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河南省偃师高级中学2016届高三上学期第二次月考数学(理)试题


2015-2016 学年第一学期第二次月考 高三数学(理科)试题
一、选择题(每题 5 分,满分 60 分) 2 2 1.已知集合 A ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? x log 2 x ? x ? 1 , 则A ? B = A. ? 2, B. ? 2, C. ? ?3, D. ? ?3, 3? 3? ? 2? ? 2?

?

?

?

?

? ?

2.若 f ? x ? ? sin ? 2x ? ? ? ,则“ f ? x ? 的图象关于 x ? A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

?

3

对称”是“ ? ? ?

?
6

”的

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件 , 命 题 x ?0

3 、 已 知 f ? x ? ? ex ? x, g ? x ? ? ln x ? x ?1 , 命 题 p : ? x ? R , ? f?

q : ?x0 ? ? 0, ??? ,使得 g ? x0 ? ? 0 ,则下列说法正确的是
A.p 是真命题, ?p : ?x0 ? R, f ? x0 ? ? 0 C. q 是真命题, ?q : ?x ? ? 0, ??? , g ? x ? ? 0
2

B. p 是假命题, ?p : ?x0 ? R, f ? x0 ? ? 0 D. q 是假命题, ?q : ?x ? ? 0, ??? , g ? x ? ? 0

4. 若 a,b 是函数 f(x)=x ﹣px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且 a,b,﹣2 这三 个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p+q 的值等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9 5. 若 O 是△ABC 所在平面内一点,且满足|错误!未找到引用源。-错误! 未找到引用源。|=| 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。-2 错误!未找到引用源。|,则△ABC 一定是 A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形

6.将函数 f ? x ? ? sin ? x ?

? ?

??

? 的图象上各点的纵坐标不变,横坐标扩大到原来的 2 倍,所得 6?

函数 g ? x ? 图象的一个对称中心可以是 A. ? ?

? ? ? ? 5? ? , 0 ? B. ? , 0 ? ? 12 ? ? 12 ?
x ?x

C. ? ?

? ? ? ,0? ? 3 ?

D. ?

? 2? ? ,0? ? 3 ?

7.设函数 f ? x ? ? e ? e A. f ? 2x ?min ? f ? 0?

? 2x 下列结论正确的是
B. f ? 2x ?max ? f ? 0? D. f ? 2x ? 在? ??, ? ?? 上递增,无极值

C. f ? 2x ? 在? ??, ? ?? 上递减,无极值 8. 已知数列 ?an ? 为等差数列,若 的 n 的最大值为( ) A.11 B.19

a11 ? ?1 ,且它们的前 n 项和 Sn 有最大值,则使得 Sn ? 0 a10
C.20 D.21

?? x ? a ?2 ? 9.若函数 f ? x ? ? ? 1 ?x ? ? a x ?
则实数 a 的取值范围 A.

? x ? 0? ? x ? 0?

的最小值为 f ? 0 ? ,

??1, 2?

B.

??1,0?

C. ?1, 2?

D.

?0, 2?
10. 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ? x ? 满 足 f

?

? 1? x? 1? ? ? f ?? x, 当 x ? ? 0, ? 时 , ? 2?

? 3? ,则 f ? x ? 在区间 ?1, ? 内是 f? x x ?1 ? ? l o 2g? ? ? 2?
A.减函数且 f ? x ? ? 0 B. 减 函 数 且 f ? x ? ? 0 C. 增 函 数 且 f ? x ? ? 0 D. 增 函 数 且

f ? x? ? 0
11. 已 知 C 为 线 段 AB 上 一 点 , P 为 直 线 AB 外 一 点 , I 为 PC 上 一 点 , 满 足

| PA | ? | PB |? 4
BI ? BA ? ? (
A. 2



| PA ? PB |? 10
)( ? ? 0) ,则



PA ? PC | PA |

?

PB ? PC | PB |





AC

| AC | | AP |
B. 3

?

AP

BI ? BA | BA |

的值为( D.



C. 4

5

1 1 ? 1 ? x ? , x ? [0, ], ? ? ? 3 6 2 12.已知函数 f ( x) ? ? 3 函数 g ( x) ? a sin( x) ? 2a ? 2(a ? 0) , 6 ? 2 x , x ? ( 1 ,1]. ? x ?1 2 ? 若存在 x1 , x2 ? [0,1] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是( )
A. ? , ? 2 3

?1 4? ? ?

B. (0, ]

1 2

C. ? , ? 3 3

?2 4? ? ?

D. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分)

? x 2 , x ? ?0,1? e ? 13.设 f ? x ? ? ? 1 (其中 e 为自然对数的底数) ,则 ? f ? x ?dx 的值为_______. 0 ? , x ? ?1, e? ?x
14. 如图 ?ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,
AD ? AC , sin ?BAC ? 2 2 , AB ? 3 2 , AD ? 3 ,则 BD 的长为 3



15.定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ?1? ? 1 ,且2 f ? ? x ? ? 1 ,当 x ??0, 2? ? 时,不等式

f ? 2 cos x ? ? 2 cos 2

x 1 ? 的解集为_______________ 2 2

16.在锐角 ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,已知 b2 ? 4c 2 ? 8 ,

sin B ? 2sin C ? 6b sin A sin C ,则 ?ABC 的面积取最大值时有 a 2 ?
三、解答题(本题满分 75 分) 17. (本题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ? (1)求函数 y ? f ? x ? 的解析式; (2)将函数 y ? 3sin 2x ? cos 2x 的图象做怎样的平移变换可以得到 函数 f ? x ? 的图象; (3)若方程 f ? x ? ? m在 ? ? 取值范围. 18. (本题满分 12 分)已知数列中 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ?



? ?

??

? 的部分图象如图所示. 2?

? ? ? , 0 上有两个不相等的实数根,求 m 的 ? 2 ? ?

an (n ? N *) an ? 3

(1)求证:数列 {

1 1 ? } 是等比数列,并求数列 {an } 的通项公式 an an 2
n ? a n ,数列 {bn } 的前 n 项和为 T n ,若不等式 2n

n (2)若数列 {bn } 满足 bn ? (3 ? 1) ?

( ?1) n ? ? Tn ?

n 对一切 n ? N * 恒成立,求 ? 的取值范围. 2 n ?1

2 x 19. (本题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? ax ? x ? 1 e ? a ? 0 ?

?

?

(1)讨论 f ? x ? 的单调性; (2)当 a ? ?1 时,函数 y ? f ? x ? 与g ? x ? ? 实数 m 的范围. 20. (本题满分 12 分)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,面积为 S ,已知

1 3 1 2 x ? x ? m 的图像有三个不同的交点,求 3 2

a cos 2

C A 3 ? c cos 2 ? b . 2 2 2
(Ⅱ)若 B ?

(Ⅰ)求 a ? c ? 2b 的值;

?
3

, S ? 4 3 ,求 b .

21. (本题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ? x2 ? x (1)求函数 f ? x ? 的单调递减区间; (2) 若对于任意的 x ? 0 , 不等式 f ? x ? ? ?

?a ? 2 求整数 a 的最小值. ? 1? x ? ax ? 1 的恒成立, ?2 ?

请考生在第(22),(23),(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 已知直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数),以坐标原点为极点, x 轴的正半 ?y ? 3 ? 1 t ? ? 2
轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4 sin(? ? (Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程; (II)若 P( x, y ) 是直线 l 与圆面 ? ≤ 4 sin(? ?

?
6

).

?
6

) 的公共点,求 3x ? y 的取值范围.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
2 2 已知实数 a ? 0, b ? 0 ,且 a ? b ?

9 ,若 a ? b ? m 恒成立. 2

(Ⅰ)求实数 m 的最小值; (II)若 2 | x ? 1| ? | x |? a ? b 对任意的 a , b 恒成立,求实数 x 的取值范围.

河南省偃师高中 2016 届高三 11 月月考试卷 理科数学
第 I 卷(共 60 分)
一、选择题(每题 5 分,满分 60 分) 1.已知集合 A ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? x log 2 x ? x ? 1 , 则A ? B =
2 2

?

?

?

?

? ?

A.

3? ? 2,

B.

3? ? 2,

C.

? 2? ? ?3,

D.

? 2? ??3,

2.若 f ? x ? ? sin ? 2x ? ? ? ,则“ f ? x ? 的图象关于 x ? A.充分不必要条件 C.充要条件 3. 已 知

?
3

对称”是“ ? ? ?

?
6

”的

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
x

f? ? x?

e? , ? x ?g ? l xn

? x, ? 1命 x 题 p :? x? R ,? ? f

, 命 题 ? x0

q : ?x0 ? ? 0, ??? ,使得 g ? x0 ? ? 0 ,则下列说法正确的是

A.p 是真命题, ?p : ?x0 ? R, f ? x0 ? ? 0 C. q 是真命题, ?q : ?x ? ? 0, ??? , g ? x ? ? 0

B. p 是假命题, ?p : ?x0 ? R, f ? x0 ? ? 0

D. q 是假命题, ?q : ?x ? ? 0, ??? , g ? x ? ? 0 4. 若 a,b 是函数 f(x)=x ﹣px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且 a,b,﹣2 这三个数可适当排序后成等差数列, 也可适当排序后成等比数列, 则 p+q 的值等于 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 5. 若 O 是△ABC 所在平面内一点,且满足|
2

-

|=|

+

-2

|,则△ABC 一定是

A.等边三角形 C.等腰三角形
6.将函数 f ? x ? ? sin ? x ?

B.直角三角形 D.等腰直角三角形

? ?

??

? 的图象上各点的纵坐标不变,横坐标扩大到原来的 2 倍,所得 6?

函数 g ? x ? 图象的一个对称中心可以是 A. ? ?

? ? ? ? 5? ? , 0 ? B. ? , 0 ? ? 12 ? ? 12 ?
x ?x

C. ? ?

? ? ? ,0? ? 3 ?

D. ?

? 2? ? ,0? ? 3 ?

7.设函数 f ? x ? ? e ? e A. f ? 2x ?min ? f ? 0?

? 2x 下列结论正确的是
B. f ? 2x ?max ? f ? 0?

C. f ? 2x ? 在? ??, ? ?? 上递减,无极值 D. f ? 2x ? 在? ??, ? ?? 上递增,无极值 8. 已知数列 ?an ? 为等差数列,若

a11 ? ?1 ,且它们的前 n 项和 Sn 有最大值,则使得 a10

Sn ? 0 的 n 的最大值为(
A.11 B.19

) C.20 D.21

?? x ? a ?2 ? 9.若函数 f ? x ? ? ? 1 ?x ? ? a x ?
A.

? x ? 0? ? x ? 0?

的最小值为 f ? 0 ? ,则实数 a 的取值范围

??1, 2?

B.

??1,0?

C. ?1, 2?

D.

?0, 2?

10. 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ? x ? 满 足 f

?

? 1? x? 1? ? ? f ?? x, 当 x ? ? 0, ? 时 , ? 2?

? 3? f ? x ? ? log2 ? x ?1? ,则 f ? x ? 在区间 ?1, ? 内是 ? 2?
A.减函数且 f ? x ? ? 0 C.增函数且 f ? x ? ? 0 B. 减函数且 f ? x ? ? 0 D. 增函数且 f ? x ? ? 0

11. 已 知 C 为 线 段 AB 上 一 点 , P 为 直 线 AB 外 一 点 , I 为 PC 上 一 点 , 满 足

| PA | ? | PB |? 4
BI ? BA ? ? (
A. 2



| PA ? PB |? 10
)( ? ? 0) ,则



PA ? PC | PA |

?

PB ? PC | PB |






AC

| AC | | AP |
B. 3

?

AP

BI ? BA | BA |
4

的值为( D.

C.

5

1 1 ? 1 ? x ? , x ? [0, ], ? ? ? 3 6 2 12.已知函数 f ( x) ? ? 3 函数 g ( x) ? a sin( x) ? 2a ? 2(a ? 0) , 6 ? 2 x , x ? ( 1 ,1]. ? x ?1 2 ? 若存在 x1 , x2 ? [0,1] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是( )
A. ? , ? 2 3

?1 4? ? ?

B. (0, ]

1 2

C. ? , ? 3 3

?2 4? ? ?

D. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

第 II 卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分)

? x 2 , x ? ?0,1? e ? 13.设 f ? x ? ? ? 1 (其中 e 为自然对数的底数) ,则 ? f ? x ?dx 的值为_______. 0 ? , x ? ?1, e? ?x
14. 如图 ?ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,
AD ? AC , sin ?BAC ? 2 2 , AB ? 3 2 , AD ? 3 ,则 BD 的长为 3



15.定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ?1? ? 1 ,且2 f ? ? x ? ? 1 ,当 x ??0, 2? ? 时,不等式

f ? 2 cos x ? ? 2 cos 2

x 1 ? 的解集为_______________ 2 2

2 2 16.在锐角 ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,已知 b ? 4c ? 8 ,

sin B ? 2sin C ? 6b sin A sin C ,则 ?ABC 的面积取最大值时有 a 2 ?
三、解答题(本题满分 75 分) 17. (本题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ? (1)求函数 y ? f ? x ? 的解析式; (2)将函数 y ? 3sin 2x ? cos 2x 的图象做怎样的平移变 以得到函数 f ? x ? 的图象; ( 3 )若方程 f ? x ? ? m在 ? ? m 的取值范围.



? ?

??

? 的部分图象如图所示. 2?

换 可

? ? ? , 0 上有两个不相等的实数 ? 2 ? ?

根,求

18. (本题满分 12 分)已知数列中 {an } 中, a1 ? 1, an?1 ?

an (n ? N *) an ? 3

(1)求证:数列 {

1 1 ? } 是等比数列,并求数列 {an } 的通项公式 an an 2
n ? a n ,数列 {bn } 的前 n 项和为 T n ,若不等式 2n

(2)若数列 {bn } 满足 bn ? (3 n ? 1) ?

( ?1) n ? ? Tn ?

n 对一切 n ? N * 恒成立,求 ? 的取值范围. 2 n ?1

2 x 19. (本题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? ax ? x ? 1 e ? a ? 0 ?

?

?

(1)讨论 f ? x ? 的单调性; (2)当 a ? ?1 时,函数 y ? f ? x ? 与g ? x ? ? 实数 m 的范围.

1 3 1 2 x ? x ? m 的图像有三个不同的交点,求 3 2

20. (本题满分 12 分)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,面积为 S ,已

C A 3 ? c cos 2 ? b . 2 2 2 (Ⅰ)求 a ? c ? 2b 的值;
知 a cos 2 (Ⅱ)若 B ?

?
3

, S ? 4 3 ,求 b .

21. (本题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ? x ? x
2

(1)求函数 f ? x ? 的单调递减区间; (2) 若对于任意的 x ? 0 , 不等式 f ? x ? ? ?

?a ? 2 求整数 a 的最小值. ? 1? x ? ax ? 1 的恒成立, ?2 ?

请考生在第(22),(23),(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 ( t 为参数),以坐标原点为极点, x 轴的正半 已知直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 3 ? 1 t ? ? 2
轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4 sin(? ? (Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程; (II)若 P( x, y ) 是直线 l 与圆面 ? ≤ 4 sin(? ?

?
6

).

?
6

) 的公共点,求 3x ? y 的取值范围.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
2 2 已知实数 a ? 0, b ? 0 ,且 a ? b ?

9 ,若 a ? b ? m 恒成立. 2

(Ⅰ)求实数 m 的最小值; (II)若 2 | x ? 1| ? | x |? a ? b 对任意的 a , b 恒成立,求实数 x 的取值范围.

河南省偃师高中 2016 届高三 11 月月考试卷
一 、选择题 :
1. 【答案】B 解析: x ? 2x ? 3 ? 0??1 ? x ? 3? A ? [?1,3]
2

log 2 ? x 2 ? x ? ? 1, x 2 ? x ? 2 ? 0 ? x ? ?1, 或x ? 2 B ? ? ??, ?1? ? ? 2, ???

A ? B ? ? 2,3?
2. 【答案】B 解析: f ? x ? 的图象关于 x ?

?
3

对称, f ' ?

?? ? ??0 ?3?

2? ? ? ? 2? ? ? cos ? ? ? ? ? 0? ? ? ? ? k? , k ? z,? ? ? ? k? , 3 2 6 ? 3 ?
k ? 0, ? ? ?

?
6

; k ? 1, ? ?

5? ; 6

3. 【答案】C 4. 【答案】 D 试题分析:由一元二次方程根与系数的关系得到 a+b=p,ab=q,再由 a,b,﹣2 这三个 数可适当排序后成等差数列, 也可适当排序后成等比数列列关于 a, b 的方程组, 求得 a, b 后得答案. 试题解析:解:由题意可得:a+b=p,ab=q, ∵p>0,q>0, 可得 a>0,b>0, 又 a,b,﹣2 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,

可得 解①得:

①或 ;解②得:

②. .

∴p=a+b=5,q=1×4=4, 则 p+q=9. 故选:D.

AC 5. 【答案】B 根据题意有 OB ? OC ? OB ? OA ? OC ? OA ,即 AB ?AC ?AB ?
从而得到 AB ? AC ,所以三角形为直角三角形,故选 B. 考点:向量的加减运算,向量垂直的条件,三角形形状的判断. 6. 【答案】C

??? ? ????

??? ? ??? ? ???? ??? ?

? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ?



??? ?

??? ?

解析: g ? x ? ? sin ? 令 k ? 0, x ? ? 7. 【答案】D

? ?? x ? ?1 x ? ? , ? ? k? ? x ? 2 k ? ? , k ? Z 3 6? 2 6 ?2

?
3
2x

解析: f ' ? 2 x ? ? 2e 值 8. 【答案】 B

? 2e ?2 x ? 4 ? 4 e x ? e ? x ? 4 ? 0 , f ? x ? 在 ? ??, ??? 上递增,无极



a ?a a11 ? ?1 可得 11 10 ? 0 ,由它们的前 n 项和 Sn 有最大值,可得数列 a10 a10

d ? 0,?a10 ? 0, a10 ? a11 ? 0, a11 ? 0 ,?a1 ? a19 ? 2a10 ? 0, a1 ? a20 ? a10 ? a11 ? 0 ,使得 Sn ? 0 的 n 的最大值为 n ? 19 .
9. 【答案】D 解析 : 当a ? 0时,f ? x ?min ? f ? a ? ? f ? 0? ,所以 a ? 0 ;

1 ? a ? 2 ? a ? f ? x ?min ? f ? 0 ? ? 2 ? a ? f ? 0 ? ? a 2 x 解得 ?1 ? a ? 2 ? 0 ? a ? 2 x ? 0, f ? x ? ? x ?
10. 【答案】A 解析:

f ? ?x ? ? ? f ? x ? , 又f ? x ?1? ? f ? ?x ?? f ? x ? 1? ? ? f ? x ?
1 是它的一条对称轴 2

所以 f ? x ? 是周期为 2 的周期函数,且 ? 0, 0 ? 是一个对称中心, x ?

3 (1, ) f ? x? ? 0 作出图像可知, f ( x ) 在区间 2 内是减函数,且
11. 【答案】B , 而

PA ? PC | PA |


?

PB ? PC | PB |





??? ? ??? ? ??? AC AP ? )( ? ? 0) ,即 AI ? ? ( ??? ? ? ??? ? ), 又 BI ? BA ? ? ( | AC | | AP | | AC | | AP |
AC AP

所以 I 在∠BAP 的角平分线上,由此得 I 是△ABP 的内心,过 I 作 IH⊥AB 于 H,I 为圆 心,IH 为半径,作△PAB 的内切圆,如图,分别切 PA,PB 于 E、F,

| PA | ? | PB |? 4 ,

| PA ? PB |? 10 , BH ? BF ?

????

??? ?

? ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? 1 ??? 1 ??? PB ? AB ? PA ? ? AB ? PA ? PB ? ? 3 , ? 2 2?

?

?

?

?

???? ??? ??? ? BH ???? BI ? BA ??? 在直角三角形 BIH 中, cos ?IBH ? ??? ,所以 ??? ? ? BI cos ?IBH ? BH ? 3 , | BA | BI
所以选 B

. 12. 【答案】A. 当 x ? ?0, ? 时 , f ? x ? ? ? x ? , 此 时 函 数 f(x) 单 调 递 减 , 则 有 3 6 2

? 1? ? ?

1

1

2 x3 1 ?1? ?1 ? ,此时 f ? x ?max ? f ? 0 ? ? , f ? x ?min ? f ? ? ? 0 , 当 x ? ? ,1? 时 , f ? x ? ? x ?1 6 ?2? ?2 ? 2 4 x 3 ? 6 x 2 2 x ? 2 x ? 3? ?1 ? f '? x? ? ? ? 0 , 则 函 数 f(x) 在 x ? ? ,1? 上 单 调 递 增 , 所 以 2 2 ?2 ? ? x ? 1? ? x ? 1?
1 ?1? f ? ? ? f ? x? ? f?1? ,即 ? f ? x ? ? 1 ,故函数f(x)在[0,1]上的值域为[0,1],因为 6 ?2? ? x2 ? ?x 1 ? , 所以 0 ? 所以 0 ? sin 2 ? , 由于a>0, 所以 g ? x ?min ? ?2a ? 2 x2 ??0,1? , 6 6 6 2 3 3 1 4 g ? x ? max ? ? a ? 2 ,故有0≤-2a+2≤1或 0 ? ? a ? 2 ? 1 ,解得 ? a ? ,所以选A. 2 2 2 3

二.填空题(每题 5 分,满分 25 分 ) 2 13.【答案】 ? 3
解析:

? f ? x ?dx ? ?
0

e

1

0

x dx ? ?
2

e

1

1 1 2 e ?1 ? dx ? ? x 3 ? ? ? ln x ?1 ? ? 1 ? ? x 3 3 ? 3 ?0

1

14. 【答案】 3

? AD ? AC,??DAC ? 90?,??BAC ? ?BAD ? ?DAC ? ?BAD ? 90? ,

? sin ?BAC ? sin ? ?BAD ? 90? ? ? cos ?BAD ?

2 2 ,在 ? BAD 中, 3

AB ? 3 2, AD ? 3 ,根据余弦定理得: BD2 ? AB2 ? AD2 ? 2 AB ? AD ? cos ?BAD ? 18 ? 9 ? 24 ? 3,? BD ? 3 .
? ? ? ? 5? ? ? ? ? , 2? ? ? 3? ? 3 ? 1 1 1 1 解:设 g ? x ? ? f ? x ? ? x, g ' ? x ? ? f ' ? x ? ? ? 0 , g ?1? ? f ?1? ? ? 2 2 2 2 1 1 2 x ? 可化为 f ? 2 cos x ? ? cos x ? , 即g ? 2 cos x ? ? g ?1? 不等式 f ? 2 cos x ? ? 2 cos 2 2 2
15.【答案】 ?0,

2 cos x ? 1, 即 cos x ? 所以 g ? x ? 单调递减,
8 2 3

1 ? ? ? ? 5? ? ,? x ? ?0, ? ? ? , 2? ? 2 ? 3? ? 3 ?

16. 【答案】 5 ?

由 sinB+2sinC=6bsinAsinC,得 b ? 2c ? 6bc sin A ,即 sin A ?

b ? 2c ,所以 6bc

1 b ? 2c 2 b2 ? 4c 2 1 S? ABC ? bc sin A ? ? ? ,当且仅当 b=2c,即 b=2,c=1 时等号成 2 12 12 3
立,此时 sin A ?

1 2 2 ,则 cos A ? ,所以 3 3

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 5 ? 4 ?
三解答题(75 分) 17.(本题满分 12 分)

2 2 8 2 . ? 5? 3 3

解析: (1) A ? 2, -------1 分

2? ?? ? ? T ? 4? ? ? ? ? ? ? ? , ? ? 2 ---------------------3 分 ? ? 3 12 ? 2? ?? ? ? 2? ? ? f ? ? ? 0 ? sin ? ? ? ? ? 0 ?? ? ? k? , k ? Z 因为 | ? |? 2 3 ?3? ? 3 ?

??

? -------------------------------------------------------5 分 3

?? ? f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? ---------------6 分 3? ?
(2) y ? 3 sin 2 x ? cos2 x ? 2 sin? 2 x ?

? ?

??

? ? ?? ?? ? ? 2 sin ?2? x ? ? ? ? 6? 4 ? 3? ? ?

将函数 y ? 3sin 2x ? cos 2 x 的图像向左平移 (3) ?

?
2

? x ? 0, ?

2? ? ? ? 2 x ? ? , ?2 ? f ? x ? ? 3 -------------11 分 3 3 3

? 个单位就得到函数 f ( x) 的图象----9 分 3

? 若 方程 f ( x) ? m 在 [? ,0] 上有两个不相等的实数根, ?2 ? m ? ? 3 --------12 分 2

1 an ? 3 1 ? a n ?1 2 an 2 ? ? 3, 18. (1)证明:由已知得 1 1 1 1 ? ? an 2 an 2 1 ?
所以数列 { (2) bn ?

2 1 1 ? } 是等比数列, a n ? n 3 ?1 an 2 n 2
n ?1

,又错位相减得 Tn ? 4 ?

n?2 2 n ?1
为单调递增

代入得 ( ?1) n ? ? 4 ?

2
n ?1

2 当 n 是偶数时 ? ? 4 ? 1 ? 3

,易证 4 ?

2 2 n ?1

当 n 是奇数时 ? ? ? 4 ? 2 ? 2, ? ? ?2 所以 ? 2 ? ? ? 3 19(本题满分 12 分)
解析: (1) f ' ? x ? ? [ax2 ? ? 2a ?1? x]ex ? x ? ax ? 2a ? 1? e x ? a ? 0?

f ' ? x ? ? 0, x1 ? 0, x2 ? ?2 ?
① a ? ? , f '? x? ? ? ②?

1 -----------------------------2 分 a

1 2

1 2 x x e ? 0 , f ? x ? 在 ? ??, ??? 上递减;---------4 分 2

1 1? 1 ? ? ? ? a ? 0, x1 ? x2 , f ? x ? 在 ? ??,0? 上递减;在 ? 0, ?2 ? ? 上递增,在 ? ?2 ? , ?? ? 2 a? a ? ? ? 1 1 ? 1? ? ? , x2 ? x1 , f ? x ? 在 ? ??, ?2 ? ? 上递减;在 ? ?2 ? , 0 ? 上递增,在 ? 0, ??? 上 2 a ? a? ? ?

上递减-------------------------6 分 ③a ? ?

递减---------------------------------------------------7 分

(2) a ? ?1 ,函数 y ? f ? x ? 与g ? x ? ?

1 3 1 2 x ? x ?m 3 2
2

的图像有三个不同的交点,等价于 ? m ? x ? x ? 1 e ?
x

?

?

1 3 1 2 x ? x 有三个不同的根 3 2

设 h ? x? ? x ? x ?1 e ?
2 x

?

?

1 3 1 2 x ? x -----------------------8 分 3 2

h ' ? x ? ? x ? x ? 1? ? e x ? 1? ,函数 h ? x ? 在? ??, ?1? ?, ? ?1,0? ?, ? 0, ??? ?

3 1 h ? x ?极大 =h ? ?1? ? ? , h ? x ?极小 =h ? 0 ? ? 1 -----------------10 分 e 6
当? ?

3 1 1 1 ? m ? ?1 时方程 ?m ? ? x 2 ? x ? 1? e x ? x3 ? x2 有三个不同的根 e 6 3 2
2

----------------------------------------------------------12 分 20.(Ⅰ)由正弦定理得 sin A cos

C A 3 ? sin C cos 2 ? sin B ,可得 2 2 2

因为 sin( A ? C ) ? sin B , 所以 sin A ? sin C ? 2sin B sin A ? sin C ? sin( A ? C) ? 3sin B , 即可求出结果; (Ⅱ)因为 S ?

1 3 3 ,所以 ac ? 16 ,又由余弦定理 ac sin B ? ac ? 2 4 4

和由(Ⅰ)得 a ? c ? 2b ,可得 b2 ? 4b2 ? 48 ,即可求出结果. 试题解析:解: (Ⅰ)由正弦定理得 sin A cos 2 即 sin A

C A 3 ? sin C cos 2 ? sin B 2 2 2

1 ? cos C 1 ? cos A 3 ? sin C ? sin B 2 2 2 所以 sin A ? sin C ? sin A cos C ? cos A sin C ? 3sin B
即 sin A ? sin C ? sin( A ? C ) ? 3sin B 因为 sin( A ? C ) ? sin B ,所以 sin A ? sin C ? 2sin B 由正弦定理得 a ? c ? 2b ? 0 ; (Ⅱ)因为 S ?

1 3 3 ,所以 ac ? 16 , ac sin B ? ac ? 2 4 4

又由余弦定理有 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ? a2 ? c2 ? ac ? (a ? c)2 ? 3ac 由(Ⅰ)得 a ? c ? 2b ,所以 b2 ? 4b2 ? 48 ,得 b ? 4 .

20(本题满分 13 分)

1 ?2 x 2 ? x ? 1 (Ⅰ)解: (Ⅰ) f ?( x) ? ? 2 x ? 1 ? ( x ? 0) , x x
由 f ?( x) ? 0 ,得 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 , 又 x ? 0 ,所以 x ? 1 . 所以 f ( x) 的 f ( x) 的单调减区间为 (1, ??) .------------4 分 (Ⅱ)令 g ( x) ? f ( x) ? [( ? 1) x 2 ? ax ? 1] ? ln x ? ax 2 ? (1 ? a) x ? 1, 所以 g ?( x) ?

a 2

1 2

1 ?ax 2 ? (1 ? a) x ? 1 . ? ax ? (1 ? a) ? x x

当 a ≤ 0 时,因为 x ? 0 ,所以 g ?( x) ? 0 . 所以 g ( x) 在 (0, ??) 上是递增函数, 又因为 g (1) ? ln1 ?

1 3 a ?12 ? (1 ? a) ? 1 ? ? a ? 2 ? 0 , 2 2
a 2

所以关于 x 的不等式 f ( x ) ≤ ( ? 1) x 2 ? ax ? 1 不能恒成立.????????6 分

?ax2 ? (1 ? a) x ? 1 当 a ? 0 时, g ?( x) ? ?? x
令 g ?( x) ? 0 ,得 x ?

1 a( x ? )( x ? 1) , a x

1 . a

所以当 x ? (0, ) 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? ( , ?? ) 时, g ?( x) ? 0 ,

1 a

1 a

因此函数 g ( x) 在 x ? (0, ) 是增函数,在 x ? ( , ?? ) 是减函数.

1 a

1 a

故函数 g ( x) 的最大值为 g ( ) ? ln

1 a

1 1 1 1 1 ? a ? ( ) 2 ? (1 ? a) ? ? 1 ? ? ln a . a 2 a a 2a

??????????????????????????8 分 令 h( a ) ?

1 ? ln a , 2a 1 1 ? 0 , h(2) ? ? ln 2 ? 0 ,又因为 h(a) 在 a ? (0, ??) 是减函数. 2 4

因为 h(1) ?

所以当 a ≥ 2 时, h(a) ? 0 .

所以整数 a 的最小值为 2. 解法二. x ? ?0,???, f ?x ? ? ? 所以 f ?1? ?

?????????????????????12 分

?a ? 2 ? 1? x ? ax ? 1恒成立 ?2 ?

3a 4 ? 2? a ? 2 3

又 a ? Z ,? a ? 2 (必要性),----------------------------------------4 分 下面证明充分性,当 a ? 2 时, 设 g ?x ? ? f ?x ? ? ?

a ?a ? 2 ? 1? x ? ax ? 1 ? ln x ? x 2 ? ?1 ? a ?x ? 1 2 ?2 ?

1? ? ? a? x ? ?? x ? 1? 1 a? ? g ' ? x ? ? ? ax ? 1 ? a ? x x

? 1? ?1 ? x ? ? 0, ?, g ' ?x ? ? 0, g ?x ?递增; x ? ? ,?? ?, g ' ?x ? ? 0, g ?x ?递减 ------8 分 ? a? ?a ? 1 1 1? a 1 ?1? g ?x ? ? g ?x ?max ? g ? ? ? ln ? ? ?1 ? ? ln a ? 0 ---------13 分 a 2a a 2a ?a?
所以不等式成立 22. (Ⅰ) ∵ ? ? 4 ? (

3 1 sin ? ? cos ? ) ? 2 3 sin ? ? 2sin ? 2 2
∴ ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 . ………… 5 分

2 2 ? 2 ? 2 3y ? 2 x ?x ?y ,

(Ⅱ) ∵ (?1 ?

3 1 t ? 1)2 ? ( 3 ? t ? 3) 2 ? 0 , 2 2
3 1 t ? 3 ? t ? ?t , 2 2
……..10 分

∴ ?2 ? t ? 2 ,∴ 3 x ? y ? ? 3 ? ∴ ?2 ? 3x ? y ? 2 .

23. (Ⅰ)∵

a?b a 2 ? b2 3 ? ? 当且仅当 a ? b 时, (a ? b)max ? 3 ∴ m ? 3 , 2 2 2
………… 5 分

m 的最小值为 3.

?3x ? 2, x ? 1 5 ? (Ⅱ)令 f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? ?2 ? x, 0 ? x ? 1 ,当 3 x ? 2 ? 3时x ? ; 3 ? 2 ? 3 x, x ? 0 ?

当 2 ? x ? 3时x ? ?1 (舍去);当 2 ? 3 x ? 3时x ? ? 综上: x ? ? 或 x ?

1 . 3

1 3

5 . 3

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