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奥林匹克数学的技巧(中篇) 2-7-8 配对 配对的形式是多样的,有数字的凑整配对或共轭配对,有解析式的对称配对对或整体配对,有 子集与其补集的配对,也有集合间象与原象的配对。凡此种种,都体现了数学和谐美的追求与力量, 小高斯求和(1+2+?+99+100)首创了配对, IMO16 ?3 也用到了配对。 例 2-143 求 ?[ 503 ] 之值。 n ?0 502 305

n 解 作配对处理 ?[ n ?0 502 251 305 n 3 0n5 305(5n 3 ? 0 ) 251? 304 503 ]? ? ( [ ?] [ ?] ? ) ? ? 0 4 ?2 5 1 3 503 503 503 503 n ?1 n ?1 76304 例 2-144 求和 解一 由 Cn ? Cn k 1 2 k n an ? Cn ? 2Cn ? … ? kCn ? … ? nCn n?k 把 an 倒排,有 an ? 0Cn ? 1Cn ? 2Cn ? … ? kCn ? … ? nCn 0 1 2 k n n n n n an ? nCn ? (n ? 1)Cn ?1 ? … ? (n ? k )Cn ?k ? … ? 0Cn 0 1 n 2an ? n(Cn ? Cn ? … ? Cn )n ? 2n 相加 得 an ? n ? 2n ?1 解二 设集合 S ? ?1, 2, …, n? ,注意到 有 an ? k Ck ? n A? S , ? A k 1 , 2 , ,n , ? … A ? k A? S ?A A? S 为了求得 于是 an ? ? A 把每一 A ? S ,让它与补集 A 配对,共有 2 A? S n?1 对,且每对中均有 A ? A ? n ? A ? n ? n ? …n ? n ? 2 n ?1 这两种解法形式上虽有不同,但本质上是完全一样的,还有一个解法见例 2-149。 例 2-145 设 x1 , x2 , …, xn 是给定的实数,证明存在实数 x 使得 ? x ? x1? ? ? x ? x2 ? ? … ? ? x ? xn ? ? 这里的 ? y? 表示 y 的小数部分。 证明 有 n ?1 2 ? y? ? ?? y? ? ? ?1,   y?Z ? ?0,   y ? Z ? 知 ? y? ? ?? y? ? 1 下面利用这一配对式的结论。设 fi ? ? xi ? x1? ? ? x1 ? x2 ? ? ? ? xi ? xn ? 1 ?f i ?1 n i ? 1?i ? j ? n ? (?x ? x ? ? ?x i j j ? xi ?) ? 1?i ? j ? n ? 2 1 ? Cn ? n(n ? 1) 2 据抽屉原理①知,必存在 k (1 ? k ? n) ,使 f k ? 取 x ? xk ,由上式得 1 2 n ?1 Cn ? n 2 ? x ? x1? ? ? x ? x2 ? ? … ? ? x ? xn ? ? n ?1 2 2-7-9 特殊化 特殊化体现了以退求进的思想:从一般退到特殊,从复杂退到简单,从抽象退到具体,从整体 退到部分,从较强的结论退到较弱的结论,从高维退到低维,退到保持特征的最简单情况、退到最 小独立完全系的情况,先解决特殊性,再归纳、联想、发现一般性。华罗庚先生说,解题时先足够 地退到我们最易看清楚问题的地方,认透了、钻深了,然后再上去。 特殊化

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