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圆锥曲线的参数方程(1)(2)(3)


3.已知圆的方程为x 2 ? y 2 ? 4 x cos ? ? 2 y sin ? ? 3cos2 ? ? 0,
2 x 2 (? 为参数),那么圆心的轨迹的普通方程为 ___________? ? y ?1 4 解:方程x2 ? y 2 ? 4x cos? ? 2 y sin ? ? 3cos2 ? ? 0

可化为( x ? 2cos? )2 ? ( y ? sin ? )2 ? 1
设圆心为M (x, y ),
? x ? 2 cos ? 则圆心的参数方程为 ? (? 为参数) ? y ? sin ? 2 x 化为普通方程是 ? y 2 ? 1 4

例3:已知点P(x,y)是圆x2+y2 -6x -4y+12=0上动点, 求(1) x2+y2 的最值; (2)x+y的最值; (3)P到直线x+y -1=0的距离d 的最值。
解:圆x2+y2- 6x -4y+12=0即(x - 3)2+(y - 2)2=1, 用参数方程表示为 ? x ? 3 ? cos?

? ? y ? 2 ? sin ?

由于点P在圆上,所以可设P(3+cosθ,2+sinθ), (1) x2+y2 = (3+cosθ)2+(2+sinθ)2 =14+4 sinθ

+6cosθ=14+2

sin(θ +ψ). 13

(其中tan ψ =3/2)

∴ x2+y2 的最大值为14+ 2 13 ,最小值为14- 2 (2) x+y= 3+cosθ+ 2+sinθ=5+ sin 2(θ+ ) 4

13 。

?

∴ x+y的最大值为5+ 2 ,最小值为5 - 2 。

(3)

? 4 ? 2 sin(? ? ) 3 ? cos? ? 2 ? sin ? ? 1 4 d? ? 2 2
显然当sin( θ+ 小值,分别为

?

1? 2 2

4

)=

1时,d 取最大值,最 ? ,2

2 ?1 。

第二讲 参数方程

二.圆锥曲线的参数方程 1.椭圆的参数方程

如下图,以原点O为圆心,分别以a,b(a>b>0) 为半径作两个同心圆,设A为大圆上的任意一点,连 接OA,与小圆交于点B ,过点A作AN⊥ox,垂足为N, 过点B作BM⊥AN,垂足为M,求当半径OA绕点O旋 转时点M轨迹的参数方程.
分析:设M点的坐标为(x,y) 点A 的横坐标与M点的横坐 标相同, 点B 的纵坐标与M点的纵坐标 相同.
y A
B O N

M

x

而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.

如下图,以原点O为圆心,分别以a,b(a>b>0) 为半径作两个同心圆,设A为大圆上的任意一点,连 接OA,与小圆交于点B ,过点A作AN⊥ox,垂足为N, 过点B作BM⊥AN,垂足为M,求当半径OA绕点O旋 转时点M的轨迹参数方程. y 解: 设∠XOA=φ, 则 A A: (acosφ, a sinφ), B B: (bcosφ, bsinφ), M

? x ? a cos ? 由此: ? (?为参数) ?y ? b sin? 即为点M轨迹的参数方程.

O

N

x

x2 y2 消去参数得: 2 ? 2 ? 1, 即为点M轨迹的普通方程. a b

x ? a cos ? (?为参数) 1 .参数方程 是椭圆 y ? b sin ? x2 y2 ? 2 ? 1 ( . a ? b ? 0) 的参数方程. 2 a b 2 .在椭圆的参数方程中,常数a、b分别是椭 圆的长半轴长和短半轴长. a>b
另外 ? 称为离心角,规定参数 ? 的取值 范围是 ? ? [0, 2? )

? x ? a cos ? , ? x ? b cos ? , 焦点在X 轴 ? 焦点在Y 轴 ? ? y ? b sin ?. ? y ? a sin ?.

归纳比较
x2 y2 椭圆的标准方程: 2 ? 2 ? 1 a b ? x ? a cos ? (?为参数) 椭圆的参数方程:? ?y ? b sin?
是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.称离心角 圆的标准方程: x2+y2=r2

y A
B O M N

φ
x

椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:

y

P θ

? x ? r cos ? 圆的参数方程: ? (?为参数) ?y ? r sin? θ的几何意义是 ∠AOP=θ,是旋转角

O

A x

【练习1】把下列普通方程化为参数方程.

x y ? ?1 (1) 4 9
x ? 2 cos ? (1) y ? 3sin ?
? x ? 3cos ? (3) ? ? y ? 5sin ? 2 2 y x (3) 9 25

2

2

(2)

?

x ? cos ? (2) y ? 4sin ?

?

y x ? ?1 16
2

2

把下列参数方程化为普通方程

(4)

? x ? 8cos ? ? ? y ? 10sin ?

? ? 1 (4)

x 64

2

?

y 100

2

?1

x ? 2cos ? ? 练习2:已知椭圆的参数方程为 ? ? y ? sin ?
( ? 是参数) ,则此椭圆的长轴长为( 4 ), 短轴长为( 2 ),焦点坐标是( (? 3 , 0) ), 离心率是(
3 2

)。

例1、如图,在椭圆x2/9+y2/4=1上求一点M, 使M到直线 l:x+2y-10=0的距离最小. 分析1 平移直线 l 至首次与椭圆相切,切点即为所求.
y

?x ? 2 y ? m ? 0 ? 2 2 ? 4 x ? 9 y ? 36
O
x

消元,利用? ? 0, 求出m, 进而求得切点M( x0 , y0 )

P

例1、如图,在椭圆x2/9+y2/4=1上求一点M,使M 到直线 l:x+2y-10=0的距离最小. ? x ? 3cos ? 椭圆参数方程为: (?为参数) 分析2 ? ? y ? 2sin ?
则d ?

设M (3 cos ?,2 sin ?) 是椭圆上任一点. 3 4 |( 5 cos ? ? sin ?) -10| | 5cos (? ? ?0) -10| | 3cos ? ? 4sin ? -10| 5 5
5
? 5

?

5

3 4 ?当? ? ?0 =0时,d取最小值 5, 其中?0满足 cos ?0 ? ,sin ?0 ? 5 5 9 8 此时3 cos ? ? 3 cos ?0 ? , 2sin ? ? 2sin ?0 ? 5 5 9 8 ? M( , )时,点M 与直线x ? 2 y ? 10 ? 0的距离取最小值 5。 5 5

小结:借助椭圆的参数方程,可以将椭圆上的任意一 点的坐标用三角函数表示,利用三角知识加以解决。

题型示例——圆锥曲线参数方程的应用
x2 2 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(x ,y)是椭圆 +y =1 上的一 3 个动点,求 S=x +y 的最大值.

? ?x= 3cos φ , x2 2 因椭圆 + y = 1 的参数方程为? 3 ? ?y= sin φ

(φ 为参数 ), 故可设动点 P 的坐标为 ( 3cos φ , sin φ ), 其中 0≤ φ<2π . 因此 S= x+ y= 3cos φ + sin φ
? = 2? ? ? ? π? 3 1 ? ? cos φ + sin φ ?= 2sin?φ + ?. ? 2 2 ? 3? π 所以,当 φ= 时, S 取最大值 2. 6

2 2 x y 例2.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,求椭圆内接矩形 a b 面积的最大值.

解:设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为

(a cos ? , b sin ? ) ? S矩形 ? 4 a cos ? ? b sin ?
? 2ab sin 2? ? 2ab
?当? ? k? ?

?
4

(k ? Z )时,S矩形 ? 2ab最大。

所以椭圆内接矩形面积的最大值为2ab.

2 y x 例3:已知A,B两点是椭圆 9 4 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上 求一点P,使四边形OAPB的面积最大. 2

?

?1

解 :由椭圆参数方程,设点P(3cos? ,2sin? )

S? ABC 面积一定, 需求 S?ABP 最大即可
即求点P到直线AB的距离的最大值。 x y 直线AB的方程为: ? ? 1 ? 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 3 2 6 ? | 6 cos ? ? 6 sin ? ? 6 | ? 2 sin( ? ? ) ? 1 d? 4 13 22 ? 32

?当? = 时, d 有最大值, 面积最大. 4 3 2
这时点P的坐标为( 2

?

, 2)

x2 y2 1、动点P(x,y)在曲线 ? ? 1上变化 ,求2x+3y的最 9 4 大值和最小值 最大值6 2 , 最小值 ? 6 2 . 设x ? 3cos ? , y ? 2sin ?
2 x ? 3 y ? 6cos? ? 6sin ? ? 6 2 sin(? ? ) 4

练习

?

2、θ取一切实数时,连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ, B 6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 . A. 圆
2

B. 椭圆

设中点M (x, y)

C. 直线 D. 线段 x=2sinθ-2cosθ y=3cosθ+3sinθ

x y ? ?2 4 9

2

练习
3、当参数? 变化时,动点P(3cos ? , 2 sin ? )所确定的曲线必过 A.点(2, 3) B.点(3, 0) C.点(1, 3)

? D.点(0, ) 2

它的焦距是多少?

2 5

B

小结
(1)椭圆的参数方程(a>b>0)

x2 y 2 ? 2 ?1 2 a b

? ?

? x ? a cos? (?为参数) ? ? y ? b sin ?

y x ? 2 ? 1 2 a b

2

2

?x ? b cos ? (?为参数) ? ?y ? a sin ?

注意:椭圆参数与圆的参数方程中参数的几何意 义不同。 (2)椭圆与直线相交问题

第二讲 参数方程

二.圆锥曲线的参数方程 2.双曲线的参数方程

双曲线的参数方程
x2 y 2 探究:双曲线 2 ? 2 ? 1 a b 的参数方程
以原点O为圆心,a, b为 半径分别作同心圆C1 , C2 设A为圆C1上任意一点,作直线OA,
a

y
A B' o B b

?

?

?

M

A' x

设以Ox为始边,OA为终边的角为?

过点A作圆C1的切线AA'与x轴交于点A' ,
过圆C2与x轴的交点B作圆C2的切线BB'与直线OA交于点B' .

过点A' ,B'分别作y轴,x轴的平行线A' M,B' M交于点M.

双曲线的参数方程
设M ( x, y) 则A ( x,0), B (b, y). ?点A在圆C1上 ? A(acos?,asin? ). ??? ? ????' ??? ? ????' 又OA ? AA , ?OA ? AA =0
' '

y
a A o B b

B'

?M
A' x

?

a 解得:x ? ?a cos ? ( x ? a cos ? ) ? (a sin ? ) ? 0 消去参数得: cos ? 1 又?点B'在角?的终边上,记 cos ? ? sec x 2 ? y 2 ? x ? a sec ? ? 2 ?1 2 y 由三角函数定义有: tan ? ? . ? y ?a b tanb ? b ? x ? a sec ? ?点M的轨迹的参数方程是 ? (?为参数) ? y ? b tan ?
2

???? AA' =(x-acos? ,-asin? )

双曲线的参数方程
x2 y2 - 2 =1(a>0,b>0)的参数方程为: 2 a b ? x ? a sec ? (?为参数) ? ? y ? b tan ?
a

y A

B'

?M
A' x

o B
b

?

说明:⑴ 这里参数 ? 叫做双曲线的离心角与直线OM 的倾斜角不同. 2 2

3? 通常规定? ? [o, 2? )且? ? ,? ? 。 2 2

?

⑵ 双曲线的参数方程可以由方程 恒等式sec2 ? ? 1 ? tan 2 ? 相比较而得到,所以双曲 线的参数方程的实质是三角代换.

x y ? 2 ?1 2 与三角 a b

双曲线的参数方程:

x2 y2 - 2 =1(a>0,b>0)的参数方程为: 2 a b ? x ? a sec ? (?为参数) ?为离心角 ? ? y ? b tan ?

y x - 2 =1(a>0,b>0)的参数方程为: 2 a b ? y ? a sec ? (?为参数) ? ? x ? b tan ?

2

2

x2 y 2 例2、 如图,设M 为双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) a b 任意一点,O为原点,过点M 作双曲线两渐近线的 平行线,分别与两渐近线交于A,B两点。探求平 行四边形MAOB的面积,由此可以发现什么结论?

解:不妨设M为双曲线右支上一点,
其坐标为(asec? ,btan?),
b 双曲线的渐近线方程为:y ? ? x. a 则直线MA的方程为: b y ? b tan ? ? ? ( x ? a sec ? ). a b 将y= x代入①,解得点A的横坐标为 a
O

y A

M
B

x



a xA = (sec? ? tan?). 2

a 解: 同理可得,点B的横坐标为xB = (sec? ? tan?). 2 b 设?AOx=? ,则tan? ? . 所以MAOB的面积为 a xA xB S?MAOB =|OA||OB|sin2 ? ? = cos? ? cos? sin2?
a 2(sec2? -tan2? ) = ? sin2? 2 4cos ?
y A

a a b ab = ? tan ? ? ? ? . 2 2 a 2

2

2

M
O B

x

由此可见,平行四边形MAOB的面积恒 为定值,与点M在双曲线上的位置无关。

探究 化下列参数方程为普通方程,并说明它们 表示什么曲线?由此你有什么想法?
a 1 ? x ? ( t ? ) ? ? 2 t (t为参数,a>0,b>0) ? ? y ? b (t ? 1) ? 2 t ?
a t ? ?t x ? (e ? e ) ? ? 2 (t为参数,a>0,b>0) ? ? y ? b ( et ? e ? t ) ? ? 2

第二讲 参数方程

二.圆锥曲线的参数方程 3.抛物线的参数方程

抛物线的参数方程
设抛物线的普通方程为y 2 ? 2 px......(1)
抛物线上任意点M (x,y) ?MOX ? ? y 由三角函数的定义可得 ? tan ? .............(2) y x 由(1), (2)解出x, y,
2p ? x? ? ? tan 2 ? 得到 ? ?y ? 2p ? tan ? ?

o
(? 为参数)

?

M(x,y)

x

这就是抛物线(1)(不包括顶点)的参数方程

2p ? x? 抛物线的参数方程 ? ? tan 2 ? ? ?y ? 2p ? tan ? ? 1 如果令t ? , t ? (??, 0) ? (0, ??), tan ?

(? 为参数)

? x ? 2 pt 2 则有 ? (t为参数) ? y ? 2 pt
当t ? 0时,由此参数方程表示的点正好 就是抛物线的顶点(0, 0)

y o
?

M(x,y)

x

? x ? 2 pt 2 ?当t ? ( ??, ??)时,参数方程 ? (t为参数) ? y ? 2 pt 就表示抛物线y 2 =2px。

参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点 连线的斜率的倒数。

由此得抛物线y ? 2 px (p ? 0)的参数方程为:
2

? x ? 2 pt 2 (t为参数) ? ? y ? 2 pt

参数t的几何意义:抛物线 上除顶点外的任意一点与 原点连线的斜率的倒数。

思考:类比上面的方法怎样选取参数,建立 抛物线 x 2 ? 2 py ( p ? 0)的参数方程 ?
? x ? 2 p tan ? (? 为参数) ? 2 ? y ? 2 p tan ?
如果令t ? tan ? , t ? (??, ??)

? x ? 2 pt (t为参数) ? 2 ? y ? 2 pt

所以抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0)的参数方程为:
? x ? 2 pt (t为参数) ? 2 ? y ? 2 pt

参数t的几何意义:抛物线上除顶点外的任意一点 与原点连线的斜率。

例、如图O是直角坐标原点,A, B是抛物线y 2 ? 2 px( p ? 0) 上异于顶点的两动点,且OA ? OB, OM ? AB并于AB相交于 点M,求点M的轨迹方程。

解:设点M ( x, y),
A(2 pt12 , 2 pt1 ),
2 B(2 pt2 , 2 pt2 ) (t1 ? t2 , 且t1 ? t2 ? 0)
? ???? ? OM ? ( x, y ), OA ? (2 pt12 , 2 pt1 ),

y

A

? M
o x

OB ? (2 pt , 2 pt2 ),
2 2
2 AB ? (2 p(t2 ? t12 ), 2 p(t2 ? t1 )) ?

?

? OA ? OB,

?

?

?(2 pt1t2 )2 ? (2 p)2 t1t2 ? 0,

B ?

例、如图O是直角坐标原点,A, B是抛物线y 2 ? 2 px( p ? 0) 上异于顶点的两动点,且OA ? OB, OM ? AB并于AB相交于 点M,求点M的轨迹方程。 ? ? 2 2 ? OA ? OB, ?(2 pt1t2 ) ? (2 p) t1t2 ? 0,
? ?

?t1t2 ? ?1......(1)

2 ? t12 ) ? 2 py(t2 ? t1 ) ? 0 ? OM ? AB, ?2 px(t2 y ? t ? t ? ? ( x ? 0)........(2) ? 1 2 x ? AM ? ( x ? 2 pt12 , y ? 2 pt1 ),
2 MB ? (2 pt2 ? x, 2 pt2 ? y) ?

且A, M , B三点共线,

y 将(1), (2)代入(3), 得到:y (? ) ? 2 p ? x ? 0 x

2 ?( x ? 2 pt12 )(2 pt2 ? y) ? (2 pt2 ? x)( y ? 2 pt1 ) 即:y(t1 ? t2 ) ? 2 pt1t2 ? x ? 0........(3)

即x2 ? y 2 ? 2 px ? 0( x ? 0)

这就是点M的轨迹方程

探究:在例题中,点A, B在什么位置时,?AOB的面积 最小?最小值是多少 ?
由例可得: OA = (2 pt12 ) 2 ? (2 pt1 ) 2 ? 2 p t1 t12 ? 1
OB ? (2 pt ) ? (2 pt2 )
2 2 2 2

? 2 p t2

2 t2 ?1

? S ?AOB

1 2 2 2 ? 2 p t t ( t ? 1) ? ( t ? OA ? OB 1 2 1 2 ? 1) 2
? 2p
2

t ?t ? 2 ? 2p
2 1 2 2

2

2 ? 4 p (t1 ? t2 ) ? 4
2

当且仅当t1 ? ?t2,

即当点A, B关于x轴对称时,
最小值为4 p2 .

?AOB的面积最小,

? x ? 2 pt 2 1、若曲线 ? (t为参数)上异于原点的不同 ? y ? 2 pt 两点M 1,M 2所对应的参数分别是t1 , t2 , 则弦M 1 M 2 所在直线的斜率是(

练习

c



1 1 A、t1 ? t2,B、t1 ? t2,C、 ,D、 t1 ? t2 t1 ? t2
2 解:设M1 (2 pt12 ,2 pt1 ), M2 (2 pt2 ,2 pt2 )

? kM1M 2

2 pt1 ? 2 pt2 1 ? ? 2 2 t1 ? t2 2 pt1 ? 2 pt2

练习
点P为线段M 0 M的中点,求点P的轨迹方程。
解:设P( x, y)

2、设M 为抛物线y 2 ? 2 px上的动点,给定点M 0 (?1, 0),
? M为抛物线y 2 ? 2x上的动点,
2

?可设M (2 pt , 2 pt ) 又定点M 0 (?1,0),点P为线段M 0 M的中点,
? 2 pt 2 ? 1 消参数t , x ? ? ? 2 (t为参数) 得点P的轨迹方程: ?? ? y ? 2 pt p 2 y ? px ? . ? ? 2 2


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