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江西省宜春市奉新一中2014-2015学年高一下学期第一次月考数学试卷(文科)


江西省宜春市奉新一中 2014-2015 学年高一下学期第一次月考数 学试卷(文科)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. ) 1.在一个△ ABC 中,若 a=2,b=2 ,A=30°,那么 B 等于() A.60° B.60°或 120° C.30° 2.在数列{an}中, A.49 B.50

D.30°或 15



,则 a101 的值为() C.51 D.52

3.已知数列{an}满足 a1=0,an+1= A.0 B.

(n∈N ) ,则 a20=() C. D.

*

4.设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcosC+ccosB=asinA,则△ ABC 的形状为 () A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 5.在△ ABC 中,A=60°,a= A.2 B. ,则 C. 等于() D.

6.在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=() A.58 B.88 C.143 D.176

7.设 Sn 表示等差数列{an}的前 n 项和,已知

,那么

等于()

A.

B.

C.

D.

8.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 am﹣1+am+1﹣am =0,S2m﹣1=38,则 m=() A.2 B. 9 C.10 D.19 9.等比数列{an}的各项均为正数,且 a5a6+a4a7=18,则 log3a1+log3a2+…log3a10=() A.12 B.10 C. 8 D.2+log35

2

10.已知无穷等差数列{an},前 n 项和 Sn 中,S6<S7,且 S7>S8,则() A.在数列{an}中,a7 最大 B. 在数列{an}中,a3 或 a4 最大 C. S3 必与 S11 相等 D.当 n≥8 时,an<0 11.若满足条件 C= A.(1, 12. 定义 ) ,AB= B. ( ,BC=a 的三角形有两个,则 a 的取值范围是() , ) C. ( ,2) D.(1,2)

为 n 个正数 p1, p2, …pn 的“均倒数”. 若已知数列{an}的前 n 项的“均

倒数”为

,又

,则

=()

A.

B.

C.

D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分共 20 分) 13.已知{an}是等比数列, ,则公比 q=.

14.设△ ABC 的内角 A,B,C,所对的边分别是 a,b,c.若(a+b﹣c) (a+b+c)=ab,则 角 C=.

15.两等差数列{an}和{bn},前 n 项和分别为 Sn,Tn,且

=

,则

等于.

16.数列{an}满足 a1=2,an﹣an﹣1=

,则 an=.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.) 17.已知等差数列{an}前三项的和为﹣3,前三项的积为 8. (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}单调递增,求数列{an}的前 n 项和. 18.已知 a,b,c 分别为△ ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c= (1)求 A; (2)若 a= ,△ ABC 的面积为 ,求 b,c. asinC+ccosA.

19.如图,货轮在海上以 50 浬/时的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水 平角)为 155°的方向航行.为了确定船位,在 B 点处观测到灯塔 A 的方位角为 125°.半小

时后,货轮到达 C 点处,观测到灯塔 A 的方位角为 80°.求此时货轮与灯塔之间的距离(得 数保留最简根号) .

20.已知数列{an}满足 a1=1,且 an=2an﹣1+2 (n≥2 且 n∈N ) . (1)求证:数列{ }是等差数列;

n

*

(2)求数列{an}的通项公式. 21.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bcosC=3acosB﹣ccosB. (Ⅰ)求 cosB 的值; (Ⅱ)若 ,且 ,求 a 和 c 的值.

22.数列{an}的前 n 项和为,且 an 是 Sn 和 1 的等差中项,bn 等差数列.满足 b1=a1,b4=S3 (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设 cn= 的最小值. ,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,若 Tn≤λbn+1 对一切 n∈N 恒成立,求实数 λ
*

江西省宜春市奉新一中 2014-2015 学年高一下学期第一 次月考数学试卷(文科)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. ) 1.在一个△ ABC 中,若 a=2,b=2 ,A=30°,那么 B 等于() A.60° B.60°或 120° C.30° 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 将已知代入正弦定理即可直接求值.

D.30°或 150°

解答: 解:由正弦定理可得:sinB=

=

=



∵0<B<180°, ∴B=60°或 120°, 故选:B. 点评: 本题主要考查了正弦定理的简单应用,属于基本知识的考查.

2.在数列{an}中, A.49 B.50

,则 a101 的值为() C.51 D.52

考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 把给出的递推式变形得到数列{an}是等差数列,题目给出了首项,可以直接写出其 通项公式,则 a101 的值可求. 解答: 解:在数列{an}中,由 所以,数列{an}是公差为 的等差数列, 又 a1=2,所以 所以, . = . 得: ,

故选 D. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式,考查了数列项的求法,是会考常见的基础题型.

3.已知数列{an}满足 a1=0,an+1= A.0 B.

(n∈N ) ,则 a20=() C. D.

*

考点: 数列递推式. 专题: 计算题. 分析: 经过不完全归纳,得出 ,…发现此数列以 3 为周期 的周期数列,根据周期可以求出 a20 的值. 解答: 解;由题意知: ∵ ∴



故此数列的周期为 3. 所以 a20= .

故选 B 点评: 本题主要考查学生的应变能力和不完全归纳法, 可能大部分人都想直接求数列的通 项公式,然后求解,但是此方法不通,很难入手.属于易错题型. 4.设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcosC+ccosB=asinA,则△ ABC 的形状为 () A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 考点: 三角形的形状判断. 专题: 解三角形. 分析: 根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦,利用两角和公式化简求得 sinA 的值进而求得 A,判断出三角形的形状. 解答: 解:∵bcosC+ccosB=asinA, ∴sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA=sin A, ∵sinA≠0, ∴sinA=1,A= ,
2

故三角形为直角三角形, 故选:A. 点评: 本题主要考查了正弦定理的应用, 解题的关键时利用正弦定理把等式中的边转化为 角的正弦,属于基本知识的考查. 5.在△ ABC 中,A=60°,a= A.2 B.

,则 C.

等于() D.

考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 由正弦定理及 = =2, 利用比例式的性质, 可得 , =2. =2.

解答: 解:由正弦定理可得 再由 = =2,∴

故选:A. 点评: 本题主要考查正弦定理的应用,比例式的性质,求得 基础题. 6.在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=() =2 是解题的关键,属于

A.58

B.88

C.143

D.176

考点: 等差数列的性质;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 根据等差数列的定义和性质得 a1+a11=a4+a8=16,再由 S11= 算求得结果. 解答: 解:∵在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16, ∴a1+a11=a4+a8=16, ∴S11= =88, 运

故选 B. 点评: 本题主要考查等差数列的定义和性质, 等差数列的前 n 项和公式的应用, 属于中档 题.

7.设 Sn 表示等差数列{an}的前 n 项和,已知 A. B. C.

,那么

等于()

D.

考点: 等差数列的性质;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 先根据等差数列的前 n 项和公式由 求得答案. 解答: 解:根据等差数列的前 n 项和公式得到 = ∴a1=3d 可得 a1 与 d 的关系,再代入到 即可

=

=

故选 B. 点评: 本题主要考查等差数列的前 n 项和公式.属基础题. 8.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 am﹣1+am+1﹣am =0,S2m﹣1=38,则 m=() A.2 B. 9 C.10 D.19 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列.
2

分析: 由等差数列的性质和求和公式可得 m 的方程,解方程可得. 解答: 解:由等差数列的性质可得 am﹣1+am+1=2am, 2 又∵am﹣1+am+1﹣am =0, 2 ∴2am﹣am =0, 解得 am=0 或 am=2, 又 S2m﹣1= = =(2m﹣1)am=38,

∴am=0 应舍去,∴am=2, ∴2(2m﹣1)=38,解得 m=10 故选:C 点评: 本题考查等差数列的求和公式和性质,属基础题. 9.等比数列{an}的各项均为正数,且 a5a6+a4a7=18,则 log3a1+log3a2+…log3a10=() A.12 B.10 C. 8 D.2+log35 考点: 等比数列的性质;对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 先根据等比中项的性质可知 a5a6=a4a7,进而根据 a5a6+a4a7=18,求得 a5a6 的值,最 5 后根据等比数列的性质求得 log3a1+log3a2+…log3a10=log3(a5a6) 答案可得. 解答: 解:∵a5a6=a4a7, ∴a5a6+a4a7=2a5a6=18 ∴a5a6=9 5 ∴log3a1+log3a2+…log3a10=log3(a5a6) =5log39=10 故选 B 点评: 本题主要考查了等比数列的性质.解题的关键是灵活利用了等比中项的性质. 10.已知无穷等差数列{an},前 n 项和 Sn 中,S6<S7,且 S7>S8,则() A.在数列{an}中,a7 最大 B. 在数列{an}中,a3 或 a4 最大 C. S3 必与 S11 相等 D.当 n≥8 时,an<0 考点: 等差数列的前 n 项和;数列的函数特性. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知利用前 n 项和公式进而化简,可得化为 a1+6d>0,a1+7d<0,于是 a7>0, a8<0,d<0.即可得出结论. 解答: 解:由 S6<S7,且 S7>S8,得 . 化为 a1+6d>0,a1+7d<0, ∴a7>0,a8<0,d<0. 故当 n≥8 时,a8<0. 故选 D. 点评: 熟练掌握等差数列的前 n 项和公式及其公差 d 的意义是解题的关键. ,

11.若满足条件 C= A.(1, )

,AB= B. (

,BC=a 的三角形有两个,则 a 的取值范围是() , ) C. ( ,2) D.(1,2)

考点: 解三角形. 专题: 计算题. 分析: 由已知条件 C 的度数,AB 及 BC 的值,根据正弦定理用 a 表示出 sinA,由 C 的度 数及正弦函数的图象可知满足题意△ ABC 有两个 A 的范围,然后根据 A 的范围,利用特殊 角的三角函数值即可求出 sinA 的范围,进而求出 a 的取值范围. 解答: 解:∵C= ∴由正弦定理得: ,AB= = ,BC=a, ,即 = ,

解得:sinA= , 由题意得:当 A∈( 所以 , )时,满足条件的△ ABC 有两个, <a<2,

< <1,解得:

则 a 的取值范围是( ,2) . 故选 C 点评: 此题属于解三角形的题型,涉及的知识有:正弦定理,正弦函数的图象与性质,以 及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关键. 12. 定义 为 n 个正数 p1, p2, …pn 的“均倒数”. 若已知数列{an}的前 n 项的“均

倒数”为

,又

,则

=()

A.

B.

C.

D.

考点: 类比推理. 专题: 新定义;点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 由已知得 a1+a2+…+an=n(2n+1)=Sn,求出 Sn 后,利用当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1, 即可求得通项 an,最后利用裂项法,即可求和. 解答: 解:由已知得 ,

∴a1+a2+…+an=n(2n+1)=Sn 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=4n﹣1,验证知当 n=1 时也成立, ∴an=4n﹣1,

∴ ∴ ∴ = .



=

+(

)+…+(

)=1﹣

故选 C. 点评: 本题考查数列的通项与求和,考查裂项法的运用,确定数列的通项是关键. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分共 20 分) 13.已知{an}是等比数列, ,则公比 q= .

考点: 等比数列. 分析: 由等比数列的通项公式求解. 解答: 解由题意:

∴q= 故答案是 点评: 本题主要考查等比数列的通项公式. 14.设△ ABC 的内角 A,B,C,所对的边分别是 a,b,c.若(a+b﹣c) (a+b+c)=ab,则 角 C= .

考点: 余弦定理. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 利用已知条件(a+b﹣c) (a+b+c)=ab,以及余弦定理,可联立解得 cosB 的值,进 一步求得角 B. 解答: 解:由已知条件(a+b﹣c) (a+b+c)=ab 可得 a +b ﹣c +2ab=ab 2 2 2 即 a +b ﹣c =﹣ab 由余弦定理得:cosC= 又因为 0<B<π,所以 C= 故答案为: . =
2 2 2

点评: 本题考查了解三角形的知识,对余弦定理及其变式进行重点考查,属于基础题目.

15.两等差数列{an}和{bn},前 n 项和分别为 Sn,Tn,且

=

,则

等于



考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用等差数列的性质可得 即得结论. 解答: 解:∵数列{an}和{bn}均为等差数列, = ,进而可得 = ,代入计算



=

=

=



又∵

=





=

=





=



故答案为:



点评: 本题考查等差数列的简单性质,注意解题方法的积累,属于中档题. 16.数列{an}满足 a1=2,an﹣an﹣1= ,则 an= .

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用“累加求和”和等比数列的前 n 项和公式即可得出. 解答: 解:∵数列{an}满足 a1=2, ∴an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1 = ,

=

= 故答案为

; .

点评: 本题考查了“累加求和”和等比数列的前 n 项和公式,属于中档题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.) 17.已知等差数列{an}前三项的和为﹣3,前三项的积为 8. (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}单调递增,求数列{an}的前 n 项和. 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (1)设等差数列{an}的公差为 d,根据等差数列{an}前三项的和为﹣3,前三项的 积为 8,建立方程组,解方程组可得 a1、d,进而可得通项公式; (2)确定 an=3n﹣7,利用等差数列的求和公式可得结论. 解答: 解: (1)设等差数列{an}的公差为 d,则 ∵等差数列{an}前三项的和为﹣3,前三项的积为 8, ∴ ,







∴an=﹣3n+5 或 an=3n﹣7; (2)∵数列{an}单调递增, ∴an=3n﹣7, ∴Sn= = .

点评: 本题考查等差数列的前 n 项和公式和通项公式,正确运用公式是关键. 18.已知 a,b,c 分别为△ ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c= (1)求 A; (2)若 a= ,△ ABC 的面积为 ,求 b,c. 考点: 余弦定理的应用. 专题: 解三角形. 分析: (1)利用 c= asinC+ccosA 及正弦定理可知 sin(A+ )= ,进而可得结论; asinC+ccosA.

(2) 通过 S△ ABC= bcsinA=

可知 bc=4, 利用余弦定理可知 a +bc= (b+c) , 进而 a=

2

2



bc=4 计算即得结论. 解答: 解: (1)由 c= asinC+ccosA 及正弦定理得: sinAsinC+cosAsinC﹣sinC=0, ∵sinC≠0, ∴sin(A+ )= ,

又 0<A<π, ∴ 故 A= A+ ; , ,

(2)∵S△ ABC= bcsinA= ∴bc=4.
2 2 2

∵a =b +c ﹣2bccosA, 2 2 ∴a +bc=(b+c) , 代入 a= 、bc=4,解得:b+c=4, ∴b=c=2. 点评: 本题考查正弦定理、余弦定理等基础知识,注意解题方法的积累,属于中档题. 19.如图,货轮在海上以 50 浬/时的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水 平角)为 155°的方向航行.为了确定船位,在 B 点处观测到灯塔 A 的方位角为 125°.半小 时后,货轮到达 C 点处,观测到灯塔 A 的方位角为 80°.求此时货轮与灯塔之间的距离(得 数保留最简根号) .

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 计算题;应用题. 分析: 在△ ABC 中利用三角形内角和求得∠BCA 和∠BAC,则 BC 可求得,最后利用正 弦定理求得 AC. 解答: 解:在△ ABC 中,∠ABC=155°﹣125°=30°, ∠BCA=180°﹣155°+80°=105°, ∠BAC=180°﹣30°﹣105°=45°, BC= ×50=25,

由正弦定理,得 ∴AC= = (浬) 浬.

答:船与灯塔间的距离为

点评: 本题主要考查了解三角形的实际应用. 解题的关键是建立三角函数的数学模型, 运 用三角函数的基础知识来解决实际问题. 20.已知数列{an}满足 a1=1,且 an=2an﹣1+2 (n≥2 且 n∈N ) . (1)求证:数列{ }是等差数列;
n *

(2)求数列{an}的通项公式. 考点: 等差关系的确定;数列的应用. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)由 an=2an﹣1+2 ,两边同时除以 2 ,即可证明 (2)由(1)可求 ,进而可求 an
n n

解答: 证明: (1)∵an=2an﹣1+2 ,两边同时除以 2 ,可得

n

n



,又

=

∴数列{

}是以 为首项,以 1 为公差的等差数列;

(2)解:由(1)可知

=

∴ 点评: 本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求解数列的通项公式, 解题的关 n 键是在已知递推公式的两边同时除以 2 . 21.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bcosC=3acosB﹣ccosB. (Ⅰ)求 cosB 的值; (Ⅱ)若 ,且 ,求 a 和 c 的值.

考点: 正弦定理;平面向量数量积的运算;两角和与差的正弦函数;余弦定理.

专题: 计算题;转化思想. 分析: (1)首先利用正弦定理化边为角,可得 2RsinBcosC=3×2RsinAcosB﹣2RsinCcosB, 然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可. 2 2 (2)由向量数量积的定义可得 accosB=2,结合已知及余弦定理可得 a +b =12,再根据完全 平方式易得 a=c= . 解答: 解: (I)由正弦定理得 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, 则 2RsinBcosC=6RsinAcosB﹣2RsinCcosB, 故 sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB, 可得 sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB, 即 sin(B+C)=3sinAcosB, 可得 sinA=3sinAcosB.又 sinA≠0, 因此 (II)解:由 . ,可得 accosB=2, , 由 b =a +c ﹣2accosB, 2 2 可得 a +c =12, 2 所以(a﹣c) =0,即 a=c, 所以 . 点评: 本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积 的定义等基础知识,考查了基本运算能力. 22.数列{an}的前 n 项和为,且 an 是 Sn 和 1 的等差中项,bn 等差数列.满足 b1=a1,b4=S3 (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设 cn= 的最小值. 考点: 数列的求和. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)由题意可知,Sn=2an﹣1,结合递推公式 a1=S1,n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1,可得 an=2an﹣1,结合等比数列的通项公式可求由 b1=a1=1,b4=1+3d=7,可求公差 d,进而可求 bn, (2) 由 cn= 恒成立,可转化为 = ( ﹣ ) , 利用裂项求和可求 Tn, 从而 Tn≤λbn+1 对一切 n∈N
* * 2 2 2

,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,若 Tn≤λbn+1 对一切 n∈N 恒成立,求实数 λ

*

≤λ(2n+1)对一切 n∈N 恒成立,结合数列的单调性,即可得出结论.

解答: 解: (1)∵an 是 Sn 和 1 的等差中项,∴Sn=2an﹣1 当 n=1 时,a1=S1=2a1﹣1,∴a1=1. 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(2an﹣1)﹣(2an﹣1﹣1)=2an﹣2an﹣1, ∴an=2an﹣1,∴数列{an}是以 a1=1 为首项,2 为公比的等比数列, n﹣1 n ∴an=2 ,Sn=2 ﹣1. 设{bn}的公差为 d,b1=a1=1,b4=1+3d=7,∴d=2,

∴bn=1+(n﹣1)×2=2n﹣1; (2)cn= = ( ﹣ ﹣ ) )=

∴Tn= (1﹣ + ﹣ +…+
*

∵Tn≤λbn+1 对一切 n∈N 恒成立, ∴ ∴λ≥ ≤λ(2n+1)对一切 n∈N 恒成立, .
*

令 f(n)=

,则 f(n)单调递减,

∴λ≥ . 点评: 本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的应用, 数列的递推公式的应用及 数列的裂项求和及数列的单调性在数列的最值求解中的应用,难度中等.


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