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龙泉中学2013届高三周练理科数学试题(23)


龙泉中学 2013 届高三周练理科数学试卷(23)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1. 已知 i 是虚数单位,若复数 (1 ? ai)(2 ? i) 是纯虚数,则实数 a 等于 A. 2 B.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.如右图程序框图,输出 s= .

/>1 2

C. ?

1 2

D. ?2

? y ? x, ? 12.已知不等式组 ? y ? ? x, 表示的平面区域 S 的 ? x?a ?
面积为 4 ,则 a ? ; 若点 P( x, y) ? S ,则 z ? 2 x ? y 的最大值 为 .

π 2.已知命题 p:?x∈(-∞,0),2x<3x;命题 q:?x∈(0, ),tanx>sinx,则下列命题为真命题的是 2 A.p∧q B.p∨( ? q) C.( ? p)∧q D.p∧( ? q) 3.设 A ? ? x |

1 ? ? x ? 5, x ? Z ? , B ? ?x | x ? a? ,若 A ? B ,则实数 a 的取值范围是( 2 ? 1 1 A. a ? B. a ? C. a ? 1 D. a ? 1 2 2

? ?

13.设二次函数 f ( x ) ? ax 2 ? 4 x ? c( x ? R) 的值



4. 在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标轴的距离都是 2,那么该定点到原点的距离是( ) A.

6

B. 2 3

C.

3

D.

5. 在直线 x ? ? A.

?
6

2 6 3


,曲线 y ? cos x 及 x 轴 y 轴所围成的封闭图形的面积是( B.

1 9 ? 的最大值为 c ?1 a ? 9 ? 14.在 Rt?ABC 中, ?C ? 90 , AC ? 4, BC ? 2 , uur uuu uuu u r r D 是 BC 的中点,那么 ( AB ? AC) ? AD ? ____________;若 E 是 AB 的中点, P 是 ?ABC uuu uur r (包括边界)内任一点.则 AD ? EP 的取值范围是________. 15. 已知等差数列 {an } 的首项 a1 及公差 d 都是整数,前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 1, a4 ? 3, S3 ? 9 ,设
域为 [0, ??) ,则

bn ? 2n an , 则b1 ? b2 ? ? ? bn 的结果为



1 3 2 C. D. 2 2 2 6.已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形,其正视图与俯视图如图所
示,则其侧视图的面积为 A.

? 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
3

3 4

B.

3 2 ? ?

C.

3 4

16.函数 f ( x) ? lg( x 2 ? 2 x ? 3) 的定义域为集合 A,函数 g ( x) ? 2x ? a( x ? 2) 的值域为集合 B. (Ⅰ)求集合 A,B; (Ⅱ)若集合 A,B 满足 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围. 1
正视图

D. 1

7.设? ? 0 ,函数 y ? sin??x ?

??

后与原图像重合,则 ? 的最小值是(

4? 个单位 ? ? 2 的图像向右平移 3 3?


2 4 3 A . B. C. D.3 3 3 2 8.数列 ?an ? 的首项为 3 , ?bn ? 为等差数列且 bn ? an?1 ? an ,若 b3 ? ?2 ,

正 视 图
俯视图

b2 ? 12 ,则 a8 ? ( ) A. 0 B. ?109 C. ?78 D. 11 2 2 x y 2 2 9.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线均与 C : x ? y ? 6x ? 5 ? 0 相切,则该双曲 a b
线离心率等于 A.

17. 在 △ ABC 中,内角 A, B, C 对边的边长分别是 a , b, c .已知 c ? 2, C ?

?
3



(Ⅰ)若 △ ABC 的面积等于 3 ,试判断 △ ABC 的形状,并说明理由; (Ⅱ)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 △ ABC 的面积.

3 5 5

B.

6 2

C.

3 2

D.

5 5

10.已知函数 f ( x)(x ? R) 满足 f (1) ? 1 ,且 f (x) 的导函数 f ' ( x ) ? A.

?x ? 1 ? x ? 1?

B.

?x x ? ?1?

C.

?x x ? ?1或x ? 1?

1 x 1 ,则 f ( x) ? ? 的解集为 2 2 2 D. ?x x ? 1?

18. 在数列 {an } 中, a1 ? 1, a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? (1)求数列 {an } 的通项 an ;

n ?1 an ?1 (n ? N * ). 2

20. 已知椭圆 C :

(2)若存在 n ? N ,使得 an ? (n ? 1)? 成立,求实数 ? 的最小值.
*

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆 2 2 a b 与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切,过点 P(4,0)且不垂直于 x 轴直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点。
(1)求椭圆 C 的方程; (2)求 OA? OB 的取值范围; (3)若 B 点在于 x 轴的对称点是 E,证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点。

19. 在长方体 ABCD-A B1C1D1 中, AA=AD=2 ,点 E 在棱 CD 上,且 CE= CD . 1 1 (Ⅰ)求证: AD1 ? 平面 A1B1D ; (Ⅱ)在棱 AA1 上是否存在点 P ,使 DP ∥平面 B1 AE ? 若存在,求出线段 AP 的长;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)若二面角 A-B1 E-A1 的余弦值为 长.
D1 C1 D E C

1 3

30 ,求棱 AB 的 6

A

B

ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 的导函数 y ? f '( x) 的两个零点为-3 和 0. 21. 已知函数 f ( x) ? ex (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间;
(Ⅱ)若 f(x)的极小值为 ? e ,求 f ( x ) 在区间 [?5, ??) 上的最大值.
3

A1

B1

龙泉中学 2013 届高三周练理科数学试卷(23)答案
命题:刘
一、选择题 ACDA DCCB AD 二、填空题 11. 91 三、 16. 解: (Ⅰ)A= {x | x2 ? 2 x ? 3 ? 0} = {x | ( x ? 3)( x ? 1) ? 0} = {x | x ? ?1, 或x ? 3} ,..………………………..……3 分 B= { y | y ? 2x ? a, x ? 2} ? {y | ?a ? y ? 4 ? a} . ………………………..…..7 分 (Ⅱ)∵ A ? B ? B ,∴ B ? A , ..……………………………………………. 9 分 ∴ 4 ? a ? ?1 或 ? a ? 3 , …………………………………………………………...11 分 a ? ?3 或 a ? 5 ,即 a 的取值范围是 (??, ?3] ? (5, ??) .………… ∴ 17. 解: )由余弦定理及已知条件得, a ? b ? ab ? 4 , (Ⅰ
2 2



12. 2,

6

13.

6 5

14. 2; [-9,9]

15. n ? 2n ?1

又因为 △ ABC 的面积等于 3 ,所以 联立方程组 ?

1 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 . 2

?a 2 ? b2 ? ab ? 4, ?ab ? 4,

解得 a ? 2 , b ? 2 .

故 △ ABC 为等边三角形。……………………..6 分 (Ⅱ)由题意得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A , 即 sin B cos A ? 2sin A cos A , …………7 分 若 cos A ? 0 ,则 A ?

?
2

,由 c ? 2, C ?

?
3

,得 b ?

2 3 , 3

1 2 3 .………………………….9 bc ? 2 3 若 cos A ? 0 ,可得 sin B ? 2sin A ,由正弦定理知 b ? 2a , ?a 2 ? b2 ? ab ? 4, 2 3 4 3 联立方程组 ? 解得 a ? ,b ? . 3 3 ?b ? 2a,
所以 △ ABC 的面积 S ? 所以 △ ABC 的面积 S ?

2 ? n ? 1??1 ? n ? 1 1 a 1 1 1 所以 ? 及 1? , ? 0,? ? ? n ? 2? 又 n ?1 f ? 2? 3 2 2 2?3 f ? n ? 1? f ? n ? 1 所求实数 ? 的最小值为 ……………… 12 分 3 19.证明: (Ⅰ)在长方体 ABCD-A B1C1D1 中, 1 因为 A1B1 ? 面 A D1DA , 1 所以 A B1 ? AD1 . ……………………2 分 1 在矩形 A D1DA 中,因为 AA=AD=2 , 1 1 所以 AD1 ? A D . 1 所以 AD1 ? 面 A1B1D . ………………………………………………………………4 分 (Ⅱ)如图,在长方体 ABCD-A B1C1D1 中,以 D1 为原点建立空间直角坐标系 D1 ? xyz . 1 依题意可知, D1 (0,0,0), A (2,0,0), D(0,0, 2) , 1 z A(2,0, 2) , E D C 设 AB 的长为 x ,则 C1 (0, x,0), B1 (2, x,0) , 2 C (0, x, 2), E (0, x, 2) . 3 A B 假 设在棱 AA1 上 存在点 P , 使得 DP ∥ 平面 B1 AE . ??? ? y 设点 P (2,0, y) ,则 DP ? (2,0, y - 2) , D1 ??? ? C1 AP ? (0,0, y - 2) . ???? ??? ? 1 2 A1 易知 B1 E=(-2, - x, 2), AE ? (-2, x, 0) . B1 3 3 x 设平面 B1 AE 的一个法向量为 n ? (a, b, c) ,
则 f ? n ? 1? ? f ? n ? ?

1 2 3 ab sin C ? .………………………….12 分 2 3

? 1, n ? 1 ? 18. 解: (1) an ? ? 2 n ? 2 ……………… 6 分 ?n ?3 , n ? 2 ? a a 2 ? 3n?2 (2) an ? ? n ? 1? ? ? ? ? n , 由(1)可知当 n ? 2 时, n ? , n ?1 n ? 1 n ? n ? 1?
设 f ? n? ?

n ? n ? 1? ? n ? 2, n ? N * ? 2 ? 3n

……………… 8 分

1 ? ???? ?-2a - 3 xb ? 2c = 0 ? B1 E ? n = 0 ? ? 则 ? ??? ,即 ? .………………………………………………7 分 ? ? AE ? n = 0 ? -2a + 2 xb = 0 ? ? 3 ? 3 3 令 b ? 3 得, a ? x, c ? x ,所以 n ? ( x,3, x) . 2 2 ??? ? 因为 DP ∥平面 B1 AE ,等价于 DP ? n ? 0 且 DP ? 平面 B1 AE . 3 2 得 2 x + ( y - 2) ? x ? 0 ,所以 y ? . 2 3 ??? ? ??? 4 ? 4 4 所以 AP ? (0, 0, - ) , AP ? ,所以 AP 的长为 .………………………………9 分 3 3 3 CD ∥ A1B1 ,且点 E ? CD , (Ⅲ)因为 所以平面 A B1E 、平面 A1B1D 与面 A B1CD 是同一个平面. 1 1
由(Ⅰ)可知, AD1 ? 面 A1B1D , 所以 D1 A ? (2,0, 2) 是平面 A B1E 的一个法向量. 1

???? ?

………………………………11 分

由(Ⅱ)可知,平面 B1 AE 的一个法向量为 n ? ( x,3, 因为二面角 A-B1 E-A1 的余弦值为

3 x) . 2

???? ? D1 A ? n 30 ? ???? ? 所以 cos ? ? ? 6 AD1 ? n
故 AB 的长为 3 2 .

30 , 6
2 x + 3x 3 2 2 ? x ? 9 ? ( x) 2 2
2

,解得 x ? 3 2 .

………………………………

20.(1)解:由题意知 e ?

c 2 a 2 ? b2 1 c 1 4 ? ,∴ e2 ? 2 ? ? ,即 a 2 ? b2 2 a 2 3 4 a a 6 ? 3 ,∴ a 2 ? 4, 2 ? 3 又b ? b 1?1 y2 x2 ? ?1 故椭圆的方程为 4 3

2分

(2ax ? b)e x ? (ax 2 ? bx ? c)e x ?ax 2 ? (2a ? b) x ? b ? c ........2 分 ? (e x )2 ex 令 g ( x) ? ?ax2 ? (2a ? b) x ? b ? c , x 因为 e ? 0 ,所以 y ? f '( x) 的零点就是 g ( x) ? ?ax2 ? (2a ? b) x ? b ? c的零点,且 f ?( x ) 与 g ( x) 符号相同. 又因为 a ? 0 ,所以 ?3 ? x ? 0 时,g(x)>0,即 f ?( x) ? 0 , ………………………4 分 当 x ? ?3, x ? 0 时,g(x)<0 ,即 f ?( x) ? 0 , …………………………………………6 分 所以 f ( x ) 的单调增区间是(-3,0),单调减区间是(-∞,-3)(0,+∞) , .……7 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, x =-3 是 f ( x ) 的极小值点,所以有 ? 9a ? 3b ? c ? ?e3 , ?3 ? e ? ?b ? c ? 0, ??9a ? 3(2a ? b) ? b ? c ? 0, ? ? 解得 a ? 1, b ? 5, c ? 5 , …………………………………………………………11 分
21.解: (Ⅰ) f ?( x) ?

(2)解:由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4)

? y ? k ( x ? 4) ? 由 ? x2 得: (4k 2 ? 3) x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0 4 分 y2 ? ?1 ? 4 3 ?
由 ? ? (?32k 2 )2 ? 4(4k 2 ? 3)(64k 2 ? 12) ? 0 得: k 2 ? 设 A(x1,y1),B (x2,y2),则 x1 ? x2 ?

1 4
① 6分

32k 2 64k 2 ? 12 , 1 x2 ? x 2 4k ? 3 4k 2 ? 3 ∴ y1 y2 ? k ( x1 ? 4)k ( x2 ? 4) ? k 2 x1 x2 ? 4k 2 ( x1 ? x2 ) ? 16k 2

x2 ? 5x ? 5 所以 f ( x) ? . ex , ? f ( x) 的单调增区间是(-3,0),单调减区间是(-∞,-3),(0,+∞) ? f (0) ? 5 为函数 f ( x) 的极大值, …………………………………………………12 分 ? f ( x) 在区间 [?5, ??) 上的最大值取 f (?5) 和 f (0) 中的最大者. …………….13 分 5 5 5 而 f ( ?5) ? ?5 ? 5e >5,所以函数 f(x)在区间 [?5, ??) 上的最大值是 5e ..…14 分 e


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