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必修一高一数学指数函数和对数函数拔高


指数函数和对数函数专题
指数函数及其性质:
要点一、指数函数的概念: x 函数 y=a (a>0 且 a≠1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,a 为常数,函数定义域为 R. 要点二、指数函数的图象及性质: y=a 0<a<1 时图象
x

a>1 时图象

图象

①定义域 R,值域 (0,+∞) ②a =1, 即 x=0 时,y=1,图象都经过(0,1)点 性质 ③a =a,即 x=1 时,y 等于底数 a ④在定义域上是单调减函数 ⑤x<0 时,a >1 x x>0 时,0<a <1 ⑥ 既不是奇函数,也不是偶函数 要点诠释: 指数函数 y ? a 与 y ? ?
x
x x 0

④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0 时,0<a <1 x x>0 时,a >1
x

?1? ? 的图象关于 y 轴对称。 ?a?

x

要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 (1)

① y ? ax ② y ? bx ③ y ? c x ④ y ? d x 则:0<b<a<1<d<c 又即:x∈(0,+∞)时, b x ? a x ? d x ? c x (底大幂大) x∈(-∞,0)时, b x ? a x ? d x ? c x (2)特殊函数

y ? 2x ,

y ? 3x ,

1 y ? ( )x , 2

1 y ? ( ) x 的图像: 3

要点四、指数式大小比较方法 化为同底数指数式,利用指数函数的单调性进行比较. 比较法有作差比较与作商比较两种,其原理分别为:

①若 A ? B ? 0 ? A ? B ; A ? B ? 0 ? A ? B ; A ? B ? 0 ? A ? B ; ②当两个式子均为正值的情况下,可用作商法,判断 【典型例题】 类型一、函数的定义域、值域 例 1.求下列函数的定义域、值域. (1) y ?

A A ? 1 ,或 ? 1 即可. B B

3x 1 x x 2 x ?1 ;(2)y=4 -2 +1;(3) 3 ? ;(4) y ? a x 1? 3 9

2x ?1 x ?1

(a 为大于 1 的常数)

举一反三: 【变式 1】求下列函数的定义域: (1) y ? 2x (3) y ?
2

-1

(2) y ? 3

3- x

2 x -1

(4) y ? 1- a x (a ? 0, a ? 1)

?1? 例 2.讨论函数 f ( x) ? ? ? ? 3?
x

x2 ? 2 x

的单调性,并求其值域.

?1? ?1? 例 3.讨论函数 y ? ? ? ? ? ? ? 4? ? 2?
举一反三: 【变式 1】求函数 y ? 3? x
2

x ?1

? 2 的单调性.

?3 x?2
2

的单调区间及值域.

【变式 2】求函数 f ( x) ? a x

-2 x

(其中a ? 0,且a ? 1) 的单调区间.

【总结升华】
(1) 研究 y ? a f ( x ) 型的复合函数的单调性用复合法, 比用定义法要简便些, 一般地有: 即当 a>1 时, y ? a
f ( x) f ( x) 的单调性与 y ? f ( x) 的单调性相同;当 0<a<1 时, y ? a 的

单调与 y ? f ( x) 的单调性相反.
x (2)研究 y ? f (a ) 型的复合函数的单调性,一般用复合法,即设 t ? a ,再由内函
x

x 数 t ? a 与外函数 y ? f (t ) 的单调性来确定 y ? f (a ) 的单调性.
x

? 1 -2 4 例 4.比较大小 (1) ( ) 3 ,3 ,( ) 3 3

2

(2)2 ,(2.5) , (
2.5 0

1 2.5 ) 2

举一反三:
1

1

1

【变式 1】比较大小: 2 2 , 33 , 6 6 ;

2 【变式 2】 比较 1.5 , 1.3 , ( ) 3 的大小. 3
-0.2 0.7

1

【变式 3】如果 a

2 x ?1

? a x?5 ( a ? 0 ,且 a ? 1 ),求 x 的取值范围.

类型三、判断函数的奇偶性 例 5.判断下列函数的奇偶性: f ( x) ? (

1 1 ? )? ( x) ( ? ( x) 为奇函数) 2 ?1 2
x

【总结升华】 求 f ( x) ? g ( x) ? ? ( x) 的奇偶性,可以先判断 g ( x) 与 ? ( x) 的奇偶性,然后在根据奇· 奇 =偶,偶·偶=偶,奇·偶=奇,得出 f ( x ) 的奇偶性. 类型四:指数函数的图象问题 例 6 . 如 图 的 曲 线 C1 、 C2 、 C3 、 C4 是 指 数 函 数 y ? a 的 图 象 , 而
x

? ? ?1 2 ? a?? , , 3, ? ? , 则图象 C1、 C2、 C3、 C4 对应的函数的底数依次是________、 2 2 ? ? ? ?
________、________、________.

【总结升华】 :在 y 轴的右边“底大图高” ,在 y 轴的左边“底大图低” .
x 例 7.若直线 y ? 2a 与函数 y ?| a ? 1| ?1( a ? 0, 且 a ? 1 )的图象有两个公共点,则 a 的取值范围是 .

【变式 1】如图是指数函数① y ? a ,② y ? b ,③ y ? c ,④ y ? d 的图象,则
x x

x

x

a,b,c,d 与 1 的大小关系为( ) A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c 例 8.确定方程 2 ? ? x ? 2 的根的个数.
x 2

对数函数及其性质
1.对数函数的概念 (1)定义:一般地,我们把函数 y=logax(a>0,且 a≠1)叫做对数函数,其中 x 是自变量,函 数的定义域是(0,+∞). (2)对数函数的特征: logax的系数:1 ? ? 特征?logax的底数:常数,且是不等于1的正实数 ? ?logax的真数:仅是自变量x 【例 1-1】函数 f(x)=(a2-a+1)log(a+1)x 是对数函数,则实数 a=__________. 2.对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象与性质 (1)图象与性质

a>1

0<a<1

图 象

性 质

(1)定义域{x|x>0} (2)值域{y|y ? R} (3)当 x=1 时,y=0,即过定点(1,0) (4)当 x>1 时,y>0;当 0<x<1 (4)当 x>1 时,y<0;当 0 时,y<0 <x<1 时,y>0 (5)在(0,+∞)上是增函数 (5)在(0,+∞)上是减函数 y=ax(a>0,且 a≠1) y=logax (a>0,且 a≠1) R (0,+∞) R (0,+∞) (0,1) (1,0) 单调性一致,同为增函数或减函数 奇偶性一致,都既不是奇函数也不是偶函数

(2)指数函数与对数函数的性质比较

解析式 定义域 值域 性 过定点 质 单调性 奇偶性

【例 2】如图所示的曲线是对数函数 y=logax 的图象.已知 a 从 则相应曲线 C1,C2,C3,C4 的 a 值依次为( )

4 3 1 3 , , , 中取值, 3 5 10

4 3 1 3, , , 3 5 10 4 1 3 B. 3 , , , 3 10 5 4 3 1 C. , 3 , , 3 5 10 4 1 3 D. , 3 , , 3 10 5
A.

根据图象判断对数函数的底数大小的方法 作直线 y=1,它与各曲线的交点 的横坐标就是各对数的底数,由此判断各底数的大小. 3.反函数 (1)对数函数的反函数 指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)与对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)互为反函数. (2)互为反函数的两个函数之间的关系 ①原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域; ②互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称. (3)求已知函数的反函数 一般步骤如下: ①由 y=f(x)解出 x,即用 y 表示出 x; ②把 x 替换为 y,y 替换为 x; ③根据 y=f(x)的值域,写出其反函数的定义域. 【例 3-1】若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数,且 f(2)=1,则 f(x)=( ) A.log2x C. log 1
2

点技巧

B.

1 2x
-2

x

D.2x

【例 3-2】函数 f(x)=3x(0<x≤2)的反函数的定义域为( A.(0,+∞) B.(1,9] C.(0,1) D.[9,+∞)

)

【例 3-3】若函数 y=f(x)的反函数图象过点(1,5),则函数 y=f(x)的图象必过点( A.(5,1) B.(1,5) C.(1,1) D.(5,5)

)

4.利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值 【例 4-1】已知 f(ex)=x,则 f(5)=( ) A.e5 B.5e C.ln 5 D.log5e 【例 4-2】已知对数函数 f(x)的图象经过点 ?

?1 ? , 2 ? ,试求 f(3)的值. ?9 ?
1 ,试求 b 的值. 2

【例 4-3】已知对数函数 f(x)的反函数的图象过点(2,9),且 f(b)=

5.对数型函数的定义域的求解 (1)对数函数的定义域为(0,+∞). (2)在求对数型函数的定义域时,要考虑到真数大于 0,底数大于 0,且不等于 1.若底数和 真数中都含有变量,或式子中含有分式、根式等,在解答问题时需要保证各个方面都有意义.一

般地,判断类似于 y=logaf(x)的定义域时,应首先保证 f(x)>0. (3)求函数的定义域应满足以下原则: ①分式中分母不等于零; ②偶次根式中被开方数大于或等于零; ③指数为零的幂的底数不等于零; ④对数的底数大于零且不等于 1; ⑤对数的真数大于零,如果在一个函数中数条并存,求交集. 【例 5】求下列函数的定义域. (1)y=log5(1-x);(2)y=log(2x-1)(5x-4); (3) y

? log 0.5 (4 x ? 3) .

6.对数型函数的值域的求解 【例 6-1】求下列函数的值域: (1)y=log2(x2+4);(2)y= log 1 (3+2x-x ) .
2 2

【例 6-2】已知 f(x)=2+log3x,x ? [1,3],求 y=[f(x)]2+f(x2)的最大值及相应的 x 的值.

7.对数函数的图象变换及定点问题 对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)过定点(1,0),即对任意的 a>0,且 a≠1 都有 loga1=0.这 是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键. 【例 7-1】若函数 y=loga(x+b)+c(a>0,且 a≠1)的图象恒过定点(3,2),则实数 b,c 的值 分别为__________.

【例 7-2】作出函数 y=|log2(x+1)|+2 的图象.

8.利用对数函数的单调性比较大小 两个对数式的大小比较有以下几种情况: 【例 8-1】比较下列各组中两个值的大小. (1)log31.9,log32;(2)log23,log0.32;(3)logaπ,loga3.141. 9.对数型函数单调性的讨论 (1)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键:一是看底数是否大于 1,当底数未明确 给出时,则应对底数 a 是否大于 1 进行讨论;二是运用复合法来判断其单调性;三是注意其定义 域. (2)关于形如 y=logaf(x)一类函数的单调性,有以下结论: 函数 y=logaf(x)的单调性与函数 u=f(x)(f(x)>0)的单调性,当 a>1 时相同,当 0<a<1 时相 反. 例如:求函数 y=log2(3-2x)的单调区间. 【例 10-1】求函数 y=loga(a-ax)的单调区间.

析规律 判断函数 y=logaf(x)的单调性的方法 函数 y=logaf(x)可看成是 y=logau 与 u=f(x) 两个简单函数复合而成的,由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断.需特别注意的是, 在求复合函数的单调性时,首先要考虑函数的定义域,即“定义域优先”. 【例 10-2】已知 f(x)= log 1 (x2-ax-a)在 ? ??, ?
2

? ?

1? ? 上是增函数,求 a 的取值范围. 2?

11.对数型函数的奇偶性问题 判断与对数函数有关的函数奇偶性的步骤是: (1)求函数的定义域,当定义域关于原点不对称时,则此函数既不是奇函数也不是偶函数, 当定义域关于原点对称时,判断 f(-x)与 f(x)或-f(x)是否相等; (2)当 f(-x)=f(x)时,此函数是偶函数;当 f(-x)=-f(x)时,此函数是奇函数; (3)当 f(-x)=f(x)且 f(-x)=-f(x)时,此函数既是奇函数又是偶函数; (4)当 f(-x)≠f(x)且 f(-x)≠-f(x)时,此函数既不是奇函数也不是偶函数. 例如,判断函数 f(x)= log a ( x ? 1 +x) (x ? R,a>0,且 a≠1)的奇偶性.
2

【例 11】已知函数 f(x)= log a

1? x (a>0,且 a≠1). 1? x

(1)求函数 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的奇偶性; (3)求使 f(x)>0 的 x 的取值范围.


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