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重庆南开中学2014年9月月考答案 理科数学


重庆南开中学高 2015 级高三(9 月)月考 数 学 答 案(理 科)
一. 选择题: CADBB CDACB 二.填空题: 11. -6 12. 6 13. ?

? 6 2? ? 12 , 4 ? ? ? ?

14. 3

15.

2 55 5

16.

??2,5?

三.解答题: 17. 解: A ? ?x | a ? 2 ? x ? a ? 2? ,不等式 log 1 ( x2 ? x ? 2) ? log 1 2( x ? 1) 等价于
2 2

? x2 ? x ? 2 ? 2x ? 2 ? 2 ? x ? x ? 2 ? 0 ,解得 x ? 3 ,因为 A ? Cu B ,所以有 a ? 2 ? 3 ,解得 a ? 1 。 ? 2x ? 2 ? 0 ?
所以实数 a 的取值范围为 (??,1] 18. 解: (1) A ? ?1, 4? , (2)由 B ? A ,当 B ? ? 时, ? 81 ? 8k ? 0 ,解得 k ?

81 8

2 2 当 B ? ? 时, B ? A 等价于 2 x ? 9 x ? k ? 0 的两根均在 ?1, 4? 内。 设 f ? x ? ? 2x ? 9x ? k

由实根分布可得

? ?0 ? 9 ? 81 ?1 ? ? 4 ,解得 7 ? k ? 。综上,实数 k 的范围为 [7, ??) ? 4 8 ? f ?1? ? 0 ? ? ? f ? 4? ? 0
2 19.解:关于 x 的方程 x ? m x ? 2 ? 0 在 x ? [0,1] 有解等价于 1 ? m ?1 ? 2 ? 0 ,

2

即命题 p : m ? ?1

1 1 f ( x) ? log 2 ( x 2 ? 2mx ? ) 在 x ? [1, ??) 单 调 递 增 等 价 于 x 2 ? 2mx ? ? 0 在 区 间 2 2 1 1 [1, ??) 上 恒 成 立 , 且 y ? x 2 ? 2mx ? 在 [1, ??) 上 单 调 递 增 。 由 y ? x 2 ? 2mx ? 在 2 2
理科数学 9 月考试答案(共 4 页)

2 由 x ? 2mx ? [1, ??) 上单调递增可得,m ? 1 ;

1 3 ? 0 在区间 [1, ??) 上恒成立可得,m ? 。 2 4

即命题 q : m ?

3 4 3 4

由 ? p 为真命题, p ? q 是真命题,可得 p 假 q 真,故实数 m 的取值范围为 ( ?1, ) 20. 解: (1)设 x ?? ?1,0? ,则 ? x ??0,1? ,因为 f ( x ) 是定义在 x ?[?1,1] 的偶函数, 所以 f ? x ? ? f ? ? x ? ? ? x ? 2 2 ? x ,所以 f ? x ? ? ?

? ? x?2 2? x ? ?? x ? 2 2 ? x

x ? ?0,1? x ? [?1, 0)

(2)因为对于任意 x1, x2 ?? ?1,1? ,都有 g ? x2 ? ? f ? x1 ? 成立,所以 g ? x ?min ? f ? x ?max , 又因为 f ( x ) 是定义在 x ?[?1,1] 的偶函数, f ( x ) 在 x ?[?1,1] 的值域和 f ? x ? 在 ?0,1? 上的 值域相同,当 x ??0,1? 时, f ? x ? ? x ? 2 2 ? x ,设 t ? 2 ? x ,则 t ??1, 2? 。函数化为

y ? 2 ? t 2 ? 2t, t ??1, 2? ,则 f ? x ?max ? 3 ,又因为 g ? x ?min ? ?3a ? 5 。
由 g ? x ?min ? f ? x ?max ,得 0 ? a ?

2 。 3

21. 解: (1)由韦达定理知: x1 x2 ? ?1, x1 ? x2 ? 2t , 所以 f ? x1 ? f ? x2 ? ? (2) f ' ? x ? ?

x1 x2 ? t ? x1 ? x2 ? ? t 2 x1 ? t x2 ? t 1 ? ?? 2 2 2 2 2 x1 ? 1 x2 ? 1 x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 2 x1 x2 ? 1 4

? x 2 ? 2 xt ? 1

?x

2

? 1?

2

,由于 x1 , x2 为方程 x ? 2tx ? 1 ? 0 的两实根,所以当
2

x ?? x1 , x2 ? 时, x2 ? 2tx ? 1 ? 0 恒成立,得 f ' ? x ? ? 0 在 ? x1 , x2 ? 上恒成立,所以 f ? x ? 在

? x1, x2 ? 上单调递增。 g(t ) ? max f ( x) ? min f ( x) ? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? x22 ? 1 ? x12 ? 1
2 1

x ?t

x ?t

x1 ? x2 x ?x x1 ? 1 2 2 ? 2 ? 1 ? 1 ? x1 ? x2 ? t 2 ? 1 ? 2 2 ,在 h ? t ? 中,令 u ? log2 t , x2 ? x1 x2 x1 ? x1 x2 2 x2 2 x1 2 x1 x2 x2 ?
2 则 u ? (0,1] ,函数化为 y ? u ? 1

u2 ?1 1 1 y ? ? u ? , u ? (0,1] ,由 ? 1 2 ,化简得 u u u

此得函数 h ? t ? 的值域为 [2, ??) 。

理科数学 9 月考试答案(共 4 页)

22 解: (Ⅰ)当 n ? 10 时,集合 A ? ?1,2,3,

,19,20? ,

B ? ?x ? A x ? 9? ? ?10,11,12, ,19,20? 不具有性质 P .
因为对任意不大于 10 的正整数 m, 都可以找到该集合中两个元素 b1 ? 10 与 b2 ? 10 ? m ,使得 b1 ? b2 ? m 成立. 集合 C ? x ? A x ? 3k ? 1, k ? N * 具有性质 P . 因为可取 m ? 1 ? 10 ,对于该集合中任意一对元素 c1 ? 3k1 ? 1, c2 ? 3k2 ? 1 , k1, k2 ? N * 都有 c1 ? c2 ? 3 k1 ? k2 ? 1 . (Ⅱ)当 n ? 2014 时,则 A ? ?1,2,3,

?

?

,4027,4028?

①若集合 S 具有性质 P ,那么集合 T ? ?4029 ? x x ? S? 一定具有性质 P . 首先因为 T ? ?4029 ? x x ? S? ,任取 t ? 4029 ? x0 ? T , 其中 x0 ? S , 因为 S ? A ,所以 x0 ?{1, 2,3,..., 4028} , 从而 1 ? 4029 ? x0 ? 4028 ,即 t ? A, 所以 T ? A . 由 S 具有性质 P ,可知存在不大于 2014 的正整数 m, 使得对 S 中的任意一对元素 s1 , s2 ,都有 s1 ? s2 ? m . 对于上述正整数 m, 从集合 T ? ?4029 ? x x ? S? 中任取一对元素 t1 ? 4029 ? x1 , t2 ? 4029 ? x2 ,其中 x1, x2 ? S , 则有 t1 ? t2 ? x1 ? x2 ? m , 所以集合 T ? ?4029 ? x x ? S? 具有性质 P . ②设集合 S 有 k 个元素.由第①问知,若集合 S 具有性质 P ,那么集合 T ? ?4029 ? x x ? S? 一定具有性质 P . 任给 x ? S , 1 ? x ? 4028 ,则 x 与 4029 ? x 中必有一个不超过 2014, 所以集合 S 与 T 中必有一个集合中至少存在一半元素不超过 2014,

k? ? 不妨设 S 中有 t ? t ? ? 个元素 b1 , b2 , 2? ?

, bt 不超过 2014.

由集合 S 具有性质 P ,可知存在正整数 m ? 2014 , 使得对 S 中任意两个元素 s1 , s2 ,都有 s1 ? s2 ? m , 所以一定有 b1 ? m, b2 ? m,

, bt ? m ? S .

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又 bi ? m ? 2014 ? 2014 ? 4028 ,故 b1 ? m, b2 ? m, 即集合 A 中至少有 t 个元素不在子集 S 中, 因此 k ?

, bt ? m ? A ,

k k ? k ? t ? 4028 ,所以 k ? ? 4028 ,得 k ? 2685 , 2 2
,1342,1343,2686, ,4027,4028? 时,

当 S ? ?1,2,

取 m ? 1343 ,则易知对集合 S 中任意两个元素 y1 , y2 , 都有 | y1 ? y2 |? 1343 ,即集合 S 具有性质 P , 而此时集合S中有 2685 个元素. 因此集合 S 元素个数的最大值是 2685.

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