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指数函数及其性质常见题型


——习题课
题型一:与指数有关的复合函数的定义域和值域
1、 含指数函数的复合函数的定义域 (1) 由于指数函数 y ? a x ?a ? 0, 且a ? 1? 的定义域是 R ,所以函数 y ? a f ? x ? 的定义域与 f ?x ? 的定义域相同. (2) 对于函数 y ? f a x ?a ? 0, 且a ? 1?的定义域,关键是找出 t ? a

的值域哪些部分 y ? f ?t ? 的定义域中.
x

? ?

2、 含指数函数的复合函数的定义域 (1) 在求形如 y ? a f ? x ? ?a ? 0, 且a ? 1? 的函数值域时,先求得 f ?x ? 的值域(即 t ? f ?x ? 中 t 的范围) ,再根 据 y ?a t 的单调性列出指数不等式,得出 a 的范围,即 y ? a f ? x ? 的值域.
t

(2) 在求形如 y ? f a x

? ? ?a ? 0, 且a ? 1? 的函数值域时,易知 a
x

x

? 0 (或根据 y ? f a x 对 x 限定的更加具

? ?

体的范围列指数不等式,得出 a 的具体范围) ,然后再 t ? ?0,??? 上,求 y ? f ?t ? 的值域即可. 【例】求下列函数的定义域和值域. (1) y ? 0.4
1 x ?1



(2) y ? 3

5 x?1



(3) y ? 1 ? a x .

题型二:利用指数函数的单调性解指数不等式
解题步骤: (1)利用指数函数的单调性解不等式,首先要将不等式两端都凑成底数相同的指数式. (2) a f ? x ? ? a g ? x ? ? ?

? f ?x ? ? g ?x ? , a ? 1 ? f ?x ? ? g ?x ? , 0 ? a ? 1
(2)已知 a x
2

【例】 (1)解不等式 ? ?

?1? ? 2?

3 x ?1

? 2;

?3 x?1

? a x?6 ?a ? 0, a ? 1? ,求 x 的取值范围.

题型三:指数函数的最值问题
解题思路:指数函数在定义域 R 上是单调函数,因此在 R 的某一闭区间子集上也是单调函数,因此在区间的两 个端点处分别取到最大值和最小值.需要注意的是,当底数未知时,要对底数分情况讨论. 【例】函数 f ?x? ? a x ?a ? 0 , a ? 1?在 ?1 , 2?上的最大值比最小值大

a ,求 a 的值. 2

题型四:与指数函数有关的单调性
1、研究形如 y ? a f ? x ? ?a ? 0, 且a ? 1? 的函数的单调性时,有如下结论: (1)当 a ? 1 时,函数 y ? a f ? x ? 的单调性与 f ?x ? 的单调性相同;
f ?x? (2)当 0 ? a ? 1 时,函数 y ? a 的单调性与 f ?x ? 的单调性相反.

2、研究形如 y ? ? a

? ? ?a ? 0, 且a ? 1? 的函数的单调性时,有如下结论:
x

x (1)当 a ? 1 时,函数 y ? ? a 的单调性与 y ? ? ?t ? 的单调性相同; x (2)当 0 ? a ? 1 时,函数 y ? ? a 的单调性与 y ? ? ?t ? 的单调性相反.

? ?

? ?

注意:做此类题时,一定要考虑复合函数的定义域. 【例】1.已知 a ? 0, 且a ? 1 ,讨论 f ?x? ? a ? x
2

?3 x ? 2

的单调性.

2.求下列函数的单调区间. (1) y ? a x
2

?2 x ?3



(2) y ?

1 0 .2 x ? 1

题型五:指数函数与函数奇偶性的综合应用
虽然指数函数不具有奇偶性, 但一些指数型函数可能具有奇偶性, 对于此类问题可利用定义进行判断或证明. 【例】1. 已知函数 f ? x ? ?

1 ? a 为奇函数,则 a 的值为 . 3 ?1 1 ?x ? R ? 是奇函数,则实数 a 的值为 2. 已知函数 f ? x ? ? a ? 1? 2x 1 1 ? ?a ? 0 , a ? 1? ,判断函数 f ?x ? 的奇偶性. 3. 已知函数 f ? x ? ? x a ?1 2
x

.

题型六:图像变换的应用
1、平移变换:若已知 y ? a 的图像,
x

(1)把 y ? a 的图像向左平移 b 个单位,则得到 y ? a
x

x ?b

的图像; 的图像;

(2)把 y ? a 的图像向右平移 b 个单位,则得到 y ? a
x x

x ?b

(3)把 y ? a 的图像向上平移 b 个单位,可得到 y ? a ? b 的图像;
x

(4)把 y ? a 的图像向下平移 b 个单位,则得到 y ? a ? b 的图像.
x x

2、对称变换:若已知 y ? a x 的图像, (1)函数 y ? a x 的图像与 y ? a ? x 的图像关于 y 轴对称; (2)函数 y ? a x 的图像与 y ? ?a x 的图像关于 x 轴对称; (3)函数 y ? a x 的图像与 y ? ?a ? x 的图像关于坐标原点对称. 【例】1. 画出下列函数的图象,并说明它们是由函数 y ? 2 x 的图像经过怎样的变换得到的.
x ① y ? 2 x?1 ;② y ? 2 x ? 1 ;③ y ? 2 ;④ y ? 2 ? 1 ;⑤ y ? ?2 x ;⑥ y ? ?2 ? x

x

2. 函数 y ? x ? a 与 y ? a x ?a ? 0, 且a ? 1? 的图像可能是(



A

B

C

D

x 3. 若 直 线 y ? 2a 与 函 数 y ? a ? 1 ? 1 ?a ? 0, 且a ? 1? 的 图 像 有 两 个 公 共 点 , 则 a 的 取 值 范 围



.


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