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推理与证明5


宁阳四中

高二数学

选修 1-2

2013 年





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第二章 推理与证明

§ 2.2.2 反证法
学习目标
1. 结合已经学过的数学实例,了解间接证明的一种基本方法——反证法; 2. 了解反证法的思考过程、特点; 3. 会用反证法证明问题. 一、课前准备 (预习教材 P89~ P91,找出疑惑之处) 复习 1:直接证明的两种方法: 和 ; 复习 2: 是间接证明的一种基本方法. 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:反证法 问题(1):将 9 个球分别染成红色或白色,那么无论怎样染,至少有 5 个球是同色的,你能证明这个结 论吗? 问题(2):三十六口缸,九条船来装,只准装单,不准装双,你说怎么装?

例 2 求证:一个三角形中,至少有一个内角不少于 60? .

※ 动手试试
练 1. 如果 x ?

1 ,那么 x2 ? 2 x ? 1 ? 0 . 2

新知:一般地,假设原命题 ,经过正确的推理,最后得出 证明了原命题 .这种证明方法叫 . 试试: 证明: 2, 3, 5 不可能成等差数列.

,因此说明假设

,从而

练 2. ?ABC 的三边 a , b, c 的倒数成等差数列,求证: B ? 90? .

反思:证明基本步骤:假设原命题的结论不成立 → 从假设出发,经推理论证得到矛盾 → 矛盾 的原因是假设不成立,从而原命题的结论成立 方法实质:反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的,即由一个命题与其逆否命 题同真假,通过证明一个命题的逆否命题的正确,从而肯定原命题真实. ※ 典型例题 例 1 已知 a ? 0 ,证明 x 的方程 ax ? b 有且只有一个根.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 反证法的步骤:①否定结论;②推理论证;③导出矛盾;④肯定结论. 2. 反证法适用于证明“存在性,唯一性,至少有一个,至多有一个”等字样的一些数学问题.
1

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第二章 推理与证明

※ 当堂检测 1. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于 60? ”时,反设正确的是( ). A.假设三内角都不大于 60? B.假设三内角都大于 60? C.假设三内角至多有一个大于 60? D.假设三内角至多有两个大于 60? 2. 实数 a , b, c 不全为 0 等价于为( ). A. a , b, c 均不为 0 B. a , b, c 中至多有一个为 0 C. a , b, c 中至少有一个为 0 D. a , b, c 中至少有一个不为 0 1 1 1 3.设 a , b, c 都是正数,则三个数 a ? , b ? , c ? ( ) b c a A.都大于 2 B.至少有一个大于 2 C.至少有一个不小于 2 D.至少有一个不大于 2 4. 用 反 证 法 证 明 命 题 “ 自 然 数 a , b, c 中 恰 有 一 个 偶 数 ” 的 反 设 为 . 2 5. “ x ? 4 ”是“ x ? 4 x ? 0 ”的 条件.

课后作业
1. 已知 x, y ? 0 ,且 x ? y ? 2 .试证:
1? x 1? y , 中至少有一个小于 2. y x

2. 证明 2 不是有理数.

2


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