当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

一道国外竞赛题的多角度探究




专 题 研 究  : 1 0 6   .   .
●. - I、  
● 

.  1

鼯 旗 



道国外竞赛题趵多角度搽穷 
◎ 任 珊 珊  ( 江 苏扬 州扬 大 附 中 东部 分校 2 2 5 0 0 3 )   R Oj _ A

D, 垂 足 为 0, R W上D C , 垂 足 为  .   设  A P U= 0 , 小正方形边长为 口 ( 0> 0 ) .   易得 A P= 2 a c o s O , P M= 2 a s i n O , M B= ̄ / C O S O .   由A P+P M +MB= A B, 得 
2a c o s O +2as i nO+ ac o s O: 8.  

【 摘要 】 本 文 试 对 一 道 国外 竞 赛 题 进 行 多角 度 的探 究   【 关键词 】 向量 ; 复数; 三角 函数 ; 解 析几何; 探究  
问题  在 长 、 宽 分 别 为 7 和 8的 矩 形 内, 放 置 了如 图 1   的 5个 大小 相 同 的 正 方形 , 求 正 方 形 的 边 长.  

即3 a c o s O+2 a s i n O=8 .  

(1 )  

同理 : A O=a s i n O , O D:3 a c o s O .   由A O+O D= A D, 得 
a s i n O+3 a c o s O= 7.   ( 2 )  

解( 1 ) ( 2 ) 两式 , 得 
’ 

『 c o s O=三 ,  
网  1   I 羽 2   图 3   4  


标系.  

如图 2 , 以  为 原 点 , B C、 B A为 坐 标 轴 建 立 直 角 坐 

{   ÷ a由 , s i n 2 0 + c 0 s   0 : l 可 得 n =  
. 

1  ̄P , O:( n , 一 b ) , 则P R=( b , n ) .   P  = 3   P O+ P i t = ( 3 o + b , 口 一 3 6 ) , s t )=一 2   P Q+ 3   P R  


解后反思

恰 当地设 角 , 引 进 三 角 函 数 可 以 简 化 问 题 

的解决过程. 这 正是 三 角 函数 的魅 力 所 在.  

(一2 n+3 b, 3 a+2 6 ),   得方程组
  7 3a +b,






解 出 {  . ,  

3 . 从 解 析 几 何 角 度 探 究  平 面解 析 几 何 与 平 面 向 量 都 具 有 数 与 形 结 合 的 特 征 ,   但是解析几何题 一般来 说计 算量较 大且有 一定 的技 巧性 ,   需要“ 精 打 细算 ” .   解 建 立如 图 4所 示 的 直 角 坐 标 系 , 设 小 正 方 形 边 长 
为 口( a > 0) ,贝 0   。 ) , S ( 0 , ~Ⅱ ) .   (一 口 , 2 a) , P(~口 , 0) ,Q ( 2 8 ,  

所 以, 正方形 的边长 为 I P QI _   0   + b   = √ 5 .  
以 上 内容 摘 自《日 本 奥 赛 选 拔 初 试 中 的 几 何 问 题 选 》   ( 袁桐《 数学教 学》 ) , 上 面 解 法 是 利 用 向量 知 识 来 求 解 , 此  外本 题 还 可 以 从 复 数 、 三 角 函 数 和 解 析 几 何 的 角 度 进 行  探究 .   1 . 从 复 数 的 角 度探 究  平 面 向量 与 复 数 是 高 中 数 学 的 重 要 内 容 , 联 系 紧 密. 随  着知识的发展 , 相互对应相互促进 是联系 的主要体现. 复 数  中的概念 、 运 算 等 在 向 量 中 可 以作 出 几 何 解 释 ; 向 量 的 运  算, 可 以对 应 有 关 的复 数 运 算 .   解 如 图 2, 以 B为 原 点 , B C、 B A为 坐 标 轴 建 立 直 角 坐 
标系.  

设直 线 A D 的 斜 率 为 k( k>0 ) , 可得 z   。 : Y=k x+  
+2a:  

1 s c : Y = k x — k a - a ; z A B : Y = 一 ÷   一 ÷   y = 一 ÷   +  
' 

T。  。  

由A B : 8 , 得   兰  : 8 .  
√ 1+k  

( 1 )  

设P O 对应 的复数为 z   = Ⅱ + b i ( 口 , b ∈ R ) ,  
则P 庸 对 应 的 复 数 为 , =i ( 口+ b i ) =一 b+ 口 i ,  


l   3  

l  





P 于 对 应 的复 数为  = 3  
3 0一b=7  

:( 3 Ⅱ 一6 )+( 3 b+ 0 ) i ,  
( 1 )  

. 



由 B c - 7 ' 得   ^ J   _ 7   _
靠衄r 求解()   1 、 f () 2 、 两卉 两式 百 可得{ r 徂J   一 2,   【 。 :  

( 2 )  

’ .



s   对应 的 复 数 为  : 3 z :一2   =(一 3 6— 2 口 )+( 3 口一  
3 n一2 b=8   ( 2)  

2 6) i .  
’ . .

由( 1 ) ( 2 ) 解得 0= 2 , b=一1 .  
.  .

正方形的边长为  ̄ / 。   + b   = √ 5 .  

解 后 反 思  利 用 复 数 与平 面 向 量 的 联 系 , 由 向量 向 复  数 表示 上 的 转 化 , 其特点是 : 转 化 为 复 数 问题 后 能 构 造 出 复 

解 后反 思 : 充 分 利 用 图 形 的 直 观 性 和 平 面 几 何 相 关 知  识来解答问题 , 体 现 出数 形 结 合 的 思 想 方 法 .   数 学 教 学 离 不 开 解题 , 激 发 学 生 对 解 题 的兴 趣 , 提 高 解 
题教学的效率 , 是 值 得 研 究 的一 个 重 要 课 题 . 实 践 让 我 们 深 

数的某些结论或某 些代数 公式 , 从 而 通 过 它 们 去 实 现 目标  完成. 这样 , 借复数之力去解决相关问题 , 有返璞归真之感.   2 . 从 三 角 函 数 角 度 探 究  三 角 函数 是 以角 为 自变 量 的 函 数 , 它 作 为 一 种 工 具 和  其 他 知 识 如 向量 、 几何 、 解 三角形 等知 识联 系密切. 在 以 几  何 图形 为背 景 的题 目中 , 往 往 通 过 设 角建 立 三 角 式 , 进 行 三  角 变换 转化 为 三 角 函 数 问题 来 解 决 .   解 如图 3 , 作 V M 上A B, 垂 足 为  ,   上B C , 垂 足 为 Ⅳ,  

切地体会到 : 在 课 堂 教 学 中实 施 多 角 度 的 探 究 , 根 据 内 容 选  择和运用不同的探究方法 , 有 助 于学 生 体 验 探 究 的 过 程 、 感  受成功的乐趣.  

【 参考文献】  
袁桐. 日本 奥 赛 选 拔 初 试 中 的 几 何 问 题 选 [ J ] . 数 学 教 
学, 2 0 0 8 ( 2 ) .  
数 学 学 习与 研 究 2 0 1 1 . 2 1  


相关文章:
对一道高考题的多角度探究
一道高考题的多角度探究卢玉才 江苏省太仓高级中学 18915775582 luyucai4@...的改编于初高中的一些习题或竞赛题. 分析 2010 年江苏高考 或平常的习题,通过...
对一道高考题的多角度探究
一道高考题的多角度探究卢玉才 江苏省太仓高级中学 18915775582 luyucai4@...习题,也有的改编于初高中的一些习题或竞赛题. 分析 2010 数学,许多试题源于课本...
对一道高考题的多角度探究
一道高考题的多角度探究卢玉才 江苏省太仓高级中学 18915775582 luyucai4@...习题,也有的改编于初高中的一些习题或竞赛 题. 分析 2010 年江苏高考数学,许多...
一道竞赛题的探究创新与思维拓展
一道竞赛题的探究创新与思维拓展湖北省武汉市青山区武钢实验学校范有根 问题Ⅰ:如图 1,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=96°, P 为△ABC 内一点,且 AB=PB, ∠...
一道竞赛试题的进一步探究
一道竞赛试题的进一步探究_职业规划_求职/职场_实用文档。一道竞赛试题的进一步探究 江苏省常熟市中学 (215500) 钱春兰赛题呈现已知 a,b,c 是正实数,求证: a...
竞赛题
暂无评价 8页 免费 一道竞赛题的探究 暂无评价 2页 免费竞​赛​题 ...乙 丙三个数,它们的平均数是95,其中甲数是90,乙数是97,求丙数是多 少?...
竞赛题
一道竞赛题的探究 暂无评价 2页 免费竞​赛​题 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档八年级生物竞赛试题班级 A.鲨鱼、娃娃鱼 C.鱿鱼、鲍鱼 姓名 成绩( B....
竞赛题
一道竞赛题的探究 暂无评价 2页 2.00元 竞赛题1 14页 免费 竞赛用题 暂无评价 19页 免费 第一组竞赛题 暂无评价 5页 免费 八年级竞赛题 4页 2财富值 ...
一道高考试题的多角度思考及教学启示
一道高考试题的多角度思考及教学启示 一道高考试题的多角度思考及教学启示 多...考查学生灵活运用数学知识分析问题和解决问题能力的一道好题,具有较高的研究价值...
竞赛题
一道竞赛题的探究 暂无评价 2页 免费 节选竞赛题 暂无评价 3页 免费 喜欢此...四、 (12 分)小明发现他家的电源插排上有多个指示灯,如图 14 甲所示。小明...
更多相关标签:
初中物理探究课竞赛 | 国外居住区规划竞赛 | 国外建筑竞赛排版 | 国外建筑平面 竞赛 | 国外电子设计竞赛 | 国外建筑竞赛排版教程 | 国外城市设计竞赛 | 数学竞赛国外 |