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山东省日照市2014届高三3月模拟考试 文科数学 Word版含答案


绝密★启用前 201 4 年高三模拟考试

试卷类型:A

文科数学
2014.3 本试卷分第 I 卷和第Ⅱ卷两部分, 共 4 页。 满分 l50 分。 考试时间 l20 分钟. 考 试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区 和科类填写在答 题卡和试卷规定的位置上。 2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑,如需改动,用橡皮擦干;争后,再选涂其它答案标号。 3.第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应的位置;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案:不 能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 第 I 卷 (共 50 分) 一、选择题:本大题共 l0 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合 M={ x | x ? 1},集合 N={ y | y ? 0 },则 M N= (A){ x | x ? 1} (B) { x | x ? 1} (C) { x | 0 ? x ? 1 } (D)
?

1 (2) 复数 z ? 1 ? i ,则 ? z z 1 3 1 3 (A) ? i (B) ? i 2 2 2 2

(C)

3 3 ? i 2 2

(D)

3 1 ? i 2 2

(3)为监测幼儿身体发育状况,某幼儿园对“大班”的 100 名幼儿的体重做了测量, 并根据所得数据画出了频 率分布直方图,如图所示.则体重在[18,20)(单位 kg) 的幼儿人数为 (A) 10 (B) 15 (C) 30 (D) 75 (4) 函数函数 y ? sin(3x ? 的方程是 (A) x ? ?

?
3

) cos( x?

?
6

) ? cos(3 x?

?
3

) sin( x?

?
6

) 的图象的一条对称轴

?
24

(B) x ? ?

?
12

(C) x ?

?
12

(D) x ?

?
6

(5) 若 P(2,-l)为圆 ( x ?1)2 ? y 2 ? 25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是 (A) x ? y ? 3 ? 0 (B) 2 x ? y ? 3 ? 0

-1-

(C)

x ? y ?1 ? 0

(D) 2 x ? y ? 5 ? 0

(6)三棱柱的侧棱与底而垂直,且底面是边长为 2 的等边三角形, 其正(主)视图(如图所示)的面积为 8,则侧(左)视图的面积为 (A)8 (B)4 (C) 4 3 (D)

3

(7) “ 2 a ? 2b ”是“ lg a ? lg b ”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (8)已知函数①y=x· sinx,②y=x· cosx,③y=x· |cosx|,④y=x· 2x 的部分图象如下,但顺 序被打乱,则按照图象从左到名,对应的函数序号正确的一组是

(A) ①④②③ (B) ①④③② (C) ④①②③ (D) ③④②① (9)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足条件:①对任意的 x ? R,都有 f (x+4)=f (x);② 对任意的 x1 , x2 ? [0,2]且 x1 ? x2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;③函数 f (x+2)的图象关于 y 轴对称.则下列结论正确的是 (A) f (7) ? f (6.5) ? f (4.5) (C) f (4.5) ? f (6.5) ? f (7) (B) f (7) ? f (4.5) ? f (6.5) (D) f (4.5) ? f (7) ? f (6.5)

3 1 (10) 已知三点 A(2,1),B(1, ? 2),C( , ? ),动点 P(a,b)满足 0≤ OP OA ≤2, 5 5 1 且 0≤ OP OB ≤2,则点 P 到点 C 的距离大于 的概率为 5 ? ? 19? 19? (A) (B) 1 ? (C) (D) 1 ? 20 20 20 20 第 II 卷 (共 1 00 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

? 3e x ?1 , x ? 3, (11)已知 f ( x) ? ? ,则 f ( f (3)) 的值为 2 ?log 3 ( x ? 6), x ? 3,



x2 y 2 ? ? 1 的 一 个 焦 点 坐 标 为 ( ? 3 , 0) , 则 其 渐 近 线 方 程 (12) 已 知 双 曲 线 a 2




1 1 ? 的最小值 a b

? (13) 已知 a ? R? , b? R ,函数 y ? 2 aex ? b的图象过 (0 , 1) 点,则

-2-

是 . (14)执行右而的框图,若输出 P 的值是 24,则输入的正整 数 N 应为 . (15) 已 知 双 曲 正 弦 函 数 shx ?
e x ? e? x 和双曲余弦函数 2

chx ?

e x ? e? x 与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类 2

似的性质, 请类比正弦函数和余弦函数的和角 公式, 写出双 .. 曲正弦或双曲余弦函数的一个 类似的正确 结论 . .. .. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. (16)(本小题满分 l2 分) ? ? 已知函数 f ( x) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ), x ? R. 6 3 (I)求函数 f(x)的最小正周期; BC ? C ? 1 (II)在 ? ABC 中,若 A= ,锐角 C 满足 f ( ? ) ? ,求 的值. AB 4 2 6 2 (17)(本小题满分 l 2 分) 某市为了解社区群众体育活动的开展情况,拟采用分层抽样的方法从 A,B, C 三个行政区中抽出 6 个社区进行调查.已知 A,B,C 行政区中分别有 12,18, 6 个社区. (I)求从 A,B,C 三个行政区中分别抽取的社区个数; (II)若从抽得的 6 个社区中随机的抽取 2 个进行调查结果的对比,求抽取的 2 个社区中至少有一个来自 A 行政区的概率. (18)(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, ? BAD=60o,Q 为 AD 的 中点. (I)若 PA=PD,求证:平面 PQB ? 平面 PAD: (II)点 M 往线段 PC 上,PM=tPC,试确定实数 t 的值,使 PA//平面 MQB.

(19)(本小题满分 l2 分)

-3-

己知数列{ an }是首项和公比均为 数列{ cn }满足 cn ? an bn . (I) 求证数列{bn}是等差数列; (II)求数列{ cn }的前 n 项和 Sn . (20)(本小题满分 13 分)

1 的等比数列,设 bn ? 2 ? 3log 1 an (n ? N * ) , 4 4

如图, 椭圆的右焦点 F2 与抛物线 y 2 ? 4x 的焦点重合, 过 F2 与 x 轴垂直的直线 与椭圆交于 S,T,与抛物线交于 C,D 两点,且|CD|=2 2 |ST|. (I)求椭圆的标准方程; (II)设 P 为椭圆上一点,若过点 M(2,0)的直线 l 与椭圆相交于不同两点 A 和 B,且满足 OA ? OB=tOP (O 为坐标原点),求实数 t 的取值范围.

(21)(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ex ? ax(a ? R), g ( x) ? e x ln x (e 为自然对数的底数). (I)设曲线 y ? f ( x) 在 x=1 处的切线为 l,点(1,0)到直线 l 的距离为
2 ,求 a 2

的值; (II)若对于任意实数 x≥0,f(x)>0 恒成立,试确定实数 a 的取值范围; (III)当 a=-1 时,函数 M ( x) ? g ( x) ? f ( x) 在[1,e]上是否存在极值?若存在,求 出极值;若不存在,请说明理由.

-4-

2014 届高三一轮模拟考试

文科数学参考答案及评分标准 2014-3
说明:本标准中的解答题只给出一种解法,考生若用其它方法解答,只要步骤合理,结果正 确,准应参照本标准相应评分。 一、选择题:每小题 5 分,共 50 分. CDBCA CBADA (1)解析:答案:C. M N = {x | x ? 1} { y | y ? 0} = {x | 0 ? x ? 1} .

1 1 1? i 3 1 ?z? ?1? i ? ? 1 ? i ? ? i. z 1? i 2 2 2 (3)解析:答案 B.由题意可知人数为 100 ? 0.075 ? 2 ? 15 .
(2)解析:答案:D. (4)解析:答案:C. y ? sin(3x ? )cos( x ? ) ? cos(3x ? )sin(x ? ) ? sin(3x ? ? x ? ) ? sin(4x ? ) 由 4x ?

π 3

π 6

π 3

π 6

π 3

π 6

π 6

π π kπ π π =kπ ? , k ? Z ,得 x= ? , k ? Z .当 k ? 0 时, x= . 6 2 4 12 12

(5) 解析:答案:A. 圆的圆心为 C (1, 0) .由圆的性质知,直线 PC 垂直于弦 AB 所在的直线,

1 1 ?? ? 1 .所以直线 AB 的方程为: y ? (?1) ? x ? 2 , 0 ? (?1) kPC 1? 2 即 x ? y ?3 ? 0.
则 k AB = ? (6)解析:答案:C.由已知,三棱柱的侧棱长为4,侧视图是一个矩形,它的一边长为4, 另一边长是底面正三角形的高 3 ,所以侧视图的面积为 4 3 .
a b (7)解析:答案:B. 2 ? 2 等价于 a ? b ,当 0 ? a ? b 或 a ? 0 ? b 时, lg a ? lg b 不成立;

而 lg a ? lg b 等价于 a ? b ? 0 ,能推出 2 ? 2 ;所以“ 2 ? 2 ”是“ lg a ? lg b ”的必要 不充分条件. (8)解析: 答案:A.
a b a b

① y ? x ? sin x 是偶函数,其图象关于 y 轴对称;

② y ? x ? cos x 是奇函数,其图象关于原点对称; ③ y ? x ? cos x 是奇函数,其图象关于原点对称,且当 x ? 0 时,其函数值 y ? 0 ; ④ y ? x ? 2 为非奇非偶函数,且当 x ? 0 时, y ? 0 , 且当 x ? 0 时, y ? 0 . (9)解析: 答案:D.
x

函数 f ? x ? 2 ? 的图象关于 y 轴对称,得 f ? 2+x ? ? f (2 ? x) ,又 f ? x ? 4? ? f ? x ? , 所以 f ? 4.5? ? f ? 0.5? , f ? 7? ? f ?3? ? f ? 2 ?1? ? f ? 2 ?1? ? f ?1? , 由题意, f ( x ) 在 ? 0, 2? 上是增函数,所以 f (4.5) ? f (7) ? f (6.5) .

f ? 6.5? ? f ? 2.5? ? f ? 2 ? 0.5? ? f ? 2 ? 0.5? ? f ?1.5? ,

(10)解析:答案:A.动点 P (a, b) 满足的不等式组为 ?

?0 ? 2a ? b ? 2, 画出可行域可知 P 在以 ?0 ? a ? 2b ? 2,

1 2 5 ?3 1? 的正方形及内部运动,而点 P 到点 C 的距离小于 的区 C ? , ? ? 为中心且边长为 5 5 ?5 5?

-5-

1 π( ) 2 1 ?3 1? 5 ? π . 域是以 C ? , ? ? 为圆心且半径为 的圆的内部,所以概率 p ? 5 2 5 2 20 ?5 5? ( ) 5
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. (11)3; (12) y ? ? 2 x ; (13) 3 ? 2 2 ; (14)4; (15)填入 ch( x ? y) ? chxchy ? shxshy , sh( x ? y) ? shxchy ? chxshy 之一即可. (11)解析:答案:3. f (3) ? log3 (32 ? 6) ? log3 3 ? 1 ,所以 f ( f (3)) ? f (1) ? 3e0 ? 3. (12)解析:答案: y ? ? 2 x .由已知,得 a ? 2 ? ( 3)2 , 所以 a ? 1 ,所以其渐近线方程 为y??

2x .

(13)解析:答案 3 ? 2 2 .由题意得 2a ? b ? 1 ,所以

b 2a 1 1 2a ? b 2a ? b b 2a ? ? ? ? 3? ? ? 3 ? 2 2 .当且仅当 ? 时取等号. a b a b a b a b (14)解析:答案:4.把 k ? 1, p ? 1 在框图中运行 4 次后,结果是 24,所以 N =4. (15)解析:答案:填入 ch( x ? y) ? chxchy ? shxshy , sh( x ? y) ? shxchy ? chxshy 之一即
可. 例证 ch( x ? y) ? chxchy ? shxshy 如下:

chxchy ? shxshy ?
?

e x ? e? x e y ? e? y e x ? e? x e y ? e? y ? ? ? 2 2 2 2

1 x? y (e ? e x ? y ? e? x ? y ? e? x ? y ? e x ? y ? e x ? y ? e ? x ? y ? e ? x ? y ) 4 1 1 ? (2e x ? y ? 2e ? x ? y ) ? (e x ? y ? e ? x ? y ) ? ch( x ? y) . 4 2
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. (16)解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) ? 2sin( x ? ) sin[

π 6

π 3

π 6

π π ? ( x ? )] 2 6

π π π ? 2sin( x ? ) cos( x ? ) ? sin(2 x ? ) , ???????????????4 分 6 6 3 2π ? π. 所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 ???????????????6 分 2 C π C π π (Ⅱ)由(Ⅰ)得, f ( ? ) ? sin[2( ? ) ? ] ? sin C , ???????8 分 2 6 2 6 3 π 1 由已知, sin C ? ,又角 C 为锐角,所以 C ? , ???????????10 分 6 2 π 2 sin BC sin A 4 ? 2 ? 2. 由正弦定理,得 ???????????12 分 ? ? π 1 AB sin C sin 6 2 6 1 ? . (17)解: (Ⅰ)社区总数为 12+18+6=36,样本容量与总体中的个体数比为 36 6 所以从 A , B , C 三个行政区中应分别抽取的社区个数为 2,3,1. ?????4 分 A 行政区中抽得的 2 个社区, B1 , B2 , B3 为在 B 行政区中抽得的 3 个 (Ⅱ)设 A 1, A 2 为在 社区, C 为在 C 行政区中抽得的社区,在这 6 个社区中随机抽取 2 个,全部可能的结果


-6-

( A1, A2 ), ( A1, B1 ), ( A1, B2 ), ( A1, B3 ), ( A1, C), ( A2 , B1), ( A2 , B2 ), ( A2 , B3 ), ( A2 , C), ( B1, B2 ), ( B1, B3 ),( B1, C), ( B2 , B3 ), ( B2 , C), ( B3 , C). 共有 15 种. ???????????7 分 设事件“抽取的 2 个社区至少有 1 个来自 A 行政区”为事件 X ,则事件 X 所包含的
所有可能的结果有:

( A1, A2 ), ( A1, B1 ), ( A1, B2 ), ( A1, B3 ), ( A1, C), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A2 , B3 ), ( A2 , C),
共有 9 种, ??????????????????10 分 所以这 2 个社区中至少有 1 个来自 A 行政区的概率为 P ( X ) ? (18)解: (Ⅰ)连结 BD ,因为四边形 ABCD 为菱形, 且 ?BAD ? 60? ,所以 ?ABD 为正三角形, 又 Q 为 AD 的中点,所以 AD ? BQ ;???2 分 又因为 PA ? PD ,Q 为 AD 的中点,所以 AD ? PQ .

9 3 ? . ?????12 分 15 5
P M

PQ ? Q ,所以 AD ? 平面PQB,???4 分 又 AD ? 平面PAD ,所以 平面PQB ? 平面PAD.
又 BQ ???????????6 分 (Ⅱ)证明:因为 PA // 平面 MQB ,连 AC 交 BQ 于 N , A 由 AQ // BC 可得, ?ANQ ∽ ?BNC ,所以

D Q

C

N

B

AQ AN 1 ???8 分 ? ? , BC NC 2 因为 PA // 平面 MQB , PA ? 平面 PAC ,平面 PAC 平面 MQB ? MN . 所以 PA // MN , ???10 分 1 PM AN 1 因此, ?????????12 分 ? ? . 即 t 的值为 . 3 PC AC 3 1 n (19)解: (Ⅰ)由题意知, an ? ( ) ( n ? Ν*) , ????????2 分 4 1 ? bn ? 3log 1 an ? 2 ? 3log 1 ( )n ? 2 ? 3n ? 2, 4 4 4 , bn?1 ? bn ? 3(n ? 1) ? 2 ? (3n ? 2) ? 3 (常数) ∴数列 {bn } 是首项 b1 ? 1, 公差 d ? 3 的等差数列. ????????5 分 1 n (Ⅱ)由(Ⅰ)知, an ? ( ) , bn ? 3n ? 2(n ? Ν*) , 4 1 ? cn ? (3n ? 2) ? ( ) n , ( n ? Ν*) , ??????????6 分 4 1 1 1 1 1 ? S n ? 1 ? ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( ) 3 ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) n ?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n , 4 4 4 4 4 1 1 2 1 3 1 4 1 n 1 n ?1 于是 S n ? 1 ? ( ) ? 4 ? ( ) ? 7 ? ( ) ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) ? (3n ? 2) ? ( ) , 4 4 4 4 4 4 3 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 两式相减得 S n ? ? 3[( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ] ? (3n ? 2) ? ( ) 4 4 4 4 4 4 1 1 n ?1 ? ? (3n ? 2) ? ( ) . ????????11 分 2 4 2 3n ? 2 1 n ? Sn ? ? ? ( ) (n ? Ν*) . ????????12 分 3 3 4

-7-

x2 y 2 (20) (Ⅰ)设椭圆标准方程 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , a b 2 由题意,抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F2 (1,0) , CD ? 4 .
因为 CD ? 2 2 ST ,所以 ST ?

y

2. ?????????2分
O

D

2b 2 b2 b2 又 S (1, ) , T (1,? ) , ST ? ? 2, a a a 又 c2 ? 1 ? a 2 ? b2 , ? a ? 2, b ? 1.
x2 ?????????5分 ? y 2 ? 1. 2 (Ⅱ)由题意,直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2). ? x 2 ? 2 y 2 ? 2, 由? 消去 y ,得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0,(*) y ? k ( x ? 2), ? 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), P( x0 , y0 ) ,则 x1 , x2 是方程(*)的两根,所以
所以椭圆的标准方程

S

F2

?
T

x

C

? ? (8k 2 )2 ? 4(1 ? 2k 2 )(8k 2 ? 2) ? 0, 即 2k 2 ? 1,
且 x1 ? x2



??7分

?

8k 2 , 1 ? 2k 2

由 OA ? OB ? tOP ,得 ?

若 t ? 0 ,则 P 点与原点重合,与题意不符,故 t ? 0 ,

? x1 ? x2 ? tx0 , ? y1 ? y2 ? ty0 ,

? 1 1 8k 2 x ? ( x ? x ) ? ? , ? ? 0 t 1 2 t 1 ? 2k 2 所以, ? ? y ? 1 ( y ? y ) ? 1 ? [k ( x ? x ) ? 4k ] ? 1 ? ?4k , 0 1 2 1 2 ? t t t 1 ? 2k 2 ? 因为点 P( x0 , y0 ) 在椭圆上,所以
2 2 2 ? x0 ? 2 y0 ?

??9分

1 8k 2 2 32k 2 1 2 4k 4 ? 2k 2 1 [( ) ? ] t ? ? 1? , , 即 2 2 2 2 2 2 t 1 ? 2k (1 ? 2k ) 8 (1 ? 2k ) 1 ? 2k 2 1 2 1 再由①,得 0 ? t ? , 又 t ? 0 ,? t ? (?2,0) (0, 2) . ??????13分 8 2 x (21)解: (Ⅰ) f ?( x) ? e ? a , f (1) ? e ? a . y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线斜率为 f ?(1) ? e ? a , ?????????1 分 ∴切线 l 的方程为 y ? (e ? a) ? (e ? a)( x ? 1) ,即 (e ? a) x ? y ? 0 .???????3 分

(e ? a) ?1 ? (?1) ? 0 ? 0 2 2 ? ,所以 , 2 2 (e ? a) 2 ? (?1) 2 解之得, a ? ?e ? 1, 或 a ? ?e ? 1. ???????5 分 (Ⅱ)∵对于任意实数 x ? 0, f ( x) ? 0 恒成立, x ∴若 x ? 0 ,则 a 为任意实数时, f ( x) ? e ? 0 恒成立; ????????6 分
又切线 l 与点 (1, 0) 距离为

ex 若 x ? 0, f ( x) ? e ? ax ? 0 恒成立,即 a ? ? ,在 x ? 0 上恒成立,????7 分 x ex xe x ? e x (1 ? x) ? e x ? 设 Q( x) ? ? , 则 Q?( x) ? ? , ????????8 分 x x2 x2
x

-8-

当 x ? (0,1) 时, Q?( x) ? 0 ,则 Q ( x) 在 (0,1) 上单调递增; 当 x ? (1, ??) 时, Q?( x) ? 0 ,则 Q ( x) 在 (1, ??) 上单调递减; 所以当 x ? 1 时, Q ( x) 取得最大值, Q( x)max ? Q(1) ? ?e , ??????9 分 所以 a 的取值范围为 (?e, ??) . 综上,对于任意实数 x ? 0, f ( x) ? 0 恒成立的实数 a 的取值范围为 (?e, ??) . ?10 分 (Ⅲ)依题意, M ( x) ? e x ln x ? e x ? x ,

ex 1 ? e x ln x ? e x ? 1 ? ( ? ln x ? 1) ? e x ? 1 , ??????11 分 x x 1 1 1 x ?1 设 h( x ) ? ? ln x ? 1 ,则 h?( x) ? ? 2 ? ? 2 ,当 x ??1,e?, h?( x) ? 0 , x x x x 故 h( x) 在 ?1,e? 上单调增函数,因此 h( x) 在 ?1,e? 上的最小值为 h(1) ? 0 ,
所以 M ?( x) ? 即 h( x ) ?

1 ? ln x ? 1 ? h(1) ? 0 , x 1 x
x

??????12 分

又 e x ? 0, 所以在 [1, e] 上, M ?( x) ? ( ? ln x ? 1) ? e ? 1 ? 0 , 即 M ( x) ? g ( x) ? f ( x) 在 [1, e] 上不存在极值. ??????14 分

-9-


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