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正余弦定理教案


正弦定理和余弦定理 安勤辉 一. 教学目标: 1 知识与技能:认识正弦、余弦定理,了解三角形中的边与角的关系 2 过程与方法:通过具体的探究活动,了解正弦、余弦定理的内容,并从具体的 实例掌握正弦、余弦定理的应用 情感态度与价值观:通过对实例的探究,体会到三角形的和谐美,学会稳定性 的重要 二. 教学重、难点: 1. 重点: 正弦、余弦定理应用以及公式的变形 2. 难点: 运用正、余弦定理解决有关斜三角形问题。 知 识 梳 理 1.正弦定理和余弦定理 在△ABC 中,若角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,则 正弦定理 a b c sin A=sin B=sin C=2R (R 为△ABC 外接圆半径) 余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A b2=a2+c2-2accos B c2=a2+b2-2abcos C cos A= b2+c2-a2 ; 2bc

内容

(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; 常见变形 a b c (2)sin A=2R,sin B=2R,sin C=2R; (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C 2.三角形中常用的面积公式 1 (1)S=2ah(h 表示边 a 上的高). 1 1 1 (2)S=2bcsin A=2absin C=2acsin B. 1 (3)S=2r(a+b+c)(r 为△ABC 内切圆半径)

a2+c2-b2 cos B= 2ac ; a2+b2-c2 cos C= 2ab

问题 1:在△ABC 中,a= 3,b= 2,A=60° 求c及B C 问题 2 在△ABC 中,c=6 A=30° B=120° 求a b及C

9 问题 3 在△ABC 中,a=5,c=4,cos A=16,则 b= 通过对上述三个较简单问题的解答指导学生总结正余弦定理的应用; 正弦定理可以解决 (1)已知两角和任一边,求其他两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角 余弦定理可以解决 (1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角 我们不难发现利用正余弦定理可以解决三角形中“知三求三” 知三中必须要有一边 应用举例 【例 1】 (1)(2013· 湖南卷)在锐角△ABC 中, 角 A, B 所对的边长分别为 a, b.若 2asin B= 3b,则角 A 等于 π A.3 π B.4 ( π C.6 ). π D.12

(2)(2014· 杭州模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=1,c =4 2,B=45° ,则 sin C=______. 解析 (1)在△ABC 中,由正弦定理及已知得 2sin A· sin B= 3sin B, ∵B 为△ABC 的内角,∴sin B≠0. 3 ∴sin A= 2 .又∵△ABC 为锐角三角形, π? π ? ∴A∈?0,2?,∴A=3. ? ? 2 (2)由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos B=1+32-8 2× 2 =25,即 b=5. c· sin B 所以 sin C= b = 4 答案 (1)A (2)5 【训练 1】 (1)在△ABC 中,a=2 3,c=2 2,A=60° ,则 C= ( A.30° B.45° C.45° 或 135° ). 4 2× 5 2 2 4 =5.

D.60°

(2)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3bc,sin C=2 3 sin B,则 A= A.30° B.60° C.120° D.150°

2 3 2 2 解析 (1)由正弦定理,得sin 60° =sin C, 2 解得:sin C= 2 ,又 c<a,所以 C<60° ,所以 C=45° . (2)∵sin C=2 3sin B,由正弦定理,得 c=2 3b, ∴cos A= b2+c2-a2 - 3bc+c2 - 3bc+2 3bc 3 = = = 2bc 2bc 2bc 2,

又 A 为三角形的内角,∴A=30° . 答案 (1)B (2)A

规律方法 已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的 对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进 行判断. 【例 2】 (2014· 临沂一模)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C. (1)求角 A 的大小; (2)若 sin B+sin C= 3,试判断△ABC 的形状. 解 (1)由 2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C,

得 2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即 bc=b2+c2-a2, b2+c2-a2 1 ∴cos A= 2bc =2,∴A=60° . (2)∵A+B+C=180° ,∴B+C=180° -60° =120° . 由 sin B+sin C= 3,得 sin B+sin(120° -B)= 3, ∴sin B+sin 120° cos B-cos 120° sin B= 3. 3 3 ∴2sin B+ 2 cos B= 3,即 sin(B+30° )=1. ∵0° <B<120° ,∴30° <B+30° <150° .

∴B+30° =90° ,B=60° . ∴A=B=C=60° ,△ABC 为等边三角形. 规律方法 解决判断三角形的形状问题,一般将条件化为只含角的三角函数的关系 式,然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式;或将条件化为只含有边的关系 式,然后利用常见的化简变形得出三边的关系.另外,在变形过程中要注意 A,B, C 的范围对三角函数值的影响. 课堂小结 1.在解三角形的问题中,三角形内角和定理起着重要作用,在解题时要注意根据这 个定理确定角的范围及三角函数值的符号,防止出现增解或漏解. 2.正、余弦定理在应用时,应注意灵活性,尤其是其变形应用时可相互转化.如 a2=b2+c2-2bccos A 可以转化为 sin2 A=sin2 B+sin2 C-2sin Bsin Ccos A, 利用这些 变形可进行等式的化简与证明


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