? 21 ?

1

③ 7 ab 2 c ? 2 a 2 b ④ ? 3 xy 2 z ? ? ?4 xz 2 y ?



? 3 2 6 ? 3 x y4 ? ?? x y z ? 3 ? 5 ? 2

⑸观察上式计算你能发现什么规律吗?说说看. 单项式乘以单项式的法则: 二.课堂展示:计算:① 3 x 2 ? ?? 2 xy 3 ? ② ?? 5 a 2 b 3 ? ? ?? 4 b 2 c ?

思路点拨: 可以直接运用法则也用乘法运算律变成数与数相乘, 同底数幂与同底数幂相乘的 形式,单独一个字母照抄。 三.随堂练习:⑴课本 P145 页练习第 1,2 题 ⑵课本 P149 页习题 15.1 第六题

C组
⒈一家住房的结构如图, 这家房子的主人打算把卧室以外的部分都铺上地砖, 至少需要多少 平方米的地砖?如果某种地板砖的价格是每平方米 a 元,则购买所需地砖至少多少元?
y

2y

卫生间
x

卧室

厨房 客厅
2x

4x

4y

⒉计算:⑴ ?? 2 xy

2

??3 x y ?
2

⑵ ?5 xy ?? ?
?

?

1

? 2 xz ? ?? 10 x y ? 5 ?

⑶ ?? 16 a bc ?? ? 1 abx ?
2

? ?

1

? ?

3

⑷? ?
?

?

2 ? b c? 3 ?

2

3

⑸3

14

? 1? ??? ? ? 9?

5

⒊下列计算中正确的是( ) (A) ? x 2 ? ? 2 ? x 3 ? ? ? x 12
3 2

(B) ?3 a 2 b ? ? 2 ab ? ? 6 a 3 b 2
2 3

(C) ?? a 4 ?? ? xa ? ? ? x 2 a 6
2

(D) ?? xy

2

? ? xyz ? ?
2

x y

3

5

⒋计算: a ?a 2 ? ? a m 所得结果是(
m

) (C) a 4 m (D)以上结果都不对

(A) a 3 m 四.小结与反思

(B) a 3 m ? 1

第六课时 单项式乘以多相式
学习目标 ⒈让学生通过适当尝试,获得一些直接的经验,体验单项式与多项式的乘法运算法则, 会进行简单的整式乘法运算. ⒉经历探索单项式与多项式相乘的运算过程, 体会乘法分配律的作用和转化思想, 发展 有条理地思考及语言表达能力. ⒊培养良好的探究意识与合作交流的能力,体会整式运算的应用价值. 学习重点:单项式与多项式相乘的法则. 学习难点:整式乘法法则的推导与应用. 学习过程: 一.预习与新知: ⑴叙述去括号法则? ⑵单项式乘以单项式的法则是:

⑶计算:① ? ? 5 x ??3 x 2 ?

② ? ? 3 x ?? ? x ?

③?

?1

?? 2 xy ? ? xy ?3 ?? 5

? ? ?

④? 5m ? ? ?
2

? ?

1

? mn ? 3 ?

⑷写出乘法分配律? ⑸利用乘法分配律计算:①
?3 3 ? x? x ? 3 x ? 1? 2 ?2 ? 3

② 6 mn ? 2 m ? 3 n ? 1?

⑹有三家超市以相同的价格 n (单位:元/台)销售 A 牌空调,他们在一年内的销售量(单 位:台)分别是: x , y , z 请你用不同的方法计算他们在这一年内销售这钟空调的总收 入?你发现了什么规律?

单项式乘以多项式的法则: 二.课堂展示;⑴计算: ?? 2 a 2 ??3 ab
2

? 5 ab

3

?
?

⑵化简: ? 3 x ? ?
2

?1

2 ? 2 xy ? y ? ? 10 x ? ? x y ? xy ?3 ?

2

⑶解方程: 8 x ?5 ? x ? ? 19 ? 2 x ? 4 x ? 3 ?

三.随堂练习:⑴课本 P146 页练习 ⑵课本 P149 页习题 15.1 第七题

C组
⑴计算:① 5 x 2 ?2 x 2 ? 3 x 3 ? 8 ? ;② ?
?2 ?3 x y
2 3

? ?1 ? 16 xy ? ? ? xy ? ?2

2

? ? ?

③ ?3 xy

2

? 1 ? 2 ? 5 x y ? ? ? ? xy ? ? 5 ?

④ ?3 ? 10 5 ? ? ?2 ? 10 6 ? ? ?3 ? 10 2 ? ? ?10 3 ?

3

⑵下列各式计算正确的是( (A) ?2 x ? 3 xy ? 1 ?? ?
2



? ?

1

3 3 1 2 2 ? 4 2 2 3 x ? ? x ? x y ? x (B) ? ? x ? x ? x ? 1 ? ? x ? x ? 1 2 2 2 ?

?

?

(C) ?

?5 ?4

x

n ?1

?

1

? xy ? ? ? 2 xy 2 ?

??

5 2

x y ? x y
n 2

2

(D) ?5 xy ? ?? x 2 ? 1 ? ? ? 5 x 2 y 2 ? 5 x 2 y 2
2

⑶先化简再求值: x 2 ? x 2 ? x ? 1 ? ? x ? x 2 ? 3 x ?

其中 x ? ? 2

四.小结与反思

第七课时多项式乘以多项式
学习目标 ⒈让学生理解多项式乘以多项式的运算法则, 能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运 算. ⒉经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的推理过程,培养学生计算能力. ⒊发展有条理的思考,逐步形成主动探索的习惯. 学习重点:多项式与多项式的乘法法则的理解及应用. 学习难点:多项式与多项式的乘法法则的应用. 学习过程: 一.预习与新知: ⑴叙述单项式乘以单项式的法则? ⑵计算;① x ? x ? x 2 ? 1 ? ②? ?
? ? 1 ? xy ? ?3 xy 5 ?
2

? 5x y?
2

⑶在硬纸板上用直尺画出一个矩形, 并且分成如图所示的四部分标上字母, 则面积为多少?
n

a m
b



⑷请把矩形沿竖线剪开分成如图所示的两部分。 则前部分的面积为多少?后部分的面积是多 少?两部分面积的和为多少?
n

a
b



⑸观察图①和图②的结果你能得到一个等式吗?说说你的发现?

⑹如果把矩形剪成四块,如图所示,则: 图①的面积是多少? ① ② n 图②的面积是多少? 图③的面积是多少? ③ ④ a 图④的面积是多少? m b 四部分面积的和是多少? 观察上面的计算结果:原图形的面积;第一次分割后面积之和;第二次分割后面积之和相等 吗?用式子表示?你能发现什么规律吗?试一试 (观察等式左边是什么形式?观察等式的右 边有什么特点?)

多项式乘以多项式的法则:

二.课堂展示:

⑴计算;① ? x ? 2 ?? x ? 3 ?

② ?3 x ? 1 ?? 2 x ? 1 ?

注意:应用多项式的乘法法则时应注意; x ? x ? x 1? 1 ? x 2 ;还应注意符号.

⑵计算:① ? x ? 3 y ?? x ? 7 y ?

② ? 2 x ? 5 y ??3 x ? 2 y ?

⑶先化简,再求值: ? x ? 2 y ?? x ? 3 y ? ? ? 2 x ? y ?? x ? 4 y ? 其中: x ? ? 1 ; y ? 2 三.随堂练习:⑴课本 P148 练习第 1,2 题 ⑵课本 P149 习题 15.1 第 9,10 题

C组
⑴计算 ? 5 x ? 2 ?? 2 x ? 1? 的结果是( ) (A) 10 x 2 ? 2 (B) 10 x 2 ? x ? 2 ) (C) 10 x 2 ? 4 x ? 2 (D) 10 x 2 ? 5 x ? 2

⑵一下等式中正确的是(

(A) ? x ? y ?? x ? 2 y ? ? x 2 ? 3 xy ? 2 y 3 (B) ?1 ? 2 x ??1 ? 2 x ? ? 1 ? 4 x ? 4 x 2 (C) ? 2 a ? 3 b ?? 2 a ? 3 b ? ? 4 a 2 ? 9 b 2 (D) ? x ? y ?? 2 x ? 3 y ? ? 2 x 2 ? 3 xy ? 9 y 2 ⑶先化简,再求值: ? a ? 3 b ? ? ?3 a ? b ? ? ? a ? 5 b ? ? ? a ? 5 b ? 其中 a ? ? 8 ; b ? ? 6 ;
2 2 2 2

四.小结与反思

15.2 乘法公式

第八课时平方差公式(一)
学习目标: 1、会推导平方差公式,并且懂得运用平方差公式进行简单计算. 2、经历探索特殊形式的多项式乘法的过程,发展学生的符号感和推理能力,使学生逐 渐掌握平方差公式. 通过合作学习, 体会在解决具体问题过程中与他人合作的重要性, 体验数学活动充满着 探索性和创造性. 学习重点:平方差公式的推导和运用,以及对平方差公式的几何背景的了解. 学习难点:平方差公式的应用. 学习过程:12999.com 一.预习与新知: (1)叙述多项式乘以多项式的法则? (2)计算;① ? x ? 1 ?? x ? 1 ? ② ? a ? 2 ?? a ? 2 ? ③ ? 2 y ? 1?? 2 y ? 1 ? ④ ? x ? y ?? x ? y ?

观察上面的计算你发现什么规律了吗?你能直接写出 ? a ? b ?? a ? b ? 的结果吗?(请仔细观 察等式的左,右两边)

平方差公式: (①写出数学公式 ②用语言叙述)

二.课堂展示: ⑴填表:

? a ? b ?? a ? b ? ? 2 x ? 3 ?? 2 x ? 3 ? ?b ? 3 a ??3 a ? b ? ? ? m ? n ?? ? m ? n ?

a

b

a

2

?b
2

2

结果
2

2x

?2 x ?

?3

⑵计算:① 103 ? 97 (利用平方差公式) ② ?3 x ? y ??3 y ? x ? ? ? x ? y ?? x ? y ?

三.随堂练习:⑴课本 P153 练习 1,2 ⑵课本 P156 习题 15.2 第 1,2 题

C组
⑴填空:① ?3 x ? 2 y ??3 x ? 2 y ? ? ③ 100
1 5 ? 99 4 5 ?

;② ?3 a ? 2 b ?? __ ? 2 b ? ? 9 a 2 ? 4 b 2

⑵计算:① ? ? a ? 1 ??1 ? a ?

② ? a ? b ?? a ? b ??a 2 ? b 2 ?

③?

?1

? xy ? 3 m ? ? ? 3 m ? 0 . 5 xy ?2 ?

?

④ ? 2 ? 1??2 2 ? 1??2 4 ? 1 ??2 8 ? 1?

⑶你能根据下图解释平方差公式吗?请试一试?
a a

a

b





四.小结与反思


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