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一道国外竞赛题的多角度探究




专 题 研 究  : 1 0 6   .   .
●. - I、  
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.  1

鼯 旗 



道国外竞赛题趵多角度搽穷 
◎ 任 珊 珊  ( 江 苏扬 州扬 大 附 中 东部 分校 2 2 5 0 0 3 )   R Oj _ A

D, 垂 足 为 0, R W上D C , 垂 足 为  .   设  A P U= 0 , 小正方形边长为 口 ( 0> 0 ) .   易得 A P= 2 a c o s O , P M= 2 a s i n O , M B= ̄ / C O S O .   由A P+P M +MB= A B, 得 
2a c o s O +2as i nO+ ac o s O: 8.  

【 摘要 】 本 文 试 对 一 道 国外 竞 赛 题 进 行 多角 度 的探 究   【 关键词 】 向量 ; 复数; 三角 函数 ; 解 析几何; 探究  
问题  在 长 、 宽 分 别 为 7 和 8的 矩 形 内, 放 置 了如 图 1   的 5个 大小 相 同 的 正 方形 , 求 正 方 形 的 边 长.  

即3 a c o s O+2 a s i n O=8 .  

(1 )  

同理 : A O=a s i n O , O D:3 a c o s O .   由A O+O D= A D, 得 
a s i n O+3 a c o s O= 7.   ( 2 )  

解( 1 ) ( 2 ) 两式 , 得 
’ 

『 c o s O=三 ,  
网  1   I 羽 2   图 3   4  


标系.  

如图 2 , 以  为 原 点 , B C、 B A为 坐 标 轴 建 立 直 角 坐 

{   ÷ a由 , s i n 2 0 + c 0 s   0 : l 可 得 n =  
. 

1  ̄P , O:( n , 一 b ) , 则P R=( b , n ) .   P  = 3   P O+ P i t = ( 3 o + b , 口 一 3 6 ) , s t )=一 2   P Q+ 3   P R  


解后反思

恰 当地设 角 , 引 进 三 角 函 数 可 以 简 化 问 题 

的解决过程. 这 正是 三 角 函数 的魅 力 所 在.  

(一2 n+3 b, 3 a+2 6 ),   得方程组
  7 3a +b,






解 出 {  . ,  

3 . 从 解 析 几 何 角 度 探 究  平 面解 析 几 何 与 平 面 向 量 都 具 有 数 与 形 结 合 的 特 征 ,   但是解析几何题 一般来 说计 算量较 大且有 一定 的技 巧性 ,   需要“ 精 打 细算 ” .   解 建 立如 图 4所 示 的 直 角 坐 标 系 , 设 小 正 方 形 边 长 
为 口( a > 0) ,贝 0   。 ) , S ( 0 , ~Ⅱ ) .   (一 口 , 2 a) , P(~口 , 0) ,Q ( 2 8 ,  

所 以, 正方形 的边长 为 I P QI _   0   + b   = √ 5 .  
以 上 内容 摘 自《日 本 奥 赛 选 拔 初 试 中 的 几 何 问 题 选 》   ( 袁桐《 数学教 学》 ) , 上 面 解 法 是 利 用 向量 知 识 来 求 解 , 此  外本 题 还 可 以 从 复 数 、 三 角 函 数 和 解 析 几 何 的 角 度 进 行  探究 .   1 . 从 复 数 的 角 度探 究  平 面 向量 与 复 数 是 高 中 数 学 的 重 要 内 容 , 联 系 紧 密. 随  着知识的发展 , 相互对应相互促进 是联系 的主要体现. 复 数  中的概念 、 运 算 等 在 向 量 中 可 以作 出 几 何 解 释 ; 向 量 的 运  算, 可 以对 应 有 关 的复 数 运 算 .   解 如 图 2, 以 B为 原 点 , B C、 B A为 坐 标 轴 建 立 直 角 坐 
标系.  

设直 线 A D 的 斜 率 为 k( k>0 ) , 可得 z   。 : Y=k x+  
+2a:  

1 s c : Y = k x — k a - a ; z A B : Y = 一 ÷   一 ÷   y = 一 ÷   +  
' 

T。  。  

由A B : 8 , 得   兰  : 8 .  
√ 1+k  

( 1 )  

设P O 对应 的复数为 z   = Ⅱ + b i ( 口 , b ∈ R ) ,  
则P 庸 对 应 的 复 数 为 , =i ( 口+ b i ) =一 b+ 口 i ,  


l   3  

l  





P 于 对 应 的复 数为  = 3  
3 0一b=7  

:( 3 Ⅱ 一6 )+( 3 b+ 0 ) i ,  
( 1 )  

. 



由 B c - 7 ' 得   ^ J   _ 7   _
靠衄r 求解()   1 、 f () 2 、 两卉 两式 百 可得{ r 徂J   一 2,   【 。 :  

( 2 )  

’ .



s   对应 的 复 数 为  : 3 z :一2   =(一 3 6— 2 口 )+( 3 口一  
3 n一2 b=8   ( 2)  

2 6) i .  
’ . .

由( 1 ) ( 2 ) 解得 0= 2 , b=一1 .  
.  .

正方形的边长为  ̄ / 。   + b   = √ 5 .  

解 后 反 思  利 用 复 数 与平 面 向 量 的 联 系 , 由 向量 向 复  数 表示 上 的 转 化 , 其特点是 : 转 化 为 复 数 问题 后 能 构 造 出 复 

解 后反 思 : 充 分 利 用 图 形 的 直 观 性 和 平 面 几 何 相 关 知  识来解答问题 , 体 现 出数 形 结 合 的 思 想 方 法 .   数 学 教 学 离 不 开 解题 , 激 发 学 生 对 解 题 的兴 趣 , 提 高 解 
题教学的效率 , 是 值 得 研 究 的一 个 重 要 课 题 . 实 践 让 我 们 深 

数的某些结论或某 些代数 公式 , 从 而 通 过 它 们 去 实 现 目标  完成. 这样 , 借复数之力去解决相关问题 , 有返璞归真之感.   2 . 从 三 角 函 数 角 度 探 究  三 角 函数 是 以角 为 自变 量 的 函 数 , 它 作 为 一 种 工 具 和  其 他 知 识 如 向量 、 几何 、 解 三角形 等知 识联 系密切. 在 以 几  何 图形 为背 景 的题 目中 , 往 往 通 过 设 角建 立 三 角 式 , 进 行 三  角 变换 转化 为 三 角 函 数 问题 来 解 决 .   解 如图 3 , 作 V M 上A B, 垂 足 为  ,   上B C , 垂 足 为 Ⅳ,  

切地体会到 : 在 课 堂 教 学 中实 施 多 角 度 的 探 究 , 根 据 内 容 选  择和运用不同的探究方法 , 有 助 于学 生 体 验 探 究 的 过 程 、 感  受成功的乐趣.  

【 参考文献】  
袁桐. 日本 奥 赛 选 拔 初 试 中 的 几 何 问 题 选 [ J ] . 数 学 教 
学, 2 0 0 8 ( 2 ) .  
数 学 学 习与 研 究 2 0 1 1 . 2 1  


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