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山东省淄博市2013届高三数学第二次模拟考试 文(淄博二模,含解析)新人教A版


高三复习阶段性检测试题 文 科 数 学

本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,共 5 页.满分 150 分.考试用时 120 分钟,考试结 束后,将试卷和答题卡一并上交. 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科 类填写 在答题卡和试卷规定的位置上. 2.第 1 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 3.第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能 使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式: 锥体的体积公式: V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 3

如果事件 A,B 互斥,那么 P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ? ;如果事件 A,B 独立,那么

P ? AB? ? P ? A? ? P ? B ? .

第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
x 1.集合 A ? ??1, 0,1? , B ? y y ? e , x ? A ,则 A ? B =

?

?

A. ?0? 【答案】B

B. ?1?

C. ?0,1?

D. ??1,0,1?

【解析】 B ? y y ? e , x ? A ? {1, e, } ,所以 A ? B ? {1} ,选 B.
x

?

?

1 e

1

2.复数 A. ?1

1? i (i 是虚数单位)的共轭复数的虚部为 1? i
B.0 C.1 D.2

【答案】A

1? i 1? i (1 ? i)2 2i 【解析】 的共轭复数是 ?i ,所以共轭复数的虚部为 ? ? ? i ,所以 1? i 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2
?1 ,选 A.
3.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 a13 ? S13 ? 13,则a1 ? A. ?14 【答案】D 【解析】在等差数列中, S13 ? B. ?13 C. ?12 D. ?11

13(a1 ? a13 ) ? 13 ,所以 a1 ? a13 ? 2 ,即 2

,选 D. a1 ? 2 ? a13 ? 2 ? 13? ? 11 4.一个四棱锥的底面为正方形, 其三视图如图所示, 则这个四棱锥的体积是 A.1 【答案】B 【解析】由题设及图知,此几何体为一个四棱锥,其底面为一个对角线长为 2 的正方形,故 其底面积为 4 ? B.2 C.3 D.4

1 ? 1? 1 ? 2 。由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高,其相对的侧棱与高及底 2

面正方形的对角线组成一个直角三角形由于此侧棱长为 13 ,对角线长为 2,故棱锥的高为

1 ( 13) 2 ? 22 ? 9 ? 3 。此棱锥的体积为 ? 2 ? 3 ? 2 ,选 B. 3
5.函数 f ? x ? ? 2 x ? tan x在 ? ?

? ? ?? , ? 上的图象大致为 ? 2 2?

【答案】C
2

【解析】 函数 f ? x ? ? 2x ? tan x 为奇函数, 所以图象关于原点对称, 所以排除 A,B.当 x ? 时, y ? 0 ,所以排除 D,选 C.

? 2

6.在 ?ABC 中, sin A ? “ A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】A

? 3 ”是“ ?A ? ”的 3 2
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】在 ?ABC 中,若 sin A ?

? 2? ? 2? 3 ,则 ? ?A ? 。当 ?A ? 时,若 ?A ? 是, 3 3 3 3 2

sin A ?

? 3 3 ,所以“ sin A ? ”是“ ?A ? ”的充分不必要条件,选 A. 3 2 2

7. 如 图 , 平 行 四 边 形 ABCD 中 , AB ? 2, AD? 1,? A ? 6?0 点 M 在 AB 边 上 , 且 ,

AM ?
A. ?

???? ??? ? ? 1 AB ,则 D M D等于 ? B 3
B.

3 2

3 2

C. ?1

D.1

【答案】D 【

???? ??? ???? ??? 1 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? DM ? DA ? AM ? DA ? AB, DB ? DA ? AB , 所 以 3 ???? ??? ? ? ??? 1 ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? 2 1 ??? 2 4 ??? ??? ? ? ? ? ? 4 4 ???? ??? DM ? DB ? ( DA ? AB) ? ( DA ? AB) ? DA ? AB ? DA ? AB ? 1 ? ? AD ? AB 3 3 3 3 3 ?4 ? ? ? ? ? ? 7 ? ?4 7 1 ? ? A D c ? Ao Bs 6 ? 0 ? 。选 ?1 ? 2 ? 1? D. 3 3 3 3 2
解 析 】
2

8.设 p在?0,5? 上随机地取值,则关于 x 的方程 x ? px ? 1 ? 0 有实数根的概率为 A.

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

【答案】C
2 【解析】方程有实根,则 ? ? p ? 4 ? 0 ,解得 p ? 2 或 p ? ?2 (舍去) 。所以由几何概型

3

可知所求的概率为

5?2 3 ? ,选 C. 5?0 5

?x ? 0 ? 9.已知 x,y 满足条件 ? y ? x (k 为常数) ,若目标函数 z ? x ? 3 y 的最大值为 8,则 ?2 x ? y ? k ? 0 ?
k= A. ?16 【答案】B 【 解 析 】 由 z ? x ? 3y 得 y ? ? B. ?6 C. ?

8 3

D.6

?x ? 0 1 z x? 。 先 作 出 ? 的 图 象 , 3 3 ?y ? x

,因为目标函数 z ? x ? 3 y 的最大值为 8,所以 x ? 3 y ? 8 与 直线 y ? x 的交点为 C,解得 C (2, 2) ,代入直线 2 x ? y ? k ? 0 ,得 k ? ?6 ,选 B. 10.已知 ?ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 ?ABC 的面积为 S,且

2 S ? ? a ? b ? ? c2 , 则 tan C 等于
2

A.

3 4

B.

4 3

C. ?

4 3

D. ?

3 4

【答案】C 【 解 析 】
2 i?n C


2 ? a

2S ? ? a ? b ? ? c 2
2



2S ? a 2 ? b2 ? 2ab ? c 2
2 2 ? a b? 2





1 2? a 2

bs

? , 22 所? 以b a sb i ?n C b a c

2 a, 又 ? b

c

a 2 ? b2 ? c C ?s o 2a b
C 2 c 2o ? s 2

c2 s ?

i a n b ? 2C ? 2 a b

s iC n a b n s i C C? 1 , ?所 以 c o s ? 1 , 即 2 2

C C C s i ,所以 c o s 2 ,即 tan C ? n tan ? 2 2 2

C 2 ? 2 ? 2 ? ? 4 ,选 C. C 1 ? 22 3 1 ? tan 2 2 2 tan
4

11.在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至 少存在一点,使得以该点为圆心,半径为 1 的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最小值是 A. ?

4 3

B. ?

5 4

C. ?

3 5

D. ?

5 3

【答案】A 【解析】因为圆 C 的方程可化为: ? x ? 4? ? y2 ? 1 ,所以圆 C 的圆心为 (4, 0) ,半径为 1。因
2

为由题意,直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点 A( x0 , kx0 ? 2) ,以该点为圆心,1 为半径的圆与圆

C 有公共点;所以存在 x0 ? R ,使得 AC ? 1 ? 1 成立,即 ACmin ? 2 。因为 ACmin 即为点 C
到直线 y ? kx ? 2 的距离

4k ? 2 k ?1
2

,所以

4k ? 2
2

4 ? 2 ,解得 ? ? k ? 0 。所以 k 的最小值是 3 k ?1

?

4 ,选 A. 3

12.定义域为 ? a, b? 的函数 y ? f ? x ? 的图象的两个端点为 A,B,M ? x, y ? 是f ? x ? 图象上任意 一点, 其中 x ? ? a ? ?1 ? ? ? b ? ? ? R ? ,向量ON ? ? OA ? ?1 ? ? ? OB , 若不等式 MN ? k 恒 成立,则称函数 f ? x ? 在? a, b? 上“k 阶线性近似”.若函数 y ? x ? 近似” ,则实数 k 的取值范围为 A. ?0, ?? ? 【答案】C 【解析】由题意知 a ? 1, b ? 2 ,所以 A(1, 2), B(2, ) .所以直线 AB 的方程为 y ? 因为 xM ? ?a ? ?1 ? ? ? b ? ? ? 2 ?1 ? ? ? ? 2 ? ? , B. ?1 ? ?? , C. ? ? 2, ? ? ?

????

??? ?

??? ?

???? ?

1 在 ?1,? 上“k 阶线性 2 x

?3 ?2

? ?

D. ? ? 2, ? ? ?

?3 ?2

? ?

5 2

1 ( x ? 3) 。 2

???? ??? ? ??? ? 5 5 ? ON ? ? OA ? ?1 ? ? ? OB ? ? (1, 2) ? ?1 ? ? ? (2, ) ? (2 ? ? , ? ) 2 2 2

,





xN ? 2 ? ? , M , N 的 横 坐 标 相 同 。 且 点 N 在 直 线 AB 上 。 所 以
???? ? x 1 x 1 1 1 x 1 3 MN ? yM ? yN ? x ? ? ( x ? 3) ? ? ? , 因 为 ? ? 2 ? ? 2 , 且 x 2 2 x 2 2 x 2 x
???? ? ???? ? x 1 3 3 x 1 3 x 1 3 3 ? ? , 所以 MN ? ? ? ? ? ( ? ) ? ? 2 , MN 的最大值为 ? 2 , 即 2 x 2 2 2 x 2 2 2 x 2

5

所以 k ?

3 ? 2 ,选 C. 2

第 II 卷(共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分 13.执行如图所示的程序框图,若输出的结果是 8,则输入的数是 ______. 【答案】 2 或 ? 2 2 【解析】由 a ? b 得 x ? x ,解得 x ? 1 。所以当 x ? 1 时,输出
2 3 3 2 a ? x 2 , x ? 1 时, 当 输出 b ? x 。 所以当 x ? 1 时, a ? x ? 8 , 由

解得 x ? ? 8 ? ?2 2 。若 x ? 1 ,由 b ? x ? 8 ,得 x ? 2 ,所
3

以输入的数为 2 或 ? 2 2 。

x2 y 2 14.若双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、 右焦点分别为 F1,F2, 线段 F1F2 被抛物线 y 2 ? 2bx a b
的焦点分成 5:3 两段,则此双曲线的离心率为______. 【答案】

2 3 3

b ? ( ?c ) b 5 ( , 0) , 由 题 意 知 2 【解析】抛物线的焦点坐标为 ? , c ? 2b , 所 以 b 2 3 c? 2

c2 ? 4b2 ? 4(c2 ? a2 ) ,即 4a 2 ? 3c2 ,所以 2a ? 3c ,所以 e ?

c 2 2 3 。 ? ? a 3 3

15.已知函数 f ? x ? 在实数集 R 上具有下列性质:①直线 x ? 1 是函数 f ? x ? 的一条对称轴; ②

f ? x ? 2? ? ? f ? x ?
2 1 2

;





1 ? x1 ? x2 ? 3
1 1





? f ? x ? ? f ? x ?? ? ? x

? x1 ? ? 0, 则 f (2

) 0

f ? 2012? 、 f ? 2013? 从大到小的顺序为_______.
【答案】 f (2013) ? f (2012) ? f (2011) 【解析】由 f ? x ? 2? ? ? f ? x ? 得 f ? x ? 4? ? f ? x ? ,所以周期是 4 所以 f (2011) ? f (3) ,
6

f ? 2012? ? f (0) , f (2013) ? f (1) 。因为直线 x ? 1 是函数 f ? x ? 的一条对称轴,所以 f ? 2012? ? f (0) ? f (2) 。.由 ? f ? x2 ? ? f ? x1 ?? ? ? x2 ? x1 ? ? 0 ,可知当1 ? x1 ? x2 ? 3 时,
函数单调递减。所以 f (2013) ? f (2012) ? f (2011) 。

16.在如图所示的数阵中,第 9 行的第 2 个数为___________. 【答案】66 【解析】每行的第二个数构成一个数列 {an } ,由题意知 a2 ? 3, a3 ? 6, a4 ? 11, a5 ? 18 ,所 以 a3 ? a2 ? 3, a4 ? a3 ? 5, a5 ? a4 ? 7, ?

an ? an?1 ? 2(n ?1) ?1 ? 2n ? 3 ,等式两边同时相加得
an ? a2 ? [2n ? 3 ? 3] ? ( n ? 2) ? n 2 ? 2n , 2
2 2

所以 an ? n ? 2n ? a2 ? n ? 2n ? 3, ? n ? 2? ,所以 a9 ? 92 ? 2 ? 9 ? 3 ? 66 。

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分. 17.(本小题满分 12 分)

cos 已知函数 f ? x ? ? 3 sin ? x? ? x ? cos ? x ?
2

1 ? ?? ? 0 ? ,其最小正周期为 . 2 2

(I)求 f ? x ? 的表达式; (II)将函数 f ? x ? 的图象向右平移

? 个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 8
? ?? ? 2? ?

倍 (纵坐标不变) 得到函数 y ? g ? x ? 的图象, , 若关于 x 的方程 g ? x ? ? k ? 0 , 在区间 ? 0, 上有且只有一个实数解,求实数 k 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分)

7

某校从高一年级学生中随机抽取 50 名学生, 将他们的期中考试数 学成绩(满分 100 分,成绩均为不低于 40 分的整数)分成六段:

?40,50? , ?50,60? , ???, ?90,100? ,得到如图所示的频率分布直方
图. (I)若该校高一年级共有学生 1000 人,试估计成绩不低于 60 分 的人数; (II)为了帮助学生提高数学成绩,学校决定在随机抽取的 50 名 学生中成立“二帮一”小组,即从成绩 ?90,100? 中选两位同学,共同帮助 ? 40,50? 中的某一 位同学.已知甲同学的成绩为 42 分,乙同学的成绩为 95 分,求甲、乙恰好被安排在同一小 组的概率.

19.(本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中, ?ABC 是边长为 2 的正三角形, AE ? 1, AE ? 平面 ABC,平面

BCD ? 平面 ABC,BD=CD,且 BD ? CD.
(I)AE//平面 BCD; (II)平面 BDE ? 平面 CDE.

20.(本小题满分 12 分)
n ?1 n ? N * , 数列?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 等 比 数 列 ?cn ? 满 足 cn ?1 ? cn ? 10 ? 4 ....

?

?

an ? l o g cn . 2
(I)求 an , S n ; (II) 数列 ?bn ? 满足bn ?

第 19 题图

1 4Sn ? 1

, Tn为数列?bn ? 的前 n 项和, 是否存在正整数 m,? m ? 1? ,

使得 T1 , Tm , T6m 成等比数列?若存在,求出所有 m 的值;若不存在,请说明理由.

21.(本小题满分 13 分) 已知 P ? x, y ? 为函数 y ? 1 ? ln x 图象上一点,O 为坐标原点,记直线 OP 的斜率 k ? f ? x ? .
8

(I)若函数 f ? x ? 在区间 ? m, m ? ? ? m ? 0? 上存在极值,求实数 m 的取值范围; (II)当 x ? 1 时,不等式 f ? x ? ?

? ?

1? 3?

t 恒成立,求实数 t 的取值范围. x ?1

22.(本小题满分 13 分) 已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F2,点 F1 与 F2 关于坐标原点对称,直线 m 垂直于 x 轴(垂足 为 T) ,与抛物线交于不同的两点 P、Q 且 F P ? F2Q ? ?5 . 1 (I)求点 T 的横坐标 x0 ; (II)若以 F1,F2 为焦点的椭圆 C 过点 ? 1, ①求椭圆 C 的标准方程;

???? ???? ?

? ? ?

2? ?. 2 ? ?

? , ? ②过点 F2 作直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点, F2 A ? ? F2 B , ? ? ? 2 1, 设 若
取值范围.

???? ?

???? ?

A ? 求 T?

? ? ? ? T B



高三复习阶段性检测试题 文科数学参考答案及评分标准
9

一、 选择题 1-5 B A D B C 6-10 A D C B C 11-12 A C

二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. (13) (15)

2 ,?2 2

(14)

2 3 3

f (2013 , f (2012 , f (2011 ) ) )

(16)66

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. (17)(本小题满分 12 分) 解: (I) f ( x ) ?

3 sin ? x ? cos ? x ? cos 2 ? x ?

1 2
?????3 分

?

3 cos 2? x ? 1 1 ? sin 2? x ? ? ? sin(2? x ? ) 2 2 2 6

由题意知 f (x) 的最小正周期 T ? 所以 ? ? 2

?
2

,T ?

2? ? ? ? ? 2? ? 2

??????????????????????????5 分

所以 f ? x ? ? sin ? 4 x ?

? ?

??
? 6?

??????????????????6 分

(Ⅱ)将 f ( x ) 的图象向右平移个

? ? 个单位后,得到 y ? sin( 4 x ? ) 的图象,再将所得图 8 3

象所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到 y ? sin( 2 x ? 所以 g ( x) ? sin( 2 x ? 因为 0 ? x ?

?
3

) 的图象.

?
3

)

??????????9 分

?
2

,所以 ?

?
3

? 2x ?

?
3

?

2? 3

? ?? g ( x) ? k ? 0 在区间 ?0, ? 上有且只有一个实数解,即函数 y ? g ( x) 与 y ? ?k 在区间 ? 2? ? ?? 3 3 或 ?k ? 1 ? ?k ? ?0, 2 ? 上有且只有一个交点,由正弦函数的图象可知 ? ? ? 2 2
所以 ?

3 3 或 k ? ?1 . ?k? 2 2

??????????12 分

(18)(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)根据频率分布直方图, 成绩不低于 60 分的频率为 1 ? 10 ? (0.004 ? 0.010) ? 0.86 . ????2 分
10

由于该校高一年级共有学生 1000 人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级 数学成绩不低于 60 分的人数为

1000 ? 0.86 ? 860 人.

???????????????????5 分

(Ⅱ)成绩在 ?40,50? 分数段内的人数为 50 ? 0.04 ? 2 人 成绩在 ?90,100? 分数段内的人数为 50 ? 0.1 ? 5 人,??????????7 分 [40,50)内有 2 人,记为甲、A.[90,100)内有 5 人,记为乙、B、C、D、 E . 则“二帮一”小组有以下 20 种分组办法:甲乙 B,甲乙 C,甲乙 D,甲乙 E , 甲 BC, 甲 BD,甲 B E ,甲 CD, 甲 C E , 甲 DE,

A 乙 B,A 乙 C,A 乙 D,A 乙 E,ABC,ABD,
????????10 分

ABE , ACD, ACE, ADE

其中甲、乙两同学被分在同一小组有 4 种办法:甲乙 B,甲乙 C,甲乙 D,甲乙 E 所以甲乙两同学恰好被安排在同一小组的概率为 P ? (19)(本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ) 取 BC 的中点 M ,连接 DM 、 AM ,由已知可得 E

4 1 ? . ????12 分 20 5

DM ? 1 , DM ? BC , AM ? BC .
又因为平面 BCD ⊥平面 ABC , 所以 DM ? 平面 ABC 因为 AE ? 平面 ABC , 所以 AE ∥ DM ????4 分 ????2 分 C

D A M B

又因为 AE ? 平面 BCD , DM ? 平面 BCD 所以 AE ∥平面 BCD . ????6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 AE ∥ DM ,又 AE ? 1 , DM ? 1 , 所以四边形 DMAE 是平行四边形,则有 DE ∥ AM . 因为 AM ? 平面 BCD , 所以 DE ? 平面 BCD . ????8 分

又 CD ? 平面 BCD ,所以 DE ? CD 由已知 BD ? CD , 则 CD ? 平面 BDE 因为 CD ? 平面 CDE , 所以平面 BDE ⊥平面 CDE . ????????????????????12 分 (也可利用勾股定理证明题中的垂直关系.) (20)(本小题满分 12 分) ????????????????????10 分

11

解: (Ⅰ) c1 ? c2 ? 10, c2 ? c3 ? 40 ,所以公比 q ? 4

????????2 分

c1 ? 4c1 ? 10

得 c1 ? 2 ????????4 分 ????????5 分 ????????6 分

cn ? 2 ? 4n?1 ? 22n?1
所以 an ? log2 22n?1 ? 2n ? 1

Sn ?

n(a 1 ? an ) n[1 ? (2n ? 1)] ? ? n2 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? 于是 Tn ?

1? 1 1 ? ? ? ? ? 4n ? 1 2 ? 2 n ? 1 2 n ? 1 ? 1
2

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? n ? 1 ??1 ? 3 ? ? ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? ? ? 2n ? 1 ?????8 分 2 ?? ? ? ? ? ??

假设存在正整数 m ? m ? 1? ,使得 T1 , Tm , T6m 成等比数列,则

6m ? m ? 1 , ? ? ? ? ? 2m ? 1 ? 3 12m ? 1
2 整理得 4m ? 7m ? 2 ? 0 ,

2

????????10 分

解得 m ? ?
?

1 或 m?2 4

由 m ? N , m ? 1,得 m ? 2 , 因此,存在正整数 m ? 2 ,使得 T1 , Tm , T6m 成等比数列 (21)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题意 k ? f ? x ? ? 所以 f ? ? x ? ? ? ????????12 分

1 ? ln x ,x ?0 x

????????1 分

ln x ? 1 ? ln x ?? ? ?? 2 x ? x ?

????????2 分

当 0 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 . 所以 f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上单调递减. 故 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极大值. ????????4 分

因为函数 f ? x ? 在区间 ? m, m ? ? ( m ? 0 )上存在极值,

? ?

1? 3?

?0 ? m ? 1 2 ? 所以 ? 得 ? m ?1, 1 ?m ? 3 ? 1 3 ?

12

即实数 m 的取值范围是 ? , . 1? (Ⅱ)由 f ? x ? ? 令 g ? x? ? 则 g?? x ? ?

?2 ? ?3 ?

????????6 分

t ? x ? 1??1 ? ln x ? 得t ? x ?1 x

????????7 分

? x ? 1??1 ? ln x ?
x
x ? ln x . x2
则 h? ? x ? ? 1 ? ????????9 分

令 h ? x ? ? x ? ln x

1 x ?1 = x x

因为 x ? 1, 所以 h? ? x ? ? 0 ,故 h ? x ? 在 ?1 +?? 上单调递增, , 所以 h ? x ? ? h ?1? ? 1 ? 0 ,从而 g? ? x ? ? 0 ,

g ? x ? 在 ?1, ? 上单调递增, +? g ? x ? ? g ?1? ? 2
所以实数 t 的取值范围是 ? ??,2? . (22)(本小题满分 13 分)

????????11 分

????????13 分

解: (Ⅰ)由题意得 F2 (1,0) , F1 (?1,0) ,设 P( x0 , y0 ) , Q( x0 ,? y0 ) 则 F P ? ( x0 ? 1, y0 ) , F2Q ? ( x0 ? 1,? y0 ) . 1 由 F P ? F2Q ? ?5 , 1 得 x0 ? 1 ? y0 ? ?5 即 x0 ? y0 ? ?4 ,①
2 2 2 2

???????2 分

又 P( x0 , y0 ) 在抛物线上,则 y0 ? 4x0 ,②
2

联立①、②易得 x0 ? 2 (Ⅱ) (ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,由题意得 c ? 1 , 设椭圆 C 的标准方程为

????????4 分

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

1 1 则 2 ? 2 ?1 a b2
a 2 ? b2 ? 1

③ ④
2

???????5 分

2 将④代入③,解得 b ? 1 或 b ? ?

1 (舍去) 2

13

所以 a ? b ? 1 ? 2
2 2

????????6 分

故椭圆 C 的标准方程为 (ⅱ)方法一:

x2 ? y2 ? 1 2

????????7 分

容易验证直线 l 的斜率不为 0,设直线 l 的方程为 x ? ky ? 1 将直线 l 的方程代入

x2 ? y 2 ? 1中得: (k 2 ? 2) y 2 ? 2ky ?1 ? 0 .??????8 分 2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), y1 ? 0且y2 ? 0 ,则由根与系数的关系, 可得: y1 ? y2 ? ?

2k k ?2
2



y1 y2 ? ?

1 k ?2
2



???????9 分

因为 F2 A ? ? F2 B ,所以

y1 ? ? ,且 ? ? 0 . y2

将⑤式平方除以⑥式,得:

y1 y2 4k 2 1 4k 2 ? ?2?? 2 ??? ?2?? 2 y2 y1 k ?2 ? k ?2
由 ? ? ? ?2, ?1? ? ? 所以

5 1 1 1 1 4k 2 ? ? + ? ?2 ? ? ? ? ? ? 2 ? 0 ? ? ? ? 2 ?0 2 ? 2 ? 2 k ?2
???????????????????????11 分

0 ? k2 ?

2 7

因为 TA ? ( x1 ? 2, y1 ), TB ? ( x2 ? 2, y2 ) ,所以 TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ) , 又 y1 ? y2 ? ?

???

???

??? ???

2k 4(k 2 ? 1) ,所以 x1 ? x2 ? 4 ? k ( y1 ? y2 ) ? 2 ? ? 2 , k2 ? 2 k ?2
2 2

故 | TA ? TB | ? ( x1 ? x2 ? 4) ? ( y1 ? y2 ) ?
2

??? ???

16(k 2 ? 1)2 4k 2 ? 2 (k 2 ? 2)2 (k ? 2)2

?

16(k 2 ? 2)2 ? 28(k 2 ? 2) ? 8 28 8 , ? 16 ? 2 ? 2 2 2 (k ? 2) k ? 2 (k ? 2)2
1 2 2 ,因为 0 ? k ? k ?2 7
2

令t ?

所以

7 1 1 7 1 ? 2 ? ,即 t ? [ , ] , 16 k ? 2 2 16 2 7 4
2

所以 | TA ? TB | ? f (t ) ? 8t ? 28t ? 16 ? 8(t ? ) ?
2 2

??? ???

17 . 2

而 t ?[

7 1 169 , ] ,所以 f (t ) ? [4, ]. 16 2 32
14

所以 | TA ? TB |? [2, 方法二:

??? ???

13 2 ] .????????????????????13 分 8

1)当直线 l 的斜率不存在时,即 ? ? ?1 时, A(1,

2 2 ) , B(1,? ), 2 2
????8 分

又 T (2,0) ,所以 TA ? TB ? ( ?1,

???

???

2 2 ) ? ( ?1, ? ) ?2 2 2

2)当直线 l 的斜率存在时,即 ? ? ?? 2,?1? 时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1)

? y ? kx ? k ? 由 ? x2 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 2 ? ? y ?1 ?2
设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,显然 y1 ? 0, y2 ? 0 ,则由根与系数的关系, 可得: x1 ? x2 ?

4k 2 2k 2 ? 2 , x1 ? x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
? 2k 1 ? 2k 2


????????9 分

y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2k ?
2

? k2 y1 ? y2 ? k ( x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1) ? 1 ? 2k 2
因为 F2 A ? ? F2 B ,所以 将⑤式平方除以⑥式得:



y1 ? ? ,且 ? ? 0 . y2

??

1

?

?2?

?4 1 ? 2k 2

由 ? ? ?? 2,?1? 得 ? ? 故?

1 ? 5 ? ? 1 ? ? ?? ,?2 ? 即 ? ? ? 2 ? ?? ,0 ? ? ? 2 ? ? ? 2 ? 1

1 ?4 7 ? ? 0 ,解得 k 2 ? ???????????????10 分 2 2 1 ? 2k 2 ??? ??? ??? ??? 因为 TA ? ( x1 ? 2, y1 ), TB ? ( x2 ? 2, y2 ) ,所以 TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ) ,
又 x1 ? x2 ? 4 ?
2

? 4(1 ? k 2 ) , 1 ? 2k 2
2 2

故 TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4) ? ( y1 ? y2 ) ?

16(1 ? k 2 )2 4k 2 ? (1 ? 2k 2 )2 (1 ? 2k 2 )2

?

4(1 ? 2k 2 )2 ? 10(1 ? 2k 2 ) ? 2 10 2 ???????11 分 ? 4? ? 2 2 2 (1 ? 2k ) 1 ? 2k (1 ? 2k 2 )2
15

令t ?

1 7 2 ,因为 k ? 2 1 ? 2k 2 ??? 2
2

所以 0 ?

1 1 ? 1? ? ,即 t ? ? 0, ? , 2 1 ? 2k 8 ? 8?
2

所以 TA ? TB ? 2t ? 10t ? 4 ? 2(t ? ) ?

???

5 2

17 ? 169 ? ? 4, ?. 2 ? 32 ? ?
????????12 分

所以 TA ? TB ? ? 2,

? 13 2 ? ? ? 8 ? ?

综上所述: | TA ? TB |? [2,

??? ???

13 2 ]. 8

????????13 分

16


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