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《椭圆的定义及其标准方程》教学设计


课题:§2.1.1 椭圆的定义及其标准方程
鹿城中学 一、教案背景: 1.面向对象:高中二年级学生 2.学科:数学 3.课时:2 课时 4.教学内容:高中新课程标准教科书《数学》北师大版选修 1-1 第二章圆锥曲线与方程§2.1.1 椭圆及其标准方程 二. 教材分析 本节课是圆锥曲线的第一课时, 它是继学生学习了直线和圆的方 程,对曲线和方程的概念有了一些了解,对用坐标

法研究几何问题有 了初步认识的基础上,进一步学习用坐标法研究曲线。椭圆的学习可 以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础。因此这节课 有承前启后的作用,是本章的重点内容之一。 1. 教法分析 结合生活经验观察发现、启发引导、探究合作。在学生的生活体 验、直观感知、知识储备的基础上,引导学生逐步建构概念,为学生 数学思想方法的形成打下基础。利用多媒体课件,精心构建学生自主 探究的教学平台 ,启发引导学生观察 , 想象 ,思考 , 实践 ,从而发现规 律、突破学生认知上的困难,让学生体验问题解决的思维过程,获得 知识,体验成功。主要采用探究实践、启发与讲练相结合。 2. 学法分析
1

田光海

从知识上看,学生已掌握了一些椭圆图形的实物与实例,对曲线 和方程的概念有了一些了解, 对用坐标法研究几何问题有了初步的认 识。 从学生现有的学习能力看,通过一年多的学习,学生已具备了一 定的观察事物的能力,积累了一些研究问题的经验,在一定程度上具 备了抽象、概括的能力和语言转换能力。 从学生的学习心理上看,学生头脑中虽有一些椭圆的实物实例, 但并没有上升为 “概念” 的水平, 如何给椭圆以数学描述? 如何 “定 性” “定量”地描述椭圆是学生关注的问题,也是学习的重点问题。 他们渴望将感性认识理性化,渴望通过自己动手作图、观察来辨析和 完善概念,通过对比产生顿悟,渴望获得这种学习的积极心向是学生 学好本节课的情感基础。 3.教学目标 知识与技能:掌握椭圆的定义;理解椭圆标准方程的推导过程, 掌握椭圆标准方程的两种形式,会运用待定系数法求椭圆的标准方 程。 过程与方法:经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程,逐步提 高学生的观察、分析、归纳、类比、概括能力;通过椭圆标准方程的 推导,进一步掌握求曲线方程的一般方法——坐标法,并渗透数形结 合、等价转化的数学思想方法。 情感、态度与价值观:通过课堂活动参与,激发学生学习数学的 兴趣,提高学生审美情趣,培养学生勇于探索的精神。
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4.教学重点与难点 重点:椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式 难点:椭圆的标准方程的建立和推导教学方法 5.教学准备 通过百度搜索与椭圆有关的图片资料, 利用百度搜索相关的教学 资料制作多媒体课件,自制教具:绘图板、图钉、细绳。 三、教学过程 教 学 教师活动 环 节 情景 1:用圆柱状水杯盛半杯水,将水杯放在 引入生活 学生活动 设计意图

水平桌面上, 截面为圆形. 当端起水杯喝水时,学生观察 情 境 激 发 水杯倾斜,再观察水平面,此时截面为椭圆 形. (演示) 问题 1:联想生活中还有哪些是椭圆图形? 学生的学 习欲望, 自 然引入新 学生举例 课, 同时与 其实际相 联系, 拓宽 创 设 情
3

学生思维, 发展他们 联想、 类比



情景 2:

能力。 使学生在

引 入 新 课 问题 2: (1)圆是怎么画出来的? (2)圆的定义是什么? (3)圆的标准方程是什么形式的?

感叹祖国 科技辉煌 发展的氛 围中认识 椭圆。 用类比的 思想, 通过

猜想:1、椭圆是怎么画出来的?2、椭圆的定 学 生 思 考 已 经 学 过 义是什么? 3 、椭圆的标准方程又是什么形 后回答。 的 圆 的 知 式? 识猜想椭 圆, 开展后 续教学。

4

探究 1 将圆心从一点“分裂”成两点,给你两个图钉, 一根无弹性的细绳,一张纸板,能画出椭圆 吗? 同桌同学 让学生自己动手画图,使其探究性学习, 互 再提出以下问题: 动 思考 1:在纸板上作图说明什么? 探 思考 2:在作图过程中,有哪些物体的位 究 置没变?有哪些量没有变? 上的点具 思考 3:若调节两图钉的相对位置,所得 备什么特 到的图形有何变化? 点。 根据椭圆画法,从中归纳椭圆定义——与两个 形 定点的距离之和为定长(绳长)的点的轨迹为 成 椭圆(绳长大于两定点间距离). 概 动态演示动点生成轨迹的全过程,印证猜想 念 小组交流 生代表本 成果。 请学 展示学生 思考轨迹 作画图, 并 的要求合 按照老师

给学生提 供一个动 手操作, 合 作学习的 机会; 通过 实验让学 生去探究 “满足什 么样的条 件下的点 的集合为 椭圆” ; 让 每个人都 动手画图, 自己思考 问题, 由此 探究结论: 培养学生 的 自 信 心。

5

探究 2 在绳长不变的情况下,改变两个图钉之间 的距离,画出的椭圆有何变化? 使学生经 当两个图钉重合在一起时,画出的图形是 历椭圆概 什么? 利用动 念的生成 当两个图钉之间的距离等于绳长时,画出 画 显 示 结 和完善过 的图形是什么? 互 动 探 究 当两个图钉之间固定,能使绳长小于两个 归纳概括 图钉之间的距离吗? 能力, 加深 定义:平面内与两个定点 数(大于 距离的和等于常 学生通过 质的认识, 并逐渐养 的距离叫椭圆的焦距。 思考 1:焦点为 深 化 概 念 补充: 若 时,无轨迹。 么性质? 令椭圆上任一点 M,则有 , 时, 轨迹是线段 ; 若 请学生给 出经过修 改的椭圆 定义 的椭圆上任一点 M,有什 科学作风 变化情况 成严谨的 对椭圆本 果 程, 提高其

)的点的轨迹叫椭圆。

教师指出:这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点 课件观察

思考 2:刚才在画图时,大家的绳长是一样的, 但是画出的椭圆一样吗?椭圆的圆扁程度与 什么有关?
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F1 、F2 位置越近椭圆愈圆,F1 、F2 位置越远椭
M

圆越扁 学生思考
F1 F2

后回答

前面我们已经得到椭圆的定义,那么由椭 圆定义,我们能不能推导出椭圆的方程。

充分发挥 学生的学

问题 3:求曲线方程的一般步骤是什么? 学生回答 习主动性。 ①建系、取点;②列式;③代换;④化简;⑤ 证明 下面由同学根据这两个问题分组讨论椭圆 方程的求法。(1)要建立椭圆方程应该如何 建立坐标系? 研 讨 探 究 (2)椭圆上动点 M 满足什么条件? 学生先独 通过坐标 立思考, 之 系的不同

尤其在化简过程中,对于根式的处理,学生会 后 全 班 交 选择, 用不 感到困难,教师进行提示。 流, 确定最 同 的 方 法 后的解决 得到不同 (把学生推导椭圆方程的具有代表性的方法, 方案, 然后 的方程, 通 在实物展台上投影。) 分工合作,过 比 较 体

问题:通过对比学生求出椭圆各种形式的方 共同完成,会 曲 线 的 推 导
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程,你能发现什么规律?哪一种方程最简洁? 之 后 再 交 方 程 的 不 流。 确定性, 理

方 程

解曲线与 学生思考 方程的关 后 主 动 发 系, 感受恰 方程
x2 y 2 言回答。 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) (☆)叫做椭圆的标 2 a b

当选择坐 标系的优

准方程。它表示焦点在 x 轴上,焦点坐标为 越性, 感受
F1 (?c, 0) , F2 (c,0) ,其中 c2 ? a 2 ? b2 .

标准方程 的简洁、 对 称、 和谐之 美, 并在实 践中通过

y 2 x2 ? ?1( a ? b ? 0 ) ,它也是椭圆的标准 a 2 b2

对比提高 决策能力、

方程。 计算能力、 此时,椭圆的焦点在 y 轴上, 培养学生 焦点坐标为 F1 (0, c) F2 (0, ?c) ,其中 c ? a ? b
2 2 2

简约的思 维能力。

我们可以发现,以上两种方案是最好的。 问:观察一下焦点分别在 x 轴、y 轴上的椭圆 的标准方程,如何根据方程判断其焦点在 x 轴 以上三条, 上还是在 y 轴上?(看分母大小,哪个分母大 尽量由学 焦点就在哪一条轴上) 生总结出 培养学生 说明: 的观察、 分
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(1)在两个方程中,总有 a>b>0 (2)椭圆的三个参数 a、b、c 满足: c2 ? a2 ? b2 即 a 2 ? b2 ? c2 ,a 最大 (3)要分清焦点的位置,只要看 x2 和 y 2 的分母 的大小。 例如椭圆
x2 y 2 n ? 0, ? ?1 (m ? 0, m? n) m n

析归纳能 力。

当 m ? n 时表示焦点在 x 轴上的椭圆;当 m ? n 时 表示焦点在 y 轴上的椭圆。 例 1.适合下列条件的椭圆的标准方程 (1) a =4,b=1,焦点在 x 轴 例 题 研 讨
2

培养学生 运用知识

(2) a =4,c=

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,焦点在 y 轴上

解决问题 能力

(3)两个焦点的坐标是( 0 ,-2)和( 0 ,2) 并且经过点( -1.5 ,2.5) 解: (1)因为焦点在 x 轴上,所以设所求方程 为 ∵
x y ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) 2 a b
2

学生独立 完成学生 讨论

a=4, b=1
x2 2 所求方程为 16 ? y ? 1
x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) b2 a 2

变 式 精 析



(2) 因为焦点在 y 轴上,所以设所求方程为 解决情景 设置中的 问题

∵ ∴

a=4, b=1
y2 所求方程为 x ? 16 ? 1
2

(3) 因为椭圆的焦点在 y 轴上,所以设它的标
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准方程为 x 2
b2

?

y2 ? 1 (a ? b ? 0) a2

由椭圆的定义知,
3 5 3 5 2a ? (? )2 ? ( ? 2) 2 ? (? ) 2 ? ( ? 2) 2 2 2 2 2
?
a ? 10

3 1 10 ? 10 2 2

? 2 10

c?2

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 10 ? 4 ? 6.
x2 y2 ? ? 1. 6 10

所以所求椭圆方程为

例 2.我国发射的神舟八号飞船变轨前, 是在以 地心 F2 为一个焦点的椭圆轨道上运行,已知它 的近地点 B 距地面 200 公里,远地点 A 距地面 330 公里,并且 F2、A、B 在同一直线上,地球 半径约为 6371km,求轨道方程(精确到 1km) 。

练 习

1、如果椭圆

x2
100

?

y2
36

? 1 上一点 P 到焦点 F1 距

离 是 6 , 则 点 P 到 另 一 个 焦 点 F2 距 离 检 是 测 2、 求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1)两个焦点坐标分别是(0,2), (0,-2), 当 堂 椭圆经过点 P(? , ) (2)a+b=10,c= 2 5
10

。 学生练习

检测学习 成果

3 5 2 2

巩 固 摆脱传统 教学中教 最后进行课堂小结,先由学生小组讨论,再个 学 生 总 结 师 小 结 的 别提问,然后集体补充,最后教师才引导和完 出在知识、做法, 以表 善。师生应共同归纳本节所学内容、知识规律 数 学 思 想 格 形 式 出 总 以及所学的数学思想和方法。 结 收获 概 这一节课你收获到了什么? 括 布置作业 层次 1 1.教材练习 A 3.4 题 课 吗?作图的依据是什么?根据你的作图方法, 后 能找到与之相应的方法求出椭圆方法吗? 提 层次 2 的 升 层次 2 课后利用【百度搜索】深入的对椭圆的相关知 识进行了解。 目的是激 发学生学 习的兴趣, 提高数学 文化品位。
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等 方 面 的 现, 让学生 自己总结, 加深对本 节课内容 的认识

练习 B

第二题

层次 1 的目的是 强化巩固 本节内容

2. 你能用直尺和圆规作出椭圆上的任意一点

六、板书设计
椭圆的标准方程

1、椭圆的定义

椭圆标准方程的推导过程 书写

例 1:

2、椭圆的标准方程 (1) 、焦点在 x 轴上 (2) 、焦点在 y 轴上

例 2: (1)详写 (2)写关键步骤

七、教学反思 本节课整个教学过程为: 提出问题——探索——解决问题——归 纳反思——提高。在问题的设计中,从多角度探究,纵向挖掘知识深 度,横向加强知识间的联系,这样的设计不但突出了重点,更使难点 的突破水到渠成。 本节课以问题为纽带,以探究活动为载体,学生在自觉进入问题 情境后,在问题的指引下和老师的指导下,通过实践、探索、体验、 反思等活动把探究活动层层展开、步步深入,亲身经历知识的产生过 程。使学生在知识的形成过程中,获得数学的情感体验,享受到成功 的乐趣,同时在思想方法运用、思维能力等方面得到提高和发展。课 堂进行中通过实际操作、多媒体课件演示等,激发学生的学习兴趣, 使学生让学生在生生互动、 师生互动中把学生的学习过程转变为学生 观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程,希望对学生的思 维品质的培养﹑数学思想的建立﹑心理品质的优化起到良好的作用。

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本节课学生活动较多,知识拓展较深,运算较困难,因此本节课 不能按预计完成,剩余问题下节课解决。

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