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江苏省2015届高三数学一校四题卷 通州中学


一校四题(通州中学) 1.如果直线 ax-by+5=0(a>0,b>0)和函数 f(x)= m x ?1 ? 1 (m>0,m≠1)的图像恒过 ab 1 85 同一个定点,且该定点始终落在 ( x ? a ? 1)2 ? ( y ? b ? )2 ? 的内部或圆上,那么 的取 2 4 2a ? b 值范围是________________. [ 3 , 5 ] 7 9 2.如图,制图工程师要用两个同中心的边长均为 4 的正方形合成一个八角形图形.由对称性, 图中 8 个三角形都是全等的三角形,设 ?AA 1 H1 ? ? . (1)试用 ? 表示 ?AA 1 H 1 的面积; (2)求八角形所覆盖面积的最大值,并指出此时 ? 的 大小. 解: (1)设 AH1 为 x ,∴ x ? A B B1 C D E C1 D1 E1 A1 H1 G1 F1 F H G 4sin ? , sin ? ? cos ? ? 1 ? 1 x2 8sin ? cos ? , ? ? (0, ) , S AA1H1 ? ? ? 2 2 2 tan ? ? sin ? ? cos ? ? 1? x? (2)令 t ? sin ? ? cos ? ? (1, 2] , 只需考虑 S 当t ? AA1H1 x x ? ? 4, sin ? tan ? 取到最大值的情况,即为 S ? AA1H1 4 ? t 2 ? 1? ? t ? 1? 2 ?4? 8 , t ?1 2 , 即 ? ? 45? 时, S 2 2 达到最大 此时八角形所覆盖面积的最大值为 64 - 32 3.椭圆 C: 2 . ] 1 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的长轴是短轴的两倍,点 A( 3, ) 在椭圆上.不过 2 2 a b 原点的直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点,设直线 OA、l、OB 的斜率分别为 k1 、 k 、 k 2 ,且 k1 、 k 、 k 2 恰好构成等比数列,记△ ABC 的面积为 S. (1)求椭圆 C 的方程. (2)试判断 OA ? OB 是否为定值?若是,求出这个值;若不是,请说明理由? (3)求 S 的最大值. 2 2 3 1 x2 2 ? y2 ? 1 解: (1)由题意可知 a ? 2b 且 2 ? 2 ? 1 ? b ? 1 ,所以椭圆的方程为 a 4b 4 ? y ? kx ? m (2)设直线 l 的方程为 y ? kx ? m , A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) 由 ? 2 ? 2 ?x ? 4 y ? 4 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 ?8km ? x1 ? x2 ? ? ? 1 ? 4k 2 2 2 且 ? ? 16(1 ? 4k ? m ) ? 0 ? 2 ? x ? x ? 4m ? 4 ? 1 2 1 ? 4k 2 ? k1、k、k2 恰好构成等比数列. y y (kx ? m)(kx2 ? m) ? k 2 ? k1k2 ? 1 2 = 1 x1 x2 x1 x2 2 2 ?8k 2 m2 m ?1 ? 4k ? 即k ? k ? ? ? ?4k 2 m2 ? m2 ? 0 2 2 4m ? 4 4m ? 4 1 1 ?k2 ? ? k ? ? 2 4 ? x1 ? x2 ? ?2m 此时 ? ? 16(2 ? m2 ) ? 0 ,即 m ? ? 2, 2 ? ? 2 ? x1 ? x2 ? 2m ? 2 2 2 2 2 3 2

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