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2017届湖北省松滋一中高三上学期第一次考试 数学(理科)


湖北省松滋市第一中学 2016-2017 学年高三年级上学期第一次 考试数学(理科)试题
★ 祝考试顺利 ★ 时间:120 分钟 分值 150 分_

第 I 卷(选择题共 60 分)
一、选择题(本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1.已知 i 为虚数单位,复数 z 满足 z (1 ? i ) ? 1 ? i ,

则 z A.1 B.-1 C. i D. ?i 。
2016

?(



2.已知集合 M A. {x

? {x ? 2 ? x ? 2} , N ? {x y ? 1 ? x } ,那么 M ? N ?
B. {x

? 2 ? x ? 1} ? ?2}

? 2 ? x ? 1}

C. {x x

D. {x x

? 2}

3.在 ?ABC 中, sin A ?

5 3 , cos B ? ,则 cos C ? () 13 5
C. ?

A. ?

33 65

B. ?

16 65

56 65

D. ?

16 56 或 65 65
( )

4.若函数

? x 2 ? 3x ? 1, x ? 1, ? ,则 f ( f (2)) ? f ( x) ? ? 1 x 1 ( ) ? , x ? 1, ? ? 2 2
B.

A.1

3 2

C.

5 2

D.5

5 . 若

f ? x?

是 定 义 在

? ??, ???


上 的 偶 函 数 ,

?x1, x2 ? ? x1 ? 0 , ???

? ?x2,



f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? 0 ,则( x2 ? x1
A.

f ? ?2? ? f ?1? ? f ?3? f ?3? ? f ?1? ? f ? 2?

B.

f ?1? ? f ? ?2? ? f ?3? f ?3? ? f ? ?2? ? f ?1?


C.

D.

6.已知集合 A. 8 7.函数

A ? ?0,1? , B ? ?z z ? x ? y, x ? A, y ? A?,则 B 的子集个数为(
B. 3 C. 4 D. 7 )

f ? x ? ? a x loga x ?1 有两个不同的零点,则实数 a 的取值范围是(

A.

?1,10?

B.

?1, ???

C.

? 0,1?


D.

?10, ???

8.函数

y ? ? x 2 ? 1? e

x

的图象大致是(

A.

B.
2

C.

D.

9.已知函数 g ( x) ? a ? x , (

1 ? x ? e , e 为自然对数的底数)与 h( x) ? 2ln x 的图象上存在关 e


于 x 轴对称的点,则实数 a 的取值范围是( A.

[1,
2

1 ? 2] e2

B.

[1, e2 ? 2]

C.

[

1 ? 2, e 2 ? 2] e2

D. [e

? 2, ??)
ABC
的两边

10 .在平面几何里有射影定理:设三角形

AB ? AC , D 是 A 点在 BC 上的射影,则

AB2 ? BD? BC .拓展到空间,在四面体 A ? BCD 中, AD ⊥面 ABC ,点 O 是 A 在面 BCD 内 的射影,且 O 在 ?BCD 内,类比平面三角形射影定理,得出正确的结论是( )
A. S?ABC C. S?ADC
2 2

? S?BCO ? S?BCD ? S?DOC ? S?BDC

B. S?ABD D. S?BDC ,且 k
2

2

? S?BOD ? S?BDC ? S?ABD ? S?ABC

11 .已知函数 大 值为( A. 3 )

f ? x ? ? x ? x ln x , 若 k ? Z

? x ? 2? ? f ? x ? 对任意的 x ? 2 恒成立,则 k 的最

B. 4
2 2 2

C. 5
2 2 2

D. 6 =( )

12.设 a,b,c,x,y,z 是正数,且 a +b +c =10,x +y +z =40,ax+by+cz=20,则

A.

B.

C.

D.

第 II 卷(非选择题)
二、填空题(本大题共 4 个小题,每题 5 分,满分 20 分)
13.函数

y ? lg(tan x- 3) 的定义域是

.

14 .定义映射

f : A ? B ,其中 A ? ?( m, n) m, n? R ?,B?R

,已知对所有的有序 正整数对

(m, n)

满 足 下 述 条 件 : ①

f (m,1) ? 1

, ② 若

n?m

, .

f (m, n) ? 0

; ③

f( m ? 1 , n?)? n
15.已知函数

f( m ? , n)

,则 f? ( m,f (2, n 2) 1 ?) ?

f ? x? ? x ? a ? x ? 2 , f ? x? ? x ? 4

的解集为

A ,若 ?1, 2? ? A ,则实数 a 的取值

范围为__________________. 16.已知函数

f ? x ? ? x2 ? 2ax ? b ? x ? R ? ,给出下列命题:
f ? x ? 为偶函数.

① ? a ? R ,使

②若

f ? 0? ? f ? 2? ,则 f ? x ? 的图像关于 x ? 1 对称.
2

③若 a

? b ? 0 ,则 f ? x ? 在区间 ? a, ?? ? 上是增函数.
? b ? 2 ? 0 ,则函数 h ? x ? ? f ? x ? ? 2 有 2 个零点.


④若 a

2

其中正确命题的序号为

三.解答题:(本大题共 6 小题,请写出必要的文字说明和解答过程,共 70 分)
17 .设 :方程 为假,求 有两个不等的负根, 的取值范围. :方程 无实根,若 为真,

18 .已知 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) 为二次函数,且满足 f (2) ? 1 , f ( x) 在

(0, ??) 上的两个零点为 1 和 3.
(1)求函数 f ( x) 在 R 上的解析式; (2)若 x ? (??, m) 时,函数 f ( x) 的图像恒在 y ? ?3 的上方,求 m 的取值范围.

19.已知函数

f ( x) ?

3 ? x2 1 ? x2

.

(Ⅰ)计算

1 1 f (3) , f (4) , f ( ) 及 f ( ) 的值; 3 4 1 1 1 f (1) ? f (2) ? ... ? f (2015) ? f ( ) ? f ( ) ? ... ? f ( ). 2 3 2015

(Ⅱ)由(Ⅰ)的结果猜想一个普遍的结论,并加以证明; (Ⅲ)求值:

20 .已知函数 时,

f ( x) 对实数 x ? R 满足 f ( x) ? f (? x) ? 0, f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,若当 x ? ?0,1?

3 f ( x) ? a x ? b(a ? 0, a ? 1), f ( ) ? 1 ? 2 。 2

(1)求 x ? (2)求方程

?? 1,1?时, f ( x) 的解析式;

f ( x) ? log4 x ? 0 的实数解的个数。

21.设函数

f ? x ? ? a ln x ? x, g ? x ? ? aex ? x ,其中 a 为正实数.

(Ⅰ)若

f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上是单调减函数,且 g ? x ? 在 ? 2, ?? ? 上有最小值,求 a 的取值范围; f ? x ? 与 g ? x ? 都没有零点,求 a 的取值范围.

(Ⅱ)若函数

注意 22 题和 23 题只选一题
22.选修 4-4:坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位。已知直线 l 的

?s ?x ? 1? t c o ( t ? n ?y ? t s i ? ? sin 2 ? ? 4cos? 。 (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程;
参 数 方 程 为 (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于

为 参 数 ,

0 ?? ??

), 曲 线

C

的 极 坐 标 方 程 为

A, B 两点,当 a 变化时,求 AB

的最小值。

23.已知函数

f ( x) ? x2 ? 1, g ( x) ? a | x ? 1| 。
f ( x) ≥ g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围;

(Ⅰ)若当 x ? R 时,不等式 (Ⅱ)求函数

h( x) ?| f ( x) | ? g ( x) 在区间 [?2, 2] 上的最大值。

参考答案 1.ABBCDA 13. ( 17.
?? x 2 ? 4 x ? 3, x ? 0 ? f ( x) ? ? 0, ?? x ? 0 ? 2 ? x ? 4 x ? 3,?? x ? 0

7.BCB ABC

?
3

? k? ,

?
2

? k? ), k ? Z

14.2

15. ? ?3,0? 16.①②③

18. (1)

(2) m ? 4

试题解析: (1)由题意,当 x ? 0 时,设 f ( x) ? a( x ? 1)( x ? 3)(a ? 0) ,
? f (2) ? 1 ,∴ a ? ?1,∴ f ( x) ? ? x 2 ? 4 x ? 3 ,

当 x ? 0 时, ?x ? 0 ,∵ f ( x) 为 R 上的奇函数,∴ f (? x) ? ? f ( x) , ∴ f ( x) ? ? f (? x) ? ?[?(? x)2 ? 4(? x) ? 3] ? x 2 ? 4 x ? 3 , 即 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 3 , 当 x ? 0 时,由 f (? x) ? ? f ( x) 得: f (0) ? 0
?? x 2 ? 4 x ? 3, x ? 0 ? ?? x ? 0 . 所以 f ( x) ? ? 0, ? 2 ? x ? 4 x ? 3,?? x ? 0

(2)若 x ? (??, m) 时,函数 f ( x) 的图像恒在 y ? ?3 的上方,则 x ? (??, m) 时,函数 f ( x) 的最小值大于 ?3 . 当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 3 其最小值为, f(-2)=-1, 当 x ? 0 时,函数 f ( x) 的图像开口向下,

令 f ( x) ? ? x2 ? 4 x ? 3 =-3,解得 x=0 或 x=4, 综上可知, m ? 4 . y 4 3 2 1 -1 O

-4 -3 -2

-1 -2 -3 -4 19. (Ⅰ) ? , ?

1 2

3 4

x

3 5

13 13 47 ?1? , , (Ⅱ) f ? x ? ? f ? ? ? 2 (Ⅲ)4029 17 5 17 ?x?

试题解析: (Ⅰ)解得 f (3) ? ? , f (4) ? ? (Ⅱ)猜想: f ( x) ? f ( ) ? 2 ,证明如下。

3 5

13 1 13 1 47 , f( )? , f( )? 17 3 5 4 17

1 x

1 3? 2 2 1 3 ? x2 x ? 3x ? 1 ∵ f ( x) ? ,则 f ( ) ? x 1? 1 x2 ? 1 1 ? x2 x2
∴ f ( x) ? f ( ) ?

1 x

3 ? x 2 3 x 2 ? 1 3 ? x 2 ? 1 ? 3 x 2 2(1 ? x 2 ) ? ? ? ?2 1 ? x2 x2 ? 1 1 ? x2 1 ? x2
1 x

(Ⅲ)∵ f ( x) ? f ( ) ? 2 ∴ f (2) ? f ( ) ? 2 , f (3) ? f ( ) ? 2 ,..., f (2015) ? f ( 且 f (1) ? f ( ) ? 2 ,即 f (1) ? 1 ∴ f (1) ? f (2) ? ... ? f (2015) ? f ( ) ? f ( ) ? ... ? f (

1 2

1 3

1 )?2, 2015

1 1

1 2

1 3

1 ) ? 1 ? 2 ? 2014 ? 4029 2015

?1 ? 2 ? x , x ? ?? 1,0? ? 20. (1) ? f ( x) ? ?0, x ? ?1或1 (2)2 ?2 x ? 1, x ? ?0,1? ?
试题解析: (1)? f ( x) ? f (? x) ? 0 ? f (0) ? 0 ,即 b ? ?1
3 又 ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 1), f ( ) ? 1 2 2 ,? f ( ) ? f (? ) ? ? f ( ) ? 1 ? a ?1 - 2

?a ? 2 ?当x ? ?0,1?时,f ( x) ? 2 x ? 1

3 2

1 2

1 2

?当x ? ?? 1,0?时, - x ? ?0,1?? f (- x) ? 2 - x ? 1,? f ( x) ? ? f (? x) ? 1 ? 2 ? x ? f ( x) ? f (? x) ? 0, f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? f (1) ? f (?1) ? 0

?1 ? 2 ? x , x ? ?? 1,0? ? ? f ( x) ? ?0, x ? ?1或1 ?2 x ? 1, x ? ?0,1? ?
(2) ? f ( x) ? f ( ? x) ? 0, f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2) ? f ( x) ? f ( x) 是奇函数, 且 以 2 为 周 期 。 方 程 f ( x) ? log4 x ? 0 的 实 数 解 的 个 数 也 就 是 函 数

y ? f ( x)和y ? log4 x
的交点的个数。在同一直角坐标系中作出这俩个函数的图像,由图像得交点个数为 2, 所以方程 f ( x) ? log4 x ? 0 的实数解的个数为 2。 考点:1.函数性质及代数推理能力;2.函数的零点及数形结合方法;

? 1? ?1 ? a ? ? 0, 2 ? a ?? ,e? ? e ? (Ⅱ) ?e ? 21. (Ⅰ)
f ?? x? ? a?x ? x ? 0, a ? 0 ? x ,

试题解析: (Ⅰ)

f ? ? x? ? 0 x ? a f ? ? x? ? 0 ∵ 0 ? x ? a 时, ; 时, ,


f ? x?



? 0, a ? 上是增函数,在 ? a, ?? ? 上是减函数,又 f ? x ? 在 ?1, ??? 上是减函数,∴
x ? ln
,∴

0 ? a ? 1.


g ? ? x ? ? aex ?1
x ? ln

1 1 x ? ln ? g x ? 0 a 时, ? ? a 时, g? ? x ? ? 0 , ;



? 1? 1 1 1 a ? ln ? 2 0 ? a ? ? 0, 2 ? 2 ? e ?. a 时, g? ? x ? 最小,∴ a e 时,∴ ,∴

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 x ? a 时,

f ? x?

x ? ln
取得最大值,

1 a , g ? x ? 取得最小值,

由题意可得

f ?a? ? 0

? 1? g ? ln ? ? 0 且 ? a? ,

?a ln a ? a ? 0, ? 1 ? 1 ?1 ? 1 a ? ? ln ? 0, ? a ? e a ?? ,e? ? a ? e ?. ∴? a ∴e 即

22. (Ⅰ) y 2 ? 4 x ; (Ⅱ) AB min ? 4 。 试题解析: (Ⅰ)由 ? sin 2 ? ? 4cos? 得 ? ? sin ? ? ? 4 ? cos ? ,
2

∴曲线 C 的直角坐标方程为 y 2 ? 4 x 。 (Ⅱ)将直线 l 的参数方程代入 y 2 ? 4 x 得到 t 2 sin 2 ? ? 4t cos ? ? 4 ? 0 , 设 A, B 两点对应的参数分别是 t1 , t2 ,则 t1 ? t2 ? ∴ AB ? t1 ? t2 ? ∴ AB min ? 4 。 23. (Ⅰ) a ≤ ?2 ; (Ⅱ)当 a ≥ 0 时, h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 3a ? 3 ;当 ?3 ≤ a ? 0 时, h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 a ? 3 ;当 a ? ?3 时, h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 0。 试题解析:解: (1)不等式 f ( x) ≥ g ( x) 对 x ? R 恒成立,即 ( x 2 ? 1) ≥ a | x ? 1|()对 x ? R 恒成立,①当 x ? 1 时, ()显然成立,此时 a ? R ;②当 x ? 1 时,()可变形为 a ? 令 ? ( x) ?

4 cos ? 4 , t1t2 ? ? 2 。 2 sin ? sin ?

? t1 ? t2 ?

2

? 4t1t2 ?

4 ? ? 4 ,当 ? ? 时取到等号。 2 sin ? 2

x2 ? 1 , | x ? 1|

x 2 ? 1 ? x ? 1, ( x ? 1), ?? | x ? 1| ??( x ? 1), ( x ? 1)

因为当 x ? 1 时, ? ( x) ? 2 ,当 x ? 1 时, ? ( x) ? ?2 ,所以 ? ( x) ? ?2 ,故此时 a ≤ ?2 。综合 ①②,得所求实数 a 的取值范围是 a ≤ ?2 。 ( 2 ) 因 为 h( x)? | f ( x ? ) | g ( x ? 2) x ? |

? x 2 ? ax ? a ? 1, ( x ≥1), ? 2 =| ?? x1 ?1 |a ? x | ax ? a ? 1, (?1≤ x ? 1), ① 当 ? ? x 2 ? ax ? a ? 1, ( x ? ?1). ?

a ] 递增,且 ?1 即 , a ? 2时 , 结 合 图 形 可 知 h( x) 在 [ ?2,1] 上 递 减 , 在 [ 1 , 2上 2
h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 3a ? 3 。 h(? 2 )? a 3? 3 h, ( ? 2a ) ? 3 ,经比较,此时
② 当 0 ≤ ≤ 1, 即0 ≤ a ≤ 2时 , 结 合 图 形 可 知 h( x) 在 [ ?2, ?1] , [? ,1] 上 递 减 , 在

a 2

a 2

a a2 a [?1, ? ] , [1, 2] 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 , h(? ) ? ? a ? 1 ,经比较,知此 2 4 2 时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 3a ? 3 。
③ 当 ?1 ≤

a a ? 0, 即- 2 ≤ a ? 0时 , 结 合 图 形 可 知 h( x) 在 [ ?2, ?1] , [? ,1] 上 递 减 , 在 2 2

a a2 a [?1, ? ] , [1, 2] 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 , h(? ) ? ? a ? 1 ,经比较,知此 2 4 2 时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 a ? 3 。

3 a a a ④当 ? ≤ ? ?1,即- 3 ≤ a ? ? 2 时,结合图形可知 h( x) 在 [?2, ] , [1, ? ] 上递减,在 2 2 2 2

a a [ ,1], [? ,2] 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3 ? 0 , h(2) ? a ? 3 ≥ 0 ,经比较,知此时 h( x) 在 2 2
[?2, 2] 上的最大值为 a ? 3 。


a 3 ? ? , 即a ? ?3 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2,1] 上递减,在 [1, 2] 上递增,故此时 h( x) 2 2

在 [?2, 2] 上的最大值为 h(1) ? 0 。综上所述,当 a ≥ 0 时, h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为
3a ? 3 ;当 ?3 ≤ a ? 0 时, h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 a ? 3 ;当 a ? ?3 时, h( x) 在

[?2, 2] 上的最大值为 0。


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