当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

一道国外竞赛题的多角度探究




专 题 研 究  : 1 0 6   .   .
●. - I、  
● 

.  1

鼯 旗 



道国外竞赛题趵多角度搽穷 
◎ 任 珊 珊  ( 江 苏扬 州扬 大 附 中 东部 分校 2 2 5 0 0 3 )   R Oj _ A

D, 垂 足 为 0, R W上D C , 垂 足 为  .   设  A P U= 0 , 小正方形边长为 口 ( 0> 0 ) .   易得 A P= 2 a c o s O , P M= 2 a s i n O , M B= ̄ / C O S O .   由A P+P M +MB= A B, 得 
2a c o s O +2as i nO+ ac o s O: 8.  

【 摘要 】 本 文 试 对 一 道 国外 竞 赛 题 进 行 多角 度 的探 究   【 关键词 】 向量 ; 复数; 三角 函数 ; 解 析几何; 探究  
问题  在 长 、 宽 分 别 为 7 和 8的 矩 形 内, 放 置 了如 图 1   的 5个 大小 相 同 的 正 方形 , 求 正 方 形 的 边 长.  

即3 a c o s O+2 a s i n O=8 .  

(1 )  

同理 : A O=a s i n O , O D:3 a c o s O .   由A O+O D= A D, 得 
a s i n O+3 a c o s O= 7.   ( 2 )  

解( 1 ) ( 2 ) 两式 , 得 
’ 

『 c o s O=三 ,  
网  1   I 羽 2   图 3   4  


标系.  

如图 2 , 以  为 原 点 , B C、 B A为 坐 标 轴 建 立 直 角 坐 

{   ÷ a由 , s i n 2 0 + c 0 s   0 : l 可 得 n =  
. 

1  ̄P , O:( n , 一 b ) , 则P R=( b , n ) .   P  = 3   P O+ P i t = ( 3 o + b , 口 一 3 6 ) , s t )=一 2   P Q+ 3   P R  


解后反思

恰 当地设 角 , 引 进 三 角 函 数 可 以 简 化 问 题 

的解决过程. 这 正是 三 角 函数 的魅 力 所 在.  

(一2 n+3 b, 3 a+2 6 ),   得方程组
  7 3a +b,






解 出 {  . ,  

3 . 从 解 析 几 何 角 度 探 究  平 面解 析 几 何 与 平 面 向 量 都 具 有 数 与 形 结 合 的 特 征 ,   但是解析几何题 一般来 说计 算量较 大且有 一定 的技 巧性 ,   需要“ 精 打 细算 ” .   解 建 立如 图 4所 示 的 直 角 坐 标 系 , 设 小 正 方 形 边 长 
为 口( a > 0) ,贝 0   。 ) , S ( 0 , ~Ⅱ ) .   (一 口 , 2 a) , P(~口 , 0) ,Q ( 2 8 ,  

所 以, 正方形 的边长 为 I P QI _   0   + b   = √ 5 .  
以 上 内容 摘 自《日 本 奥 赛 选 拔 初 试 中 的 几 何 问 题 选 》   ( 袁桐《 数学教 学》 ) , 上 面 解 法 是 利 用 向量 知 识 来 求 解 , 此  外本 题 还 可 以 从 复 数 、 三 角 函 数 和 解 析 几 何 的 角 度 进 行  探究 .   1 . 从 复 数 的 角 度探 究  平 面 向量 与 复 数 是 高 中 数 学 的 重 要 内 容 , 联 系 紧 密. 随  着知识的发展 , 相互对应相互促进 是联系 的主要体现. 复 数  中的概念 、 运 算 等 在 向 量 中 可 以作 出 几 何 解 释 ; 向 量 的 运  算, 可 以对 应 有 关 的复 数 运 算 .   解 如 图 2, 以 B为 原 点 , B C、 B A为 坐 标 轴 建 立 直 角 坐 
标系.  

设直 线 A D 的 斜 率 为 k( k>0 ) , 可得 z   。 : Y=k x+  
+2a:  

1 s c : Y = k x — k a - a ; z A B : Y = 一 ÷   一 ÷   y = 一 ÷   +  
' 

T。  。  

由A B : 8 , 得   兰  : 8 .  
√ 1+k  

( 1 )  

设P O 对应 的复数为 z   = Ⅱ + b i ( 口 , b ∈ R ) ,  
则P 庸 对 应 的 复 数 为 , =i ( 口+ b i ) =一 b+ 口 i ,  


l   3  

l  





P 于 对 应 的复 数为  = 3  
3 0一b=7  

:( 3 Ⅱ 一6 )+( 3 b+ 0 ) i ,  
( 1 )  

. 



由 B c - 7 ' 得   ^ J   _ 7   _
靠衄r 求解()   1 、 f () 2 、 两卉 两式 百 可得{ r 徂J   一 2,   【 。 :  

( 2 )  

’ .



s   对应 的 复 数 为  : 3 z :一2   =(一 3 6— 2 口 )+( 3 口一  
3 n一2 b=8   ( 2)  

2 6) i .  
’ . .

由( 1 ) ( 2 ) 解得 0= 2 , b=一1 .  
.  .

正方形的边长为  ̄ / 。   + b   = √ 5 .  

解 后 反 思  利 用 复 数 与平 面 向 量 的 联 系 , 由 向量 向 复  数 表示 上 的 转 化 , 其特点是 : 转 化 为 复 数 问题 后 能 构 造 出 复 

解 后反 思 : 充 分 利 用 图 形 的 直 观 性 和 平 面 几 何 相 关 知  识来解答问题 , 体 现 出数 形 结 合 的 思 想 方 法 .   数 学 教 学 离 不 开 解题 , 激 发 学 生 对 解 题 的兴 趣 , 提 高 解 
题教学的效率 , 是 值 得 研 究 的一 个 重 要 课 题 . 实 践 让 我 们 深 

数的某些结论或某 些代数 公式 , 从 而 通 过 它 们 去 实 现 目标  完成. 这样 , 借复数之力去解决相关问题 , 有返璞归真之感.   2 . 从 三 角 函 数 角 度 探 究  三 角 函数 是 以角 为 自变 量 的 函 数 , 它 作 为 一 种 工 具 和  其 他 知 识 如 向量 、 几何 、 解 三角形 等知 识联 系密切. 在 以 几  何 图形 为背 景 的题 目中 , 往 往 通 过 设 角建 立 三 角 式 , 进 行 三  角 变换 转化 为 三 角 函 数 问题 来 解 决 .   解 如图 3 , 作 V M 上A B, 垂 足 为  ,   上B C , 垂 足 为 Ⅳ,  

切地体会到 : 在 课 堂 教 学 中实 施 多 角 度 的 探 究 , 根 据 内 容 选  择和运用不同的探究方法 , 有 助 于学 生 体 验 探 究 的 过 程 、 感  受成功的乐趣.  

【 参考文献】  
袁桐. 日本 奥 赛 选 拔 初 试 中 的 几 何 问 题 选 [ J ] . 数 学 教 
学, 2 0 0 8 ( 2 ) .  
数 学 学 习与 研 究 2 0 1 1 . 2 1  


相关文章:
对一道高考题的多角度探究 (2)
一道高考题的多角度探究卢玉才 江苏省太仓高级中学 18915775582 luyucai4@...的改编于初高中的一些习题或竞赛题. 分析 2010 年江苏高考 或平常的习题,通过...
一道竞赛题的探究创新与思维拓展
一道竞赛题的探究创新与思维拓展湖北省武汉市青山区武钢实验学校范有根 问题Ⅰ:如图 1,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=96°, P 为△ABC 内一点,且 AB=PB, ∠...
一道平面几何题的深入探究
一道平面几何题的深入探究_学科竞赛_初中教育_教育专区。从一道平面集合题,笔者给出了多种不同角度不同的解法,进而得出了一系列启发 ...
一道2014年浙江高中数学竞赛附加题的探源与解答
竞赛数学有 一定经验的研究者都知道这道题目是所谓的“陈题” ,主要考查了...上述赛题的求解不仅能从几何构造的角度求解,也可从代数构造求 解.多角度,多...
一道利用导数证明不等式问题的多角度尝试与探究
一道利用导数证明不等式问题的多角度尝试与探究_高三数学_数学_高中教育_教育...下面是笔者在高 三复习教学中遇到的一道题目: 已知函数 f ( x) ? ln( x...
一道不等式恒成立问题的多角度尝试与探究(东莞高级中学...
一道不等式恒成立问题的多角度尝试与探究(东莞高级中学罗凯旋)_数学_高中教育_...下面是广东省东莞市 2014 年元月高三调研测试的一道题目: 已知 f ( x) ? ...
一道解几题的多种解法
一道解几题的多种解法_学科竞赛_小学教育_教育专区。一道解几题的多种解法彭春莲...另外,题 目从代数和几何的方法多角度探究本题, 不同的方法有不同的优势...
竞赛题
一道竞赛题的探究 暂无评价 2页 免费 喜欢此文档的...竞赛题一、医疗机构自律公约: (必答题) 1.在诚信...橱柜行业多“猫腻” 选品牌重沟通 儿童房卧室门窗选择...
从一道数学竞赛题所想到的
一道数学竞赛题所想到的北京市 2009 年数学能力展示初一复赛的最后一道题是这样的:小明在黑板上先写了 一个正整数 n, 规定以下操作, 如果 m 已写在黑板上...
竞赛题
一道竞赛题的探究 暂无评价 2页 免费 节选竞赛题 暂无评价 3页 免费 二上竞赛...已知工程车 每次至多只能运送电线杆 4 根,要求完成运送 18 根的任务,并返回...
更多相关标签:
国外居住区规划竞赛 | 国外 知识 竞赛 节目 | 国外 竞赛平台 | 国外中小学竞赛有哪些 | 国外建筑竞赛排版 | 国外建筑设计竞赛网站 | 多角度看问题 | 手持式多角度凿毛机 |