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四川省成都市外国语学校2014-2015学年高一上学期期中数学试卷


四川省成都市外国语学校 2014-2015 学年高一上学期期中数学试 卷
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)设集合 A={0,1,2,3},集合 B={2,3,4},则 A∩B=() A.{2,3} B.{0,1} C.{0,1,4} D.{0,1,2,3,4} 2. (

5 分)设全集为实数集 R,集合 A={x|x<2},B={x|x≥3},则() A.A∪(?RB)=R (A∪B)=? B.(?RA)∪(?RB)=R C. A∩(?RB)=?D. ?R

3. (5 分)若函数

的定义域为 R,则实数 m 的取值范围是()

A.(﹣∞,+∞)

B.

C.

D.

4. (5 分)若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 y=f(2x﹣1)的定义域是() A.[0,1] B.[0,2] C.
x

D.[﹣1,3]

5. (5 分)已知 a>0 且 a≠1,函数 y=logax,y=a ,y=x+a 在同一坐标系中的图象可能是()

A.

B.

C.

D.

6. (5 分)已知幂函数 y=f(x)的图象过点 A. B. ﹣ C. 2

,则 log2f(2)的值为() D.﹣2

7. (5 分)已知映射 f:A→B,其中 A=B=R,对应法则:f:x→y=x ﹣2x+2 若对实数 k∈B, 在集合 A 中不存在原象,则 k 的取值范围是() A.k≤1 B.k<1 C.k≥1 D.k>1 8. (5 分)定义两种运算:a⊕b= 函数. A.奇函数
a b

2

,a?b=

,则 f(x)=

是()

B.偶函数

C.既奇又偶函数

D.非奇非偶函数

9. (5 分)已知 2 =3 =k(k≠1) ,且 2a+b=ab,则实数 k 的值为() A.6 B. 9 C.12 D.18 10. (5 分)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生 2 函数”,那么函数解析式为 y=2x ﹣1,值域为{1,7}的“孪生函数”共有() A.10 个 B. 9 个 C. 8 个 D.4 个

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (5 分)若 A={x|x>12,x∈N},B={x|x<6,x∈N},全集 I=N,则?I(A∪B)=. 12. (5 分)已知函数 f(x)=3x +ax +bx+8,且 f(﹣2)=15,那么 f(2)等于. 13. (5 分)已知函数 f(x+1)是偶函数,当 x∈(﹣∞,1)时,函数 f(x)单调递减,设 a=f(﹣ ) ,b=f(﹣1) ,c=f(2) ,a=f(﹣ ) ,b=f(﹣1) ,c=f(2) ,则 a,b,c 的大小关 系为.
5 3

14. (5 分)已知函数 f(x)=

,若存在 x1<x2,使得 f(x1)=f(x2) ,

则 x1?f(x2)的取值范围为. 15. (5 分)符号[x]表示不超过 x 的最大整数,如[π]=3,[﹣1.8]=﹣2,定义函数:f(x)=x ﹣[x],则下列命题正确的序号是. ①f(﹣0.2)=0.8; ②方程 f(x)= 有无数个解; ③函数 f(x)是增函数; ④函数 f(x)是奇函数; ⑤函数 f(x)的定义域为 R,值域为[0,1].

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,本大题共 6 小题,共 75 分.

16. (12 分)计算: (1) (
2





×e

+ ﹣log29×log32.
2

+10

lg2

(2)lg 5+lg2×lg500﹣ lg

17. (12 分)已知集合 A={x|x ﹣3x﹣10≤0} (1)若 B?A,B={x|m+1≤x≤2m﹣1},求实数 m 的取值范围; (2)若 A?B,B={x|m﹣6≤x≤2m﹣1},求实数 m 的取值范围.

18. (12 分)已知函数 f(x)=

是奇函数,且 f(2)= .

(1)求实数 a,b 的值; (2)判断函数 f(x)在(﹣∞,﹣1]上的单调性,并用定义加以证明. 19. (12 分)设 f(x)的定义域为(0,+∞) ,对于任意正实数 m,n 恒有 f(m?n)=f(m) +f(n) ,且当 x>1 时, (1)求 f(2)的值; (2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数; (3)解关于 x 的不等式 . .

20. (13 分)已知函数 f(x)=log4(4 +1)+kx(k∈R)是偶函数. (1)求实数 k 的值; x (2)设 g(x)=log4(a?2 +a) ,若 f(x)=g(x)有且只有一个实数解,求实数 a 的取值范 围. 21. (14 分)设函数 fk(x)=x +bx+c(k∈N ,b,c∈R) ,g(x)=logax(a>0,a≠1) . (1)若 b+c=1,且 fk(1)=g( ) ,求 a 的值; (2)若 k=2,记函数 fk(x)在[﹣1,1]上的最大值为 M,最小值为 m,求 M﹣m≤4 时的 b 的取值范围; 2 (3)判断是否存在大于 1 的实数 a,使得对任意 x1∈[a,2a],都有 x2∈[a,a ]满足等式:g (x1)+g(x2)=p,且满足该等式的常数 p 的取值唯一?若存在,求出所有符合条件的 a 的 值;若不存在,请说明理由.
k *

x

四川省成都市外国语学校 2014-2015 学年高一上学期期 中数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)设集合 A={0,1,2,3},集合 B={2,3,4},则 A∩B=() A.{2,3} B.{0,1} C.{0,1,4} D.{0,1,2,3,4} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据题意和交集的运算直接求出 A∩B. 解答: 解:因为集合 A={0,1,2,3},集合 B={2,3,4}, 所以 A∩B={2,3}, 故选:A. 点评: 本题考查交集及其运算,属于基础题. 2. (5 分)设全集为实数集 R,集合 A={x|x<2},B={x|x≥3},则() A.A∪(?RB)=R (A∪B)=? B.(?RA)∪(?RB)=R C. A∩(?RB)=?D. ?R

考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题;集合. 分析: 由题意,通过集合的运算依次计算. 解答: 解:?RA={x|x≥2},?RB={x|x<3}, 则 A∪(?RB)={x|x<3}, A∩(?RB)={x|x<2}, (?RA)∪(?RB)=R, ?R(A∪B)={x|2≤x<3}. 故选 B. 点评: 本题考查了集合的运算,属于基础题.

3. (5 分)若函数

的定义域为 R,则实数 m 的取值范围是()

A.(﹣∞,+∞)

B.

C.

D.

考点: 函数的定义域及其求法;二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 函数的定义域为 R,则等价为分母不等于 0 恒成立,然后解不等式即可. 解答: 解:∵函数
2

的定义域为 R,

∴mx ﹣4mx+3≠0 恒成立. ①若 m=0,则不等式等价为 3≠0 恒成立,满足条件.

②若 m≠0,要使不等式恒成立,则△ <0, 即△ =16m ﹣4×3m=16m ﹣12m<0, 解得 0 综上 0≤m 故选:D. 点评: 本题主要考查函数定义域的应用,利用函数定义域为 R,得到 mx ﹣4mx+3≠0 恒成 立.是解决本题 的关键,利用二次函数和二次不等式之间的关系进行求解是突破点. 4. (5 分)若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 y=f(2x﹣1)的定义域是() A.[0,1] B.[0,2] C. D.[﹣1,3]
2 2 2

, .即[0, ) ,

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 y=f(x)的定义域,得 y=f(2x﹣1)中 2x﹣1 的取值范围,从而求出 x 的取值 范围,即所求的定义域. 解答: 解:∵函数 y=f(x)的定义域是[0,2], ∴在函数 y=f(2x﹣1)中, 有 0≤2x﹣1≤2, ∴ ≤x≤ , ∴y=f(2x﹣1)的定义域是[ , ]; 故选:C. 点评: 本题考查了复合函数的定义域问题,是基础题. 5. (5 分)已知 a>0 且 a≠1,函数 y=logax,y=a ,y=x+a 在同一坐标系中的图象可能是()
x

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象与图象变化;函数图象的作法. 专题: 计算题.

分析: 根据函数 y=a 与 y=logax 互为反函数,得到它们的图象关于直线直线 y=x 对称, 从而对选项进行判断即得. 解答: 解:∵函数 y=a 与 y=logax 互为反函数,∴它们的图象关于直线 y=x 对称. x x 再由函数 y=a 的图象过(0,1) ,y=a ,的图象过(1,0) , 观察图象知,只有 C 正确. 故选 C. 点评: 本小题主要考查反函数、反函数的应用、对数函数、指数函数的图象等基础知识, 考查数形结合思想.属于基础题.
x

x

6. (5 分)已知幂函数 y=f(x)的图象过点 A. B. ﹣ C. 2

,则 log2f(2)的值为() D.﹣2

考点: 对数的运算性质;幂函数的性质. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 先设 log2f(2)=n,求出函数 f(x)的解析式,然后将点 即可求出结果. n 解答: 解:设 log2f(2)=n,则 f(2)=2 n ∴f(x)=x 又∵由幂函数 y=f(x)的图象过点 代入解析式,





故选 A. 点评: 本题主要考查了对数函数和幂函数的关系, 关键是将所求转化成幂函数, 此题比较 容易是基础题. 7. (5 分)已知映射 f:A→B,其中 A=B=R,对应法则:f:x→y=x ﹣2x+2 若对实数 k∈B, 在集合 A 中不存在原象,则 k 的取值范围是() A.k≤1 B.k<1 C.k≥1 D.k>1 考点: 映射. 专题: 计算题. 2 分析: 设 x ﹣2x+2=k,据题意知此方程应无实根,用判别式表示方程无实根,即判别式 小于 0,解出 k 的值. 2 解答: 解:设 x ﹣2x+2=k,据题意知此方程应无实根 2 ∴△=(﹣2) ﹣4?(2﹣k)<0, 1﹣2+k<0 ∴k<1, 故选 B
2

点评: 本题考查映射的意义, 本题解题的关键是利用一元二次方程的解的判别式表示出符 合题意的不等式. 8. (5 分)定义两种运算:a⊕b= 函数. A.奇函数 ,a?b= ,则 f(x)= 是()

B.偶函数

C.既奇又偶函数

D.非奇非偶函数

考点: 函数奇偶性的判断;进行简单的合情推理. 专题: 新定义;函数的性质及应用. 分析: 先利用新定义把 f(x)的表达式找出来,在利用函数的定义域把函数化简,最后 看 f(x)与 f(﹣x)的关系得结论. 解答: 解:有定义知 f(x)=﹣ 由 4﹣x ≥0 且|x﹣2|﹣2≠0,得﹣2≤x<0 或 0<x≤2, 所以 f(x)= ,
2

=﹣



故 f(﹣x)=﹣f(x) ,即 f(x)是奇函数. 故选 A. 点评: 本题是对函数新定义与奇偶性的综合考查, 关于新定义的题, 关键在于理解新定义, 并会用新定义解题,属于易错题题. 9. (5 分)已知 2 =3 =k(k≠1) ,且 2a+b=ab,则实数 k 的值为() A.6 B. 9 C.12 D.18 考点: 对数的运算性质;指数式与对数式的互化. 专题: 计算题. 分析: 由 2 =3 =k(k≠1) ,知 a=log2k,b=log3k,故 知
a b a b a b



,由 2a+b=ab,

=logk18=1,由此能求出 k.

解答: 解:∵2 =3 =k(k≠1) , ∴a=log2k,b=log3k, ∴ ∵2a+b=ab, ∴ =logk9+logk2 =logk18=1, ∴k=18. 故选 D. , ,

点评: 本题考查指数式和对数式的相互转化,是基础题,解题时要认真审题,仔细解答, 注意对数性质的灵活运用. 10. (5 分)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生 2 函数”,那么函数解析式为 y=2x ﹣1,值域为{1,7}的“孪生函数”共有() A.10 个 B. 9 个 C. 8 个 D.4 个 考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 新定义. 分析: 根据已知中若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数 2 为“孪生函数”, 再由函数解析式为 y=2x ﹣1, 值域为{1, 7}, 由 y=1 时, x=±1, y=7 时, x=±2, 2 我们用列举法,可以得到函数解析式为 y=2x ﹣1,值域为{1,7}的所有“孪生函数”,进而得 到答案. 解答: 解:由已知中“孪生函数”的定义: 一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同, 2 当函数解析式为 y=2x ﹣1,值域为{1,7}时, 函数的定义域可能为:{﹣2,﹣1},{﹣2,1},{2,﹣1},{2,1},{﹣2,﹣1,1},{﹣2, ﹣1,2},{﹣1,1,2},{﹣2,1,2},{﹣2,﹣1,1,2},共 9 个 故选 B 点评: 本题考查的知识点是新定义,函数的三要素,基本用列举法,是解答此类问题的常 用方法,但列举时,要注意一定的规则,以免重复和遗漏. 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (5 分)若 A={x|x>12,x∈N},B={x|x<6,x∈N},全集 I=N,则?I(A∪B)={6,7, 8,9,10,11,12}. 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 由已知中 A={x|x>12,x∈N},B={x|x<6,x∈N},全集 I=N,进而结合集合交集, 并集,补集的定义,代入运算后,可得答案. 解答: 解:∵A={x|x>12,x∈N},B={x|x<6,x∈N}, ∴A∪B={x|x<6,或 x>12,x∈N}, ∴?I(A∪B)={x|6≤x≤12,x∈N}={6,7,8,9,10,11,12}, 故答案为:{6,7,8,9,10,11,12} 点评: 本题考查的知识点是集合的交集,并集,补集及其运算,难度不大,属于基础题. 12. (5 分)已知函数 f(x)=3x +ax +bx+8,且 f(﹣2)=15,那么 f(2)等于 1. 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 5 3 分析: 先由 f(﹣2)=15,得到 3?2 +a?2 +2b=﹣7,代入 f(2) ,从而得到答案. 5 3 解答: 解:∵f(﹣2)=3(﹣2) +a(﹣2) +b?(﹣2)+8=15, 5 3 ∴3?2 +a?2 +2b=﹣7, ∴f(2)=﹣7+8=1,
5 3

故答案为:1. 点评: 本题考查了函数的奇偶性问题,考查了求函数值问题,是一道基础题. 13. (5 分)已知函数 f(x+1)是偶函数,当 x∈(﹣∞,1)时,函数 f(x)单调递减,设 a=f(﹣ ) ,b=f(﹣1) ,c=f(2) ,a=f(﹣ ) ,b=f(﹣1) ,c=f(2) ,则 a,b,c 的大小关 系为 c<a<b. 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数 f(x+1)是偶函数,且当 x∈(﹣∞,1)时,函数 f(x)单调递减作出函数 f(x)的图象的大致形状,结合图象可以得到 a,b,c 的大小关系. 解答: 解:因为函数 f(x+1)是偶函数,所以其图象关于直线 x=0 对称, 所以函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称. 又当 x∈(﹣∞,1)时,函数 f(x)单调递减,其图象大致形状如图, 由图象可知,f(2)<f( 即 c<a<b. 故答案为:c<a<b. )<f(1) .

点评: 本题考查了函数的性质, 解题关键是对函数的对称性的理解, 可以利用数形结合的 解题思想方法解题,属于基础题.

14. (5 分)已知函数 f(x)=

,若存在 x1<x2,使得 f(x1)=f(x2) ,

则 x1?f(x2)的取值范围为[

, ) .

考点: 分段函数的应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意易知 f(x)在[0, ) ,[ ,1]上单调递增,从而可得 x1∈[0, ) ,x2∈[ , 1];从而求出 x1 的取值范围并化简 x1?f(x2)=x1?(x1+ ) ,从而求其取值范围.

解答: 解:∵f(x)=x+ ,x∈[0, )为单调递增, f(x)=3x 在[ ,1]上单调递增, 则由存在 x1<x2,使得 f(x1)=f(x2)得, x1∈[0, ) ,x2∈[ ,1], 即 x1+ =3 ,则 ≤x1< ,
2

则 x1?f(x2)=x1?(x1+ ) , 则 ?( + )≤x1?(x1+ )< ?1, 即 ≤x1?(x1+ )< , , ) .

故答案为:[

点评: 本题考查了分段函数的应用,同时考查了单调函数的应用,属于中档题. 15. (5 分)符号[x]表示不超过 x 的最大整数,如[π]=3,[﹣1.8]=﹣2,定义函数:f(x)=x ﹣[x],则下列命题正确的序号是①②. ①f(﹣0.2)=0.8; ②方程 f(x)= 有无数个解; ③函数 f(x)是增函数; ④函数 f(x)是奇函数; ⑤函数 f(x)的定义域为 R,值域为[0,1]. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用;推理和证明. 分析: 由符号[x]表示不超过 x 的最大整数,f(x)=x﹣[x],可以画出其图象根据图象就 比较容易判断了. 解答: 解:作出函数 f(x)=x﹣[x]的图象,如同所示 对于①结论三正确的,∵[x]表示不超过 x 的最大整数,∴[﹣0.2]=﹣1,∴f(﹣0.2)=﹣0.2 ﹣(﹣1)=0.8. 对于②结论是正确的,可以看出函数是周期函数,故方程有无数解是正确的. ③是不正确的,因为函数是周期函数,所以不是递增函数. ④是不正确的,取特殊值,∵f(﹣0.5)=f(0.5)=0.5,∴④是不正确的. ⑤由图象可知,结论三不正确的,值域是[0,1) ,∴⑤是不正确的. 故答案为:①②

点评: 本题考查新函数的定义,函数性质的判断,所以基础题. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,本大题共 6 小题,共 75 分. 16. (12 分)计算: (1) (
2





×e

+ ﹣log29×log32.

+10

lg2

(2)lg 5+lg2×lg500﹣ lg

考点: 对数的运算性质; 根式与分数指数幂的互化及其化简运算; 有理数指数幂的化简求 值. 专题: 计算题. 分析: (1)利用指数幂的运算法则即可得出; (2)利用对数的运算法则和 lg2+lg5=1. 解答: 解: (1)原式= (2)原式=lg 5+lg2(lg5+2)﹣
2

﹣ ﹣

×

+(e﹣2)+2= ﹣e+e= .

=lg5(lg5+lg2)+2lg2+lg5﹣2 =2(lg2+lg5)﹣2 =2﹣2=0. 点评: 本题考查了指数幂的运算法则、对数的运算法则和 lg2+lg5=1,属于基础题. 17. (12 分)已知集合 A={x|x ﹣3x﹣10≤0} (1)若 B?A,B={x|m+1≤x≤2m﹣1},求实数 m 的取值范围; (2)若 A?B,B={x|m﹣6≤x≤2m﹣1},求实数 m 的取值范围. 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 集合.
2

分析: (1)先求出 A={x|﹣2≤x≤5},若 B?A,则:B=?时,m+1>2m﹣1,m<2;B≠?

时,则 m 应满足

,所以解该不等式组,并合并 m<2 即得 m 的取值范围;

(2)若 A?B,则 m 应满足

,解该不等式组即得 m 的取值范围.

解答: 解:A={x|﹣2≤x≤5}; (1)∵B?A; ∴①若 B=?,则 m+1>2m﹣1,即 m<2,此时满足 B?A;

②若 B≠?,则



解得 2≤m≤3; 由①②得,m 的取值范围是(﹣∞,3]; (2)若 A?B,则 ;

解得 3≤m≤4; ∴m 的取值范围是[3,4]. 点评: 考查解一元二次不等式,子集、空集的概念,以及描述法表示集合.

18. (12 分)已知函数 f(x)=

是奇函数,且 f(2)= .

(1)求实数 a,b 的值; (2)判断函数 f(x)在(﹣∞,﹣1]上的单调性,并用定义加以证明. 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据函数奇偶性的性质和条件建立方程关系即可求实数 a,b 的值; (2)根据函数单调性的定义即可证明函数 f(x)在(﹣∞,﹣1]上的单调性. 解答: 解: (1)∵f(x)是奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x) . ∴ =﹣ ,

因此 b=﹣b, 即 b=0. 又 f(2)= , ∴ = ,∴a=2;

(2)由(1)知 f(x)=

=

+

,f(x)在(﹣∞,﹣1]上为增函数, ) = (x1﹣x2) ? .

证明: 设 x1<x2≤﹣1, 则f (x1) ﹣f (x2) = (x1﹣x2) (1﹣

∵x1<x2≤﹣1, ∴x1﹣x2<0,x1x2>1. ∴f(x1)﹣f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2) . ∴f(x)在(﹣∞,﹣1]上为增函数. 点评: 本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的证明, 根据相应的定义是解决本 题的关键. 19. (12 分)设 f(x)的定义域为(0,+∞) ,对于任意正实数 m,n 恒有 f(m?n)=f(m) +f(n) ,且当 x>1 时, (1)求 f(2)的值; (2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数; (3)解关于 x 的不等式 . .

考点: 函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用赋值法,可令 m=n=1 可求得 f(1)=0,再令 ,可求 f(2)的

值; (2)为定义法证明函数的单调性,注意步骤; (3)利用已证的单调性把不等式转化为不等

式组

求解.

解答: 解: (1)对于任意正实数 m,n;恒有 f(mn)=f(m)+f(n) 令 m=n=1,f(1)=2f(1)∴f(1)=0, 又∵ 再令 ∵ ,得

(2)令 0<x1<x2,则

∵当 x>0 时,

= ∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在区间(0,+∞)上是增函数. (3)∵f(mn)=f(m)+f(n)f(2)=1 ∴f(4)=2f(2)=2 = ∴原不等式可化为 ,又∵f(x)在区间(0,+∞)上是增函数





∴x≥6 点评: 本题为函数的性质及应用,涉及不等式的解法即转化的思想,属基础题. 20. (13 分)已知函数 f(x)=log4(4 +1)+kx(k∈R)是偶函数. (1)求实数 k 的值; x (2)设 g(x)=log4(a?2 +a) ,若 f(x)=g(x)有且只有一个实数解,求实数 a 的取值范 围. 考点: 根的存在性及根的个数判断;函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由 f(x)=f(﹣x) ,化简可得 x=﹣2kx 对一切 x∈R 恒成立,从而求得 k 的值. (2)由题意可得,函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点,方程 有且只有一个实根,且 a?2 +a>0 成立,则 a>0.令 t=2 >0,则(a﹣1)t +at﹣1=0 有且 只有一个正根,分类讨论求得 a 的范围,综合可得结论. 解答: 解: (1)由函数 f(x)是偶函数可知:f(x)=f(﹣x) , ∴ ,化简得 ,
x x 2 x

即 x=﹣2kx 对一切 x∈R 恒成立,∴



(2)由题意可得,函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有一个公共点, 即方程 化简得:方程
x 2

有且只有一个实根, 有且只有一个实根,且 a?2 +a>0 成立,则 a>0.
x

令 t=2 >0,则(a﹣1)t +at﹣1=0 有且只有一个正根, 2 设 g(t)=(a﹣1)t +at﹣1,注意到 g(0)=﹣1<0, 所以①当 a=1 时,有 t=1,合题意; ②当 0<a<1 时,g(t)图象开口向下,且 g(0)=﹣1<0,则需满足 此时有 ; (舍去) . ③当 a>1 时,又 g(0)=﹣1,方程恒有一个正根与一个负根. 综上可知,a 的取值范围是{ }∪[1,+∞) . 点评: 本题主要考查方程的根的存在性及个数判断, 二次函数的性质的应用, 体现了化归 与转化的数学思想,属于基础. 21. (14 分)设函数 fk(x)=x +bx+c(k∈N ,b,c∈R) ,g(x)=logax(a>0,a≠1) . (1)若 b+c=1,且 fk(1)=g( ) ,求 a 的值; (2)若 k=2,记函数 fk(x)在[﹣1,1]上的最大值为 M,最小值为 m,求 M﹣m≤4 时的 b 的取值范围; (3)判断是否存在大于 1 的实数 a,使得对任意 x1∈[a,2a],都有 x2∈[a,a ]满足等式:g (x1)+g(x2)=p,且满足该等式的常数 p 的取值唯一?若存在,求出所有符合条件的 a 的 值;若不存在,请说明理由. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)代入得到关于 a 的方程解之; (2)k=2,说明函数是二次函数,讨论对称轴 x=﹣ 与区间的位置关系,确定最值,得到 关于 b 的方程,解之; (3)将等式 g(x1)?g(x2)=p 变形得 g(x1)=p﹣g(x2) ,由 x1,x2 的范围,得到 g(x1) 、 g(x2)的范围,利用对任意实数 x1∈[a,2a], 都有 x2∈[a,a ]得到[logaa,loga(2a)]?[p﹣
2 2 k *



,p﹣logaa]解得即可. ,∴a= ;

解答: 解: (1)∵b+c=1,且 f(1)=g( ) ,∴1+b+c= (2)k=2 时,f(x)=x +bx+c,所以
2

当对称轴 x=﹣ ≤﹣1,即 b≥2 时,M=f(1)=1+b+c,m=f(﹣1)=1﹣b+c,M﹣m=2b≤4, 解得 b≤2,∴b=2.

当对称轴﹣1<﹣ ≤0, 即 0≤b<2 时, M=f (1) =1+b+c, m=f (﹣ ) =c﹣ 解得﹣6≤b≤2,∴0≤b<2.

, M﹣m=b+1+

≤4,

当对称轴 0<﹣ <1,即﹣2≤b<0 时,M=f(﹣1)=1﹣b+c,m=f(﹣ )=c﹣ ﹣b+ ≤4,解得﹣2≤b≤6,∴﹣2<b<0.

,M﹣m=1

当对称轴﹣ ≥1,即 b≤﹣2 时,M=f(﹣1)=1﹣b+c,m=f(1)=1+b+c,M﹣m=﹣2b≤4, 解得 b≥﹣2,∴b=﹣2. 综上所述:b 的取值范围是﹣2≤b≤2. (3)将等式 g(x1)+g(x2)=p 变形得 g(x1)=p﹣g(x2) ,由任意实数 x1∈[a,2a],都有 x2∈[a,a ]得到[logaa,loga(2a)]?[p﹣ 即[1,1+loga2]?[p﹣2,p﹣1], ∴ ,解得 2+loga2=3,∴a=2.
2

,p﹣logaa],

点评: 本题考查了二次函数闭区间的最值的求法问题以及存在性问题的处理方法.


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