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云南省昆明三中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析


云南省昆明三中 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.sin300°的值为() A. B. C. D.

2.若 tanα=3,则 A.2
x

的值等于() B. 3 C. 4 D.6<

br />
3.已知 f(x)=2 +3x,f(x)的零点在哪个区间() A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1) 4.函数 f(x)=a A.(0,1)
x﹣2

D.(1,2)

+1(a>0,a≠1)的图象恒过定点() B.(0,2) C.(2,1)

D.(2,2)

5.已知函数 f(x)=

,则 f(f( ) ) ()

A.﹣

B.

C. 1

D.7

6.函数 y=2cos (x﹣

2

)﹣1 是() B. 最小正周期为 π 的偶函数 D.最小正周期为 的偶函数

A.最小正周期为 π 的奇函数 C. 最小正周期为 的奇函数

7.设 a=sin 17°cos45°+cos17°sin45°,b=1﹣2sin 13°,c= A.c<a<b B.b<c<a C.a<b<c

2

,则有() D.b<a<c

8. 将函数 y=sinx 的图象上所有的点向右平行移动

个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸

长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图象的函数解析式是() A.y=sin(2x﹣ ) B.y=sin(2x﹣ ) C.y=sin( x﹣ ) D.y=sin( x﹣ )

9.已知函数 y=2sin(ωx+θ)为偶函数(0<θ<π) ,其图象与直线 y=2 的某两个交点横坐标 为 x1,x2,|x2﹣x1|的最小值为 π,则()

A.ω=2,

B.



C.



D.ω=1,

10.已知

,则 cosα+sinα 等于()

A.

B.

C.

D.
2

11.f(x)是定义在(﹣1,1)上的奇函数且单调递减,若 f(2﹣a)+f(4﹣a )<0,则 a 的取值范围是() A. B. C. D.

12.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x) ,当 x∈[3,5]时,f(x)=2﹣|x﹣4|,则 () A. C. B. f(sin1)>f(cos1) D.f(sin2)>f(cos2)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分. 13.已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x + ,则 f(﹣1)=.
2

14.若 f(x)=sin(

x+α) ,且 f= ,则 f=.

15.已知 sin(30°+α)= ,60°<α<150°,则 cosα 的值为.

16.给出下列五个命题: ①函数 的一条对称轴是 x= ,0)对称; ;

②函数 y=tanx 的图象关于点( ③存在实数 x,使 sinx+cosx=2; ④若 ⑤函数 y=cos( x+

,则 x1﹣x2=kπ,其中 k∈Z )是奇函数;

以上五个命题中正确的有(填写正确命题前面的序号)

三、解答题:解答应写出文字说明,正明过程和演算步骤.本大题共 6 小题,共 52 分. 17.已知函数 象. ,用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图

18.求下列函数的定义域: (1)y=

(2)y=



19.已知 A 是三角形的一个内角, (1)若 tanA=2,求 的值.

(2)若 sinA+cosA= ,求 sinA﹣cosA 的值.

20.已知函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< (1)求出这个函数的解析式. (2)求出图象的对称中心及单调增区间.

)的一段图象如图.

21.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个锐角 α,β,它们的终边分别 交单位圆于 A,B 两点.已知 A,B 两点的横坐标分别是 (1)求 tan(α+β)的值; (2)求 α+2β 的值. , .

22.设函数 于直线 x=π 对称,其中 ω,λ 为常数,且 (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)若 y=f(x)的图象经过点 ,求函数 f(x)在 .

, (x∈R)的图象关

上的值域.

云南省昆明三中 2014-2015 学年高一上学期期末数学试 卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.sin300°的值为() A. B. C. D.

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用诱导公式化简所给式子的值,可得结果. 解答: 解:sin300°=sin(360°﹣60°)=﹣sin60°=﹣ ,

故选:C. 点评: 本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式, 要特别注意符号的选取, 这是解题的 易错点,属于基础题.

2.若 tanα=3,则 A.2

的值等于() B. 3 C. 4 D.6

考点: 二倍角的正弦;弦切互化. 专题: 计算题. 分析: 利用两角和公式把原式的分母展开后化简,把 tanα 的值代入即可. 解答: 解: = =2tanα=6

故选 D 点评: 本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值.考查了基础知识的运用. 3.已知 f(x)=2 +3x,f(x)的零点在哪个区间() A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1)
x

D.(1,2)

考点: 二分法的定义. 专题: 计算题;导数的概念及应用. x 分析: 根据函数 f(x)=2 +3x 是 R 上的连续函数,且单调递增,f(﹣1)f(0)<0,结 合函数零点的判定定理,可得结论. 解答: 解:∵函数 f(x)=2 +3x 是 R 上的连续函数,且单调递增, ﹣1 0 f(﹣1)=2 +3×(﹣1)=﹣2.5<0,f(0)=2 +0=1>0, ∴f(﹣1)f(0)<0. x ∴f(x)=2 +3x 的零点所在的一个区间为(﹣1,0) , 故选:B. 点评: 本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用,属于基础题. 4.函数 f(x)=a A.(0,1)
x﹣2 x

+1(a>0,a≠1)的图象恒过定点() B.(0,2) C.(2,1)

D.(2,2)

考点: 指数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 令 x﹣2=0,得 x=2,可求得 f(2) ,则(2,f(2) )即为定点. 解答: 解:令 x﹣2=0,得 x=2,此时 f(2)=a +1=a +1=2, 所以函数 f(x)图象恒过定点(2,2) , 故选 D. 点评: 本题考查指数函数的单调性与特殊点,属基础题.
2﹣2 0

5.已知函数 f(x)=

,则 f(f( ) ) ()

A.﹣

B.

C. 1

D.7

考点: 函数的值. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 根据分段函数的概念,先求 f( )的值,再求 f(f( ) )的值.

解答: 解:∵函数 f(x)=
﹣2



∴f( )=log2 +1=log22 +1=﹣2+1=﹣1; ∴f(﹣2)=2 ﹣1= ﹣1=﹣ ; ∴f(f( ) )=﹣ . 故选:A. 点评: 本题考查了分段函数求值的问题,解题是关键是分清求定义在哪一段上的函数值, 对应的解析式是什么;是基础题.
2
﹣1

6.函数 y=2cos (x﹣

)﹣1 是() B. 最小正周期为 π 的偶函数 D.最小正周期为 的偶函数

A.最小正周期为 π 的奇函数 C. 最小正周期为 的奇函数

考点: 三角函数的周期性及其求法;函数奇偶性的判断. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用二倍角公式化简为一个角的一个三角函数的形式,求出周期,判定奇偶性. 解答: 解:由 y=2cos (x﹣
2

)﹣1=cos(2x﹣
2

)=sin2x, )﹣1 是奇函数.

∴T=π,且 y=sin2x 奇函数,即函数 y=2cos (x﹣

故选 A. 点评: 本题考查三角函数的周期性及其求法,函数奇偶性的判断,是基础题.
2

7.设 a=sin 17°cos45°+cos17°sin45°,b=1﹣2sin 13°,c= A.c<a<b B.b<c<a C.a<b<c

,则有() D.b<a<c

考点: 二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用两角和的正弦公式,正弦函数的单调性可得 a> 式、二倍角的余弦公式求得 b>a,从而得出结论. 解答: 解:由于 a=sin 17°cos45°+cos17°sin45°=sin(17°+45°)=sin62°>sin60°= , =c,再利用诱导公

b=1﹣2sin 13°=cos26°=sin64°>sin62°=a,c=

2



∴b>a>c, 故选:A. 点评: 本题主要考查两角和的正弦公式,正弦函数的单调性,诱导公式、二倍角的余弦公 式,属于基础题.

8. 将函数 y=sinx 的图象上所有的点向右平行移动

个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸

长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图象的函数解析式是() A.y=sin(2x﹣ ) B.y=sin(2x﹣ ) C.y=sin( x﹣ ) D.y=sin( x﹣ )

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 分析法. 分析: 先根据左加右减进行左右平移,然后根据横坐标伸长到原来的 2 倍时 w 变为原来 的 倍进行横向变换. 解答: 解:将函数 y=sinx 的图象上所有的点向右平行移动 的解析式为 y=sin(x﹣ ) 个单位长度,所得函数图象

再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图象的函数解析式是 y=sin ( x﹣ ) .

故选 C. 点评: 本题主要考查三角函数的平移变换.平移的原则是左加右减、上加下减. 9.已知函数 y=2sin(ωx+θ)为偶函数(0<θ<π) ,其图象与直线 y=2 的某两个交点横坐标 为 x1,x2,|x2﹣x1|的最小值为 π,则() A.ω=2, B. , C. , D.ω=1,

考点: 函数奇偶性的性质;正弦函数的图象. 分析: 画出图形,由条件:“|x2﹣x1|的最小值为 π”得周期是 π,从而求得 ω. 解答: 解:画出图形: 由图象可得:“|x2﹣x1|的最小值为 π”得周期是 π, 从而求得 ω=2. 故选 A.

点评: 本题主要考查三角函数的图象与性质, 函数的图象直观地显示了函数的性质. 在解 决三角函数周期等问题时,我们往往构造函数,利用函数的图象解题.体现了数形结合的数 学思想.

10.已知

,则 cosα+sinα 等于()

A.

B.

C.

D.

考点: 三角函数的化简求值;诱导公式的作用;二倍角的余弦. 专题: 计算题. 分析: 首先根据诱导公式整理所给的分式,再利用二倍角的余弦公式,整理分子,然后分 子和分母约分,得到结果. 解答: 解:∵ ,





∴ 故选 D. 点评: 本题考查三角函数的化简求值, 本题解题的关键是利用诱导公式和二倍角公式进行 整理,本题是一个基础题.

11.f(x)是定义在(﹣1,1)上的奇函数且单调递减,若 f(2﹣a)+f(4﹣a )<0,则 a 的取值范围是() A. B. C. D.

2

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化即可得到结论. 解答: 解:∵f(x)是定义在(﹣1,1)上的奇函数且单调递减, 2 2 2 ∴不等式 f(2﹣a)+f(4﹣a )<0,等价为 f(2﹣a)<﹣f(4﹣a )=f(a ﹣4) ,













解得 , 故选:A 点评: 本题主要考查不等式的求解, 根据函数奇偶性和单调性之间的关系, 将不等式是进 行转化是解决本题的关键. . 12.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x) ,当 x∈[3,5]时,f(x)=2﹣|x﹣4|,则 () A. C. B. f(sin1)>f(cos1) D.f(sin2)>f(cos2)

考点: 函数的周期性;函数单调性的性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 利用函数的周期性及 x∈[3,5]时的表达式 f(x)=2﹣|x﹣4|,可求得 x∈[﹣1,1]时 的表达式,从而可判断逐个选项的正误. 解答: 解:∵f(x+2)=f(x) , ∴函数 f(x)是周期为 2 的周期函数,又当 x∈[3,5]时,f(x)=2﹣|x﹣4|, ∴当﹣1≤x≤1 时,x+4∈[3,5], ∴f(x)=f(x+4)=2﹣|x|,

∴ f(sin1)=2﹣sin1<2﹣cos1=f(cos1)排除 B,

,排除 A,

,C 正确, f(sin2)=2﹣sin2<2﹣(﹣cos2)=f(cos2)排除 D. 故选:C. 点评: 本题考查函数的周期性,难点在于求 x∈[﹣1,1]时的表达式,属于中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分. 13.已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x + ,则 f(﹣1)=﹣2.
2

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 当 x>0 时,f(x)=x + ,可得 f(1) .由于函数 f(x)为奇函数,可得 f(﹣1) =﹣f(1) ,即可得出. 解答: 解:∵当 x>0 时,f(x)=x + , ∴f(1)=1+1=2. ∵函数 f(x)为奇函数, ∴f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2. 故答案为:﹣2. 点评: 本题考查了函数奇偶性,属于基础题.
2 2

14.若 f(x)=sin(

x+α) ,且 f= ,则 f=﹣ .

考点: 正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件利用诱导公式求得 sinα 的值, 再利用诱导公式化简要求的式子为﹣sinα, 从 而求得结果. 解答: 解:∵f(x)=sin( x+α) ,且 f=sin(1006π+α)=sinα= ,

则 f=sin(1007π+α)=sin(π+α)=﹣sinα=﹣ , 故答案为: .

点评: 本题主要诱导公式的应用,属于基础题.

15.已知 sin(30°+α)= ,60°<α<150°,则 cosα 的值为



考点: 同角三角函数基本关系的运用;两角和与差的正弦函数. 专题: 计算题. 分析: 先利用 α 的范围确定 30°+α 的范围,进而利用同角三角函数的基本关系求得 cos (30°+α)的值,最后利用两角和的余弦函数求得答案. 解答: 解:∵60°<α<150°,∴90°<30°+α<180°. ∵sin(30°+α)= ,∴cos(30°+α)=﹣ . ∴cosα=cos[(30°+α)﹣30°] =cos(30°+α)?cos30°+sin(30°+α)?sin30° =﹣ × + × = .

故答案为: 点评: 本题主要考查了同角三角函数的基本关系的运用和两角和与差的余弦函数. 考查了 学生综合运用所学知识解决问题的能力. 16.给出下列五个命题: ①函数 的一条对称轴是 x= ,0)对称; ;

②函数 y=tanx 的图象关于点( ③存在实数 x,使 sinx+cosx=2; ④若 ⑤函数 y=cos( x+

,则 x1﹣x2=kπ,其中 k∈Z )是奇函数;

以上五个命题中正确的有①②⑤(填写正确命题前面的序号) 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 把 x= 代入函数得 y=1,为最大值,故①正确. ,0)是函数 y=tanx 的图象的对称中心,故②正确.

由正切函数的图象特征可得(

利用辅助角公式进行化简即可得③是不正确的. 若 =2kπ+π﹣(2x2﹣ ) ,k∈z, ,故④不正确. ,则有 2x1﹣ =2kπ+2x2﹣ ,或 2x1﹣

即 x1﹣x2=kπ,或 x1+x2=kπ+ 先化简函数 y=cos( x+

)=﹣sin x 进行判断即可.

解答: 解:①把 x=

代入函数得 y=1,为最大值,故①正确. ,0)是函数 y=tanx 的图象的一个对称中心,故②正

②结合函数 y=tanx 的图象可得点( 确. ③sinx+cosx= sin(x+ )∈[

],∵2>

,∴存在实数 x,使 sinx+cosx=2

错误,故③错误, ④若 =2kπ+π﹣(2x2﹣ ) ,k∈z, ,k∈z,故④不正确. ,则有 2x1﹣ =2kπ+2x2﹣ ,或 2x1﹣

∴x1﹣x2=kπ,或 x1+x2=kπ+ ⑤函数 y=cos( x+

)=﹣sin x 是奇函数,故⑤正确;

故答案为:①②⑤ 点评: 本题考查与三角函数有关的命题的真假判断, 要求熟练掌握正弦函数的单调性、 奇 偶性、周期性、对称性,掌握正弦函数的图象和性质,是解题的关键,属于中档题. 三、解答题:解答应写出文字说明,正明过程和演算步骤.本大题共 6 小题,共 52 分. 17.已知函数 象. ,用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图

考点: 专题: 分析: 解答: + x y 作图:

五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象;正弦函数的图象. 三角函数的图像与性质. 用五点法作函数 f(x)在一个周期上的简图. 解:列表: 0 ﹣ 3 6 3 0 3 π 2π

点评: 本题主要考查用五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)在一个周期上的简图,属于基础题. 18.求下列函数的定义域: (1)y=

(2)y=



考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据根式和对数函数函数成立的条件即可求函数的定义域. (2)根据根式和三角函数的性质建立不等式关系即可求函数的定义域. 解答: 解: (1)要使函数有意义,则 即 0<x ﹣1≤1,即 1<x ≤2, 解得 x∈ , 即函数的定义域为 (2)要使函数有意义,则 2sinx﹣1≥0, 即 sinx≥ , 则 2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈Z, .
2 2

(x ﹣1)≥0,

2

即函数的定义域为 点评: 本题主要考查函数的定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件. 19.已知 A 是三角形的一个内角, (1)若 tanA=2,求 的值.

(2)若 sinA+cosA= ,求 sinA﹣cosA 的值.

考点: 同角三角函数基本关系的运用;三角函数的化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)由条件利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值. (2)由条件求得 2sinAcosA=﹣ , (sin A﹣cos A) =
2

.再结合 A 为三角形内角,可得

sinA>0,cosA<0,从而求得 sinA﹣cosA 的值. 解答: 解: (1) = = = =3.

(2)sinA+cosA= ,两边平方得 2sinAcosA=﹣ ∴(sin A﹣cos A) =1﹣2sinAcosA=1+ ∴sinA﹣cosA=± .
2



=



∵2sinAcos A<0 且 A 为三角形内角,∴sinA>0,cosA<0, ∴sinA﹣cosA>0,∴sinA﹣cosA= . 点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用,属于基础题.

20.已知函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< (1)求出这个函数的解析式. (2)求出图象的对称中心及单调增区间.

)的一段图象如图.

考点: 正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)由函数的图象的顶点坐标求出 A,由周期求出 ω,由特殊点的坐标法作图求 出 φ 的值,可得函数的解析式. (2)由条件利用正弦函数的单调性以及它的图象的对称性,求得函数图象的对称中心及函 数的单调增区间. 解答: 解: (1)由函数 y=Asin(ωx+φ)的图象易知 A= ∴T=16,∴ =16,∴ω= . , =6﹣2=4.

又图象过点(2, ∵|φ|< ,∴φ=

) ,∴2 ,于是 y=2

sin( sin(

×2+φ)=2 x+ ) .

,∴

×2+φ=2kπ+

,k∈Z.

(2)由于函数的周期为 16,结合图象可得一个对称中心为(6,0) ,故函数的图象的对称 中心的坐标为(8k+6,0) (k∈Z) . 由函数的图象以及函数的周期性可得函数的单调增区间[﹣6+16k,2+16k],k∈Z. 点评: 本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,由函数的图象的顶点 坐标求出 A,由周期求出 ω,由特殊点的坐标法作图求出 φ 的值,正弦函数的单调性以及 它的图象的对称性,属于基础题. 21.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个锐角 α,β,它们的终边分别 交单位圆于 A,B 两点.已知 A,B 两点的横坐标分别是 (1)求 tan(α+β)的值; (2)求 α+2β 的值. , .

考点: 两角和与差的正切函数. 分析: (1)先由已知条件得 tanβ; 最后利用 tan(α+β)= 解之. ;再求 sinα、sinβ 进而求出 tanα、

(2)利用第一问把 tan(α+2β)转化为 tan[(α+β)+β]求之,再根据 α+2β 的范围确定角的 值. 解答: 解: (1)由已知条件即三角函数的定义可知 因为 α 为锐角,则 sinα>0,从而 同理可得 因此 . , ,

所以 tan(α+β)=



(2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]=



又 所以由 tan(α+2β)=﹣1 得

,故 .



点评: 本题主要考查正切的和角公式与转化思想. , (x∈R)的图象关 .

22.设函数 于直线 x=π 对称,其中 ω,λ 为常数,且 (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)若 y=f(x)的图象经过点 ,求函数 f(x)在

上的值域.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 分析: (1)利用二倍角的正弦与余弦可求得 f(x)=2sin(2ωx﹣ 于直线 x=π 对称,可求得 sin(2ωπ﹣ 函数 f(x)的最小正周期; (2)由 y=f(x)的图象过点( ﹣ ,x∈[0, ]? x﹣ ∈[﹣ ,0) ,可求得 λ=﹣ , ,于是知 f(x)=2sin( x﹣ ) )+λ,利用其图象关

)=±1,继而得 ω= + (k∈Z) ,于是可求得 ω 及

],利用正弦函数的性质可求得 x∈[0,

]时函数

f(x)的值域. 2 2 解答: 解: (1)f(x)=sin ωx﹣cos ωx+2 =﹣cos2ωx+ sin2ωx+λ =2sin(2ωx﹣ )+λ,

sinωx?cosωx+λ

由直线 x=π 是 y=f(x)图象的一条对称轴,可得: sin(2ωπ﹣ ∴2ωπ﹣ )=±1, =kπ+ (k∈Z) ,即 ω= + (k∈Z) .

又 ω∈( ,1) ,k∈Z,

∴k=1,故 ω= . ∴f(x)的最小正周期是 . ,0) ,得 f( =﹣ , )=0,

(2)由 y=f(x)的图象过点( 即 λ=﹣2sin( × 即 λ=﹣ . )﹣ ﹣

)=﹣2sin

故 f(x)=2sin( x﹣ ∵x∈[0, ∴ x﹣ ], ∈[﹣ ,



], )≤1,

∴﹣ ≤sin( x﹣

∴函数 f(x)的值域为[﹣1﹣ ,2﹣ ]. 点评: 本题考查三角函数中的恒等变换应用, 着重考查正弦函数的周期性、 对称性与单调 性,属于难题.


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