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排列组合中的基本解题方法之间接法


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排列组合中的基本解题方法之间接法
一、基础理论 间接法的解题技巧或逻辑性要求比较高, 是最近几年来考试中经常涉及的方法。 具体而 言,在解决排列组合问题时,往往遇到直接进行解题步骤多,不易计算。那么此时可以考虑 先计算出总的情况数, 然后计算出不满足要求的情况数, 最后用总的情况数减去不满足的情 况数即得最后答案。此方法就是间接法。 间接法是解决排列组合的简单技巧, 一般间接法的题目都可以用例举法来解决, 但是比 较繁琐,所以选择间接法。 二、真题精析 例 1、某单位今年新进 3 个工作人员,可以分配到 3 个部门,但是每个部门至多只能接 收 2 个人,问共有几种不同的分配方案?( ) A.12 B.16 C.24 D.以上都不对 【分析】至多只能接收 2 人,暗含的逻辑是 0 人可以、1 人可以、2 人也可以,但是不 能是 3 人。发现不满足条件的很好求,而满足条件的分类较多,不易计算。所以用间接法计 算相对来说比较简单。 【解析】3 个人进 3 个部门,无条件要求的话,共有方案 3× 3× 3=27 种。其中三个人都 在某一个部门的情况(共 3 种)是不满足条件的,那么满足条件的就应该是 27-3=24 种。 例 2、用数字 0~5 可以组成多少个大于 5 且小于 1000 的不同的自然数(数字可以重复使 用)? A.186 B.204 C.210 D.228 【分析】如果是列举法,需要计算十位数有多少个,百位数有多少个?计算起来较复杂, 如果用间接法直接计算出小于 1000 的所有数,然后减去 0—5 这 6 个数即可。 【解析】此题可以先考虑用数字 0~5 组成的 0~999 内的自然数情况,显然一位数和二 位数均可表示为用数字“0”补充的三位数,即表示为 000~999,一共有 6× 6× 6=216 个数。而

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满足题意的要求是在 6~999 之间的数,即要排除掉 0~5 这 6 个数,那么符合题意的自然数 有 216-6=210 个。因此,选 C。 例 3、某市至旱季水源不足,自来水公司计划在下周七天内选择两天停止供水,若要自 来水停水的两天不相连,则自来水公司共有 A.21 B.19 C.15 D.6 【答案】C 【解析一】插空法。根据题意可知,有 5 天不停水,这 5 天共形成 6 个空(包括两端), 从这 6 个空中任意选 2 个空作为停止供水的两天, 即可满足“停水的两天不相连”, 共有 =15 种停水方案。故选 C。 【解析二】间接法。7 天内选择两天停止供水有 =21 种方案,两天相邻的停水方案 种停水方案。

有 6 种,故满足题意的停水方案有 21-6=15 种。故选 C。 例 4、由 1~9 组成一个三位数,三位数肯定有数字重复的组合有多少种? A.220 B.255 C.280 D.225 【答案】D 【解析】三位数共有 93 个,数字无重复的有 三、间接法解概率问题 例 5、 小王开车上班需经过 4 个交通路口, 假设经过每个路口遇到红灯的概率分别为 0.1, 0.2,0.25,0.4,他上班经过 4 个路口至少有一处遇到绿灯的概率是( ) A.0.988 B.0.899 C.0.989 D.0.998 【答案】D 【解析】采用逆向考虑,也就是小王经过路口时遇到的全是红灯,其概率为 0.1× 0.2× 0.25× 0.4=0.002,那么至少有一处为红灯的概率为 1-0.002=0.998。 个,故有重复的有 种。

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