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四川省德阳市2014-2015学年高二下学期期末数学试卷(文科)


四川省德阳市 2014-2015 学年高二下学期期末数学试卷 (文科)
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一个项是符合题目要求的。 ) 1.复数 A.1+i (i 为虚数单位)的共轭复数为( B.1﹣i ) C.﹣1+i D.﹣1﹣i

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:计算题.

分析:复数分母实数化,然后求出复数的共轭复数即可. 解答: 解: = =1+i.

∴所求复数的共轭复数为:1﹣i. 故选:B. 点评:本题考查复数的基本运算,复数的基本概念,考查计算能力. 2.已知集合 P={x|y=lg(2﹣x)},Q={x|x ﹣5x+4≤0},则 P∩Q=( A.{x|1≤x<2} B.{x|1<x<2} C.{x|0<x<4}
2

) D.{x|0≤x≤4}

考点:一元二次不等式的解法;对数函数的定义域. 专题:集合. 分析:先求出集合 P 与集合 Q,再进行交集运算即可. 解答: 解:∵2﹣x>0, ∴x<2. ∴P={x|x<2}, 2 解 x ﹣5x+4≤0,得 ﹣4≤x≤﹣1, 则 Q={x|1≤x≤4}, ∴P∩Q={x|1≤x<2}. 故选:A. 点评: 本题考查交集及其运算以及对数函数的定义域和不等式的解法, 正确化简集合 P 和 Q 是解题的关键. 3.执行如图所示的程序框图,若输入如下四个函数: ①f(x)=sinx ②f(x)=cosx ③f(x)=

④f(x)=log2x 则输出的函数是(

)

A.f(x)=sinx

B.f(x)=cosx

C.f(x)=

D.f(x)=log2x

考点:余弦函数的奇偶性. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:由程序框图可得,本题输出的结果是存在零点的奇函数,再利用所给函数的奇偶性、 零点,从而得出结论. 解答: 解: 由程序框图可得, 本题输出的结果是存在零点的奇函数, 二所给的 4 个函数中, 只有 f(x)=sinx 是存在零点的奇函数, 其余的三个函数都不满足此条件,②f(x)=cosx 是偶函数;③f(x)= 是奇函数但它没 有零点;④f(x)=log2x 是非奇非偶函数, 故选:A. 点评:本题主要考查程序框图,三角函数的奇偶性、函数的零点的定义,术语基础题. 4.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的左视图( )

A.

B.

C.

D.

考点:简单空间图形的三视图. 专题:作图题;压轴题. 分析:根据三视图的特点,知道左视图从图形的左边向右边看,看到一个正方形的面,在面 上有一条对角线,对角线是由左下角到右上角的线,得到结果. 解答: 解:左视图从图形的左边向右边看, 看到一个正方形的面, 在面上有一条对角线,

对角线是由左下角到右上角的线, 故选 D. 点评:本题考查空间图形的三视图,考查左视图的做法,本题是一个基础题,考查的内容比 较简单,可能出现的错误是对角线的方向可能出错. 5.以(2,﹣1)为圆心且与直线 3x﹣4y+5=0 相交所得弦长为 8 的圆的标准方程为(
2

)

A. (x﹣2) +(y+1) =9 2 2 =25 D. (x+2) +(y﹣1) =25

2

2

B. (x+2) +(y﹣1) =9 C. (x﹣2) +(y+1)

2

2

2

考点:直线与圆相交的性质. 专题:直线与圆. 分析:设圆的半径为 r,由题意可得弦心距 d= = ,求得 r 的值,可得圆的

标准方程. 解答: 解:设圆的半径为 r,由于(2,﹣1)为圆心,弦长为 8,可得弦心距 d= = ,
2 2

求得 r=5,可得圆的标准方程为(x﹣2) +(y+1) =25, 故选:C. 点评:本题主要考查直线和圆相交的性质,点到直线的距离公式,弦长公式的应用,术语中 档题.

6.已知 a 是实数,则 <1 是 a>1 的(

)

A.既不充分又不必要条件 B.充要条件 C.充分不必要条件 D.必要不充分条件 考点:充要条件. 专题:简易逻辑. 分析:解出关于 a 的不等式,结合充分必要条件的定义,从而求出答案. 解答: 解:解不等式 <1 得:a<0 或 a>1, 故 <1 是 a>1 的必要不充分条件, 故选:D. 点评:本题考查了充分必要条件,考查解不等式问题,是一道基础题. 7.将函数 f (x)=sin2x (x∈R)的图象向右平移 的一个单调递增区间是( A. (﹣ ,0) ) ) C. ( , ) D. ( ,π)

个单位,则所得到的图象对应的函数

B. (0,

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;复合三角函数的单调性.

专题:计算题. 分析:将函数 f (x)=sin2x (x∈R)的图象向右平移 =sin2(x﹣ 个单位,可得到 g(x)=f (x﹣ )

)=﹣cos2x (x∈R) ,求得其单调递增区间,再判断即可.

解答: 解:f (x)=sin2x (x∈R) ﹣ )=﹣cos2x=cos(2x+π ) (x∈R) ,

g(x)=f (x﹣

)=sin2(x

∵g(x)=cos(2x+π )的单调递增区间由 2kπ﹣π≤2x+π≤2kπ 得:kπ﹣π≤x≤kπ﹣ ∴当 k=1 时,0≤x≤ .而(0, )?[0, ],

(k∈Z) .

故选 B. 点评:本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,关键在于掌握图象变换的规则(方向与 单位) ,属于中档题. 8.设 b、c、m 是空间色三条不同直线,α、β、γ 是空间的三个不同平面,在下面给出的四 个命题中,正确的命题是( ) A.若 b⊥m,c⊥m,则 b∥c B.m∥a,α⊥β,则 m⊥β C.若 b⊥α,c∥α,则 b⊥c D.若 β⊥α,γ⊥β,则 γ∥α 考点:四种命题. 专题:空间位置关系与距离. 分析:①若 b⊥m,c⊥m,则 b∥c,由线线平行的条件判断;②若 m∥α,α⊥β,则 m⊥β, 由线面垂直的条件判断; ③若 b⊥α,c∥α,则 b⊥c,由线面垂直的条件判断;④若 β⊥α,γ⊥β,则 γ∥α,由面面 垂直的条件判断; 解答: 解:①若 b⊥m,c⊥m,则 b∥c,此命题不正确,因为垂直于同一条直线的两条 直线可能相交,平行异面; ②若 m∥α,α⊥β,则 m⊥β,此命题不正确,在此条件下,m∥β 也是可以的; ③若 b⊥α,c∥α,则 b⊥c,此命题正确,因为垂直于同一平面的两条直线一定平行; ④若 β⊥α,γ⊥β,则 γ∥α,此命题不正确,可能平行也可能相交; 故选:C. 点评: 本题考查空间中直线与平面之间的位置关系, 解题的关键是有着较好的空间想像能力, 以及对每个命题涉及的定理定义等熟练掌握并能灵活运用它们解题. 9.直线 4kx﹣4y﹣k=0 与抛物线 y =x 交于 A,B 两点,若|AB|=4,则弦 AB 的中点到直线 x=﹣ 的距离等于( A. ) B. C .2 D.4
2

考点:直线与圆锥曲线的关系. 专题:直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标与准线方程, 确定直线 AB 为过焦点的直线, 根据抛物线的定义求得 AB 的中点到准线的距离,即可求得结论. 解答: 解:直线 4kx﹣4y﹣k=0 可化为 k(4x﹣1)﹣4y=0, 故可知直线恒过定点( ,0) ∵抛物线 y =x 的焦点坐标为( ,0) , 准线方程为 x=﹣ , ∴直线 AB 为过焦点的直线, ∴AB 的中点到准线的距离 = =2,
2

∴弦 AB 的中点到直线 x=﹣ 的距离等于 2+ = . 故选 B. 点评: 本题主要考查了抛物线的简单性质. 涉及抛物线的焦点弦的问题常需用抛物线的定义 来解决. 10.已知两个实数 a、b(a≠b)满足 ae =be ,命题 p:lna+a=lnb+b;命题 q: (a+1) (b+1) <0.则下面命题是真命题的是( ) A.p∨(¬q) B.p∧(¬q) C.p∨q D.p∧q 考点:复合命题的真假. 专题:简易逻辑. a b x 分析:由已知 ae =be 可联想构造函数 y=xe ,求导后由函数的单调性结合 x<﹣1 时 y 恒小 于 0 可得 a,b 均小于 0 而且一个比﹣1 大一个比﹣1 小,由此可以得到选项. x 解答: 解:构造函数 y=xe , x x x 则 y′=e +xe =(x+1)e , x ∵e >0, x ∴当 x<﹣1 时,y′<0,函数 y=xe 为减函数, x 当 x>﹣1 时,y′>0,函数 y=xe 为增函数, a b 要使 ae =be , 则 a,b 必须均小于 0 而且一个比﹣1 大一个比﹣1 小, ∴命题 p 为假命题,命题 q 为真命题. 故选:C. 点评:本题考查命题的真假判断与应用,训练了函数构造法,考查了利用导数研究函数的单 调性,是中档题. 二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11.用系统抽样法从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本,将 160 名学生从 1 到 160 编号, 按编号顺序平均分成 20 段(1~8 号,9~16 号,…,153~160 号) .若第 16 段应抽出的号 码为 125,则第 1 段中用简单随机抽样确定的号码是 5.
a b

考点:系统抽样方法. 专题:概率与统计. 分析:由系统抽样的法则,可知第 n 组抽出个数的号码应为 x+8(n﹣1) ,即可得出结论. 解答: 解:由题意,可知系统抽样的组数为 20,间隔为 8,设第一组抽出的号码为 x,则 由系统抽样的法则,可知第 n 组抽出个数的号码应为 x+8(n﹣1) ,所以第 16 组应抽出的号 码为 x+8(16﹣1)=125,解得 x=5. 故答案为:5. 点评:系统抽样形象地讲是等距抽样,系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况,系统抽 样属于等可能抽样. 12.△ ABC 中,a=2,∠A=30°,∠C=45°,则△ ABC 的面积 S 的值是 考点:三角形的面积公式. 专题:解三角形. 分析:由正弦定理可得 值,由 S△ ABC = acsinB 运算结果 解答: 解:B=180°﹣30°﹣45°=105°, 由正弦定理可得 ∴c=2 . = × , = +1, , ,求出 c 值,利用两角和正弦公式求出 sinB 的 +1.

sinB=sin(60°+45°)=

则△ ABC 的面积 S△ ABC = acsinB= ×2×2

故答案为: +1 点评:本题考查两角和正弦公式,正弦定理的应用,求出 sinB 的值,是解题的关键.

13.已知双曲线



=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y=x,它的一个焦点在抛物

线 y =24x 的准线上,则双曲线的方程为

2



考点:抛物线的简单性质;双曲线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:由抛物线标准方程易得其准线方程为 x=﹣6,可得双曲线的左焦点为(﹣6,0) ,再 根据焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程是 y=x, 得 a、 b 的另一个方程, 求出 a、 b,即可得到双曲线的标准方程. 2 解答: 解:因为抛物线 y =24x 的准线方程为 x=﹣6,所以由题意知,点 F(﹣6,0)是 双曲线的左焦点,

所以 a +b =c =36,① 又双曲线的一条渐近线方程是 y=x,所以 a=b,② 由①②解得 a =18,b =18, 所以双曲线的方程为 .
2 2

2

2

2

故答案为:



点评:本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质,考查学生的计算能力,属于基 础题. 14.在棱长都相等的四面体 ABCD 中,E、F 分别是 CD、BC 的中点,则异面直线 AE、DF 所成角的余弦值是 .

考点:余弦定理的应用;异面直线及其所成的角. 专题:解三角形;空间角. 分析:画出四面体 ABCD,并设 BC=4,取 CF 的中点为 M,则∠AEM 或其补角便是异面直 线 AE、DF 所成角,这时候可以求出 CM,CE,ME,而由余弦定理可以求出 AM,从而在 △ AEM 中由余弦定理即可求出 cos∠AEM,这便得到异面直线 AE、DF 所成角的余弦值. 解答: 解:如图, 设 BC=4,取 CF 中点 M,连接 AM,ME; ∵E 是 CD 中点; ∴ME∥DF; ∴∠AEM 或其补角便是异面直线 AE,DF 所成角; 则: , , ,CE=2,CM=1; 2 2 2 ∴在△ ACM 中,由余弦定理得:AM =CA +CM ﹣2CA?CM?cos60°=16+1﹣4=13; ∴在△ AME 中,由余弦定理得:cos∠AEM= ∴异面直线 AE、DF 所成角的余弦值是 . 故答案为: . ;

点评:考查异面直线所成角的概念及其求法,清楚异面直线所成角的范围,等边三角形的中 线也是高线,直角三角形边角的关系,以及余弦定理的应用. 15.下列命题中正确的序号是②③ ①平面向量 与 的夹角为 60°, =(2,0) ,| |=1,则 在 上的投影为 .

②有一底面积半径为 1,高为 2 的圆柱,点 O 为这个圆柱底面的圆心,在这个圆柱内随机 抽取一点 P,则点 P 到 O 点的距离大于 1 的概率为 . ③命题:“?x∈(0,+∞) ,不等式 cosx>1﹣ x 恒成立”是真命题.
2

④在约束条件 大值等于 .

下,目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 6,则

的最

考点:命题的真假判断与应用. 专题:综合题. 分析:①根据投影公式代入求出即可判断;②根据球和圆柱的体积公式求出即可;③构造 函数,求出函数的导数,得到函数的单调性,从而得到结论;④画出平面区域,结合基本 不等式的性质从而求出代数式的最大值. 解答: 解:①则 在 上的投影为:| |cos60°=2× =1,故①错误; ②∵到点 O 的距离等于 1 的点构成一个球面,如图,



则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为: P= 故②正确; ③构造函数 h(x)=cosx﹣1+ x ,h′(x)=﹣sinx+x,h″(x)=﹣cosx+1≥0,∴h′(x)在 (0,+∞)上单调增 ∴h′(x)>h′(0)=0,∴函数 h(x)在(0,+∞)上单调增,∴h(x)>0, ∴cosx>1﹣ x ,即不等式恒成立, 故③正确; ④:约束条件对应的平面区域如图
2 2

=

=

= ,

3 个顶点是(1,0) , (1,2) , (﹣1,2) , 由图易得目标函数在(1,2)取最大值 6, 此时 a+2b=6, ∵a>0,b>0,∴由不等式知识可得:a+2b=6≥2 ∴ab≤ ,当且仅当:a=2b 即:a=3,b= 时“=”成立, 要求 而 的最大值转化为求 = + ≥2 =2 ≥2 的最小值即可, = ,





的最大值等于 ,

故④错误, 故答案为:②③. 点评:本题考查了向量的运算,考查概率问题,考查函数恒成立问题,基本不等式性质的应 用以及线性规划问题,是一道综合题. 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分解答应写出文字说明及演算步骤。 )

16.已知向量 =(sinx,﹣1) , =(﹣

cosx,﹣ ) ,函数 f(x)=( ﹣ )? .

(1)求函数 f(x)的最小正周期 T 及对称轴方程; (2)若 f( )= ,α∈[0, ],求 sinα 的值.

考点:平面向量的综合题. 专题:三角函数的求值;三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 分析: (1)运用向量的数量积的坐标表示和二倍角公式、两角差的正弦公式,化简 f(x) , 再由周期公式和对称轴方程,计算可得; (2)运用同角的平方关系和角的变换 α=( 即可得到所求值. 解答: 解: (1)f(x)=( ﹣ )? =(sinx+ =sin x+
2

)+

,结合两角和的正弦公式,计算

cosx, )?(sinx,﹣1)

sinxcosx﹣ sin2x﹣ ) ,

= (1﹣cos2x)+ =

sin2x﹣ cos2x=sin(2x﹣ =π, =kπ+ , +

则 T= 令 2x﹣

可得对称轴方程为 x= (2)f( )=sin( , )= )+ × = ],

,k∈Z; )= ,α∈[0, ],

∈[﹣ cos( sinα=sin[( = × +

= ]=sin( .

, )cos +cos( )sin

点评:本题考查向量的数量积的坐标表示,主要考查二倍角公式和两角差的正弦公式,正弦 函数的周期公式和对称轴方程,考查角的变换的运用,属于中档题. 17.已知数列{an},其前 n 项的和为 Sn(n∈N ) ,点(n,Sn)在抛物线 y=2x +3x 上;各项 都为正数的等比数列{bn}满足 b1b3= (1)求数列{an},{bn}的通项数列; ,b5= .
* 2

(2)记 cn=anbn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 考点:等差数列与等比数列的综合;数列的求和. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)易得 Sn=2n +3n,令 n=1 可得首项 a1,当 n≥2 时可得 an=Sn﹣Sn﹣1,代入可得通 项,设等比数列{bn}的公比为 q,可建立关于 b1,q 的方程组,解之可得; (2)由(1)可得 cn=(4n+1)?( ) ,由错位相减法可求和. 解答: 解: (1)∵点(n,Sn)在抛物线 y=2x +3x 上, 2 ∴Sn=2n +3n, 当 n=1 时,a1=S1=5, 2 当 n≥2 时,Sn﹣1=2(n﹣1) +3(n﹣1) , ∴an=Sn﹣Sn﹣1=4n+1, ∴数列{an}是首项为 5,公差为 4 的等差数列, ∴an=4n+1; 又∵各项都为正数的等比数列{bn}满足 b1b3= 设等比数列{bn}的公比为 q, ∴b2=b1q= ,b1q = 解得 b1= ,q= , ∴bn=( ) ; (2)由(1)可知 cn=(4n+1)?( ) , ∴Tn=5? +9? +13? +…+(4n+1)?( ) ① ∴ Tn=5? +9? +13? +…+(4n+1)?( ) +…+
n+1 n n n 4 2 n 2

,b5=






n+1

②﹣①知 Tn= +4( + +

)﹣(4n+1)?( )

= +4?

﹣(4n+1) )?( )

n+1



化简可得 Tn=9﹣(4n+9) ) )?( ) . 点评:本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式,涉及错位相减法求和,属中档 题.

n

18.对某校 2015 届高三学生一个月内参加体育活动的次数进行统计,随机抽取 M 名学生作 为样本,得到这 M 名学生参加体育活动的次数.根据此数据做出了频数与频率的统计表和

频率分布直方图如图: (Ⅰ)求 a 的值,并根据此直方图估计该校 2015 届高三学生在一个月内参加体育活动的次 数的中位数(精确到个位数) ; (Ⅱ)在所取的样本中,从参加体育活动的次数不少于 20 次的学生中任取 4 人,记此 4 人 中参加体育活动不少于 25 次的人数为 ξ,求随机变量 ξ 的分布列和数学期望. 考点:离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图. 专题:概率与统计. 分析: (I)由分组[10,9)内的频数是 10,频率是 0.25,由此能求出 a 的值,据此直方图估 计该校 2015 届高三学生在一个月内参加体育活动的次数的中位数. II)根据题意 ξ 可能取值为 0,1,2.由此能求出 ξ 的分布列和 Eξ. 解答: 解: (I)由分组[10,9)内的频数是 10,频率是 0.25, ∴ ∴p= =0.25,∴M=40,即频数之和为 40,∴10+24+m+2=40,∴m=4, =0.10,∵a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商,∴a= =17 ≈17. =0.12.

下面找面积平分线,解得中位数为 15+ (II)根据题意 ξ 可能取值为 0,1,2. P(ξ=0)= ξ P ∴ξ 的分布列为 Eξ=0× +1× +2× = . = ,P(ξ=1)= 0 =

,P(ξ)= 1

= , 2

点评:本题考查中位数的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,解题时要 认真审题,注意排列组合知识的合理运用 19.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,底面 ABC 为等腰直角三角形,AB=BC,侧面 A1B1BA 和 B1C1CB 都是边长为 2 的正方形,D 为 AC 的中点.

(1)求证:AB1∥平面 DBC1; (2)求证:A1C1⊥平面 BDC1; (3)求三棱锥 C﹣BDC1 的体积.

考点:直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题:空间位置关系与距离. 分析: (1) 根据线面平行的判定定理证明即可; (2 ) 根据线面垂直的判定定理证明即可; (3) 根据三棱锥的体积公式计算即可. 解答: (1)证明:如图示:

连接 B1、C 交 BC1 与点 O,连接 OD,在△ CAB1 中, O、D 分别是 B1C 和 AC 的中点,OD∥AB1, 而 AB1 不在平面 BDC1,OD?平面 BDC, ∴AB1∥平面 BDC1; (2)证明:三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 A1B1BA 和 B1C1CB 都是正方形, BB1⊥平面 ABC, ∴AA1⊥平面 ABC,BD?平面 ABC, 则 AA1⊥BD, ∵AB=BC=2,D 为 AC 的中点, ∴BD⊥AC,BD⊥平面 AA1C1C, ∴BD⊥A1C,A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,B1C1∩B1B=B1, A1B1⊥平面 B1C1CB,A1B1⊥BC1, 在正方形 B1C1CB 中,B1C⊥BC1,A1B1∩B1C=B1, BC1⊥平面 A1B1C, A1C?平面 A1B1C,A1C⊥BC1, 又 BD∩BC1=B, 故 A1⊥平面 BDC1,

(3)解:

=

=

h,

∵D 是 AC 的中点,易知 AB⊥平面 BCC1B1, 故 h= AB=1, ∴ = = h= × ×2×2×1= .

点评:本题考查了线面平行、线面垂直的判定定理,考查空间几何体的体积公式,是一道中 档题.

20.已知椭圆 E:
2 2

(a>b>0)的焦距为 2,且过椭圆右焦点 F2 与上顶点的直线

l1 与圆 O:x +y = 相切. (1)求椭圆 E 的方程; (2)是否存在直线 l2,满足 l2∥l1,并且 l2 与椭圆 E 交于 A、B 两点,以 AB 为直径的圆与 y 轴相切,若存在,请求出 l2 的方程,若不存在,请说明理由. 考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)通过焦距为 2 可知 c=1、F2(1,0) ,进而直线 l1 的方程为:bx+y﹣b=0,利用直 线 l1 与圆 O:x +y = 相切可知 b=1,进而可得结论; (2)假设存在直线 l2 满足题设条件并设 l2:y=﹣x+m,与椭圆方程联立,利用韦达定理可 知 m <3,通过设 A(x1,y1) 、B (x2,y2) ,利用以 AB 为直径的圆与 y 轴相切可知 |AB|=| (x1+x2)|,计算即得结论. 解答: 解: (1)∵焦距为 2, ∴c=1,∴F2(1,0) , ∴过椭圆右焦点 F2 与上顶点的直线 l1 的方程为: ∵直线 l1 与圆 O:x +y = 相切, ∴
2 2 2 2 2 2 2 2

,即 bx+y﹣b=0,

=

,解得 b=1,

∴a =b +c =1+1=2, ∴椭圆 E 的方程为: +y =1; 满足题设条件.
2

(2)结论:存在直线 l2:y=﹣x± 理由如下: 假设存在直线 l2 满足题设条件,

由(1)知 l1:y=﹣x+1, 设 l2:y=﹣x+m, 联立
2

,消去 y 整理得:3x ﹣4mx+2m ﹣2=0,则△ =(﹣4m) ﹣12(2m ﹣2)

2

2

2

2

>0,即 m <3, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1?x2= ∴AB 的中点横坐标为 (x1+x2)= x2|= ∴ ? =8x1x2,
2

,x1+x2=



,则以 AB 为直径的圆的半径 r= |AB|= ,

|x1﹣

?

=| (x1+x2)|,

整理得:

∴(
2

) =8?



∴m = <3, ∴m=± , 满足题设条件.

故存在直线 l2:y=﹣x±

点评:本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属 于中档题. 21.设函数 f(x)=lnx﹣ax(a∈R) . (1)若函数 f(x)在 x=2 处的切线方程为 y=x﹣b,求 a,b 的值; (2)若函数 g(x)=f(x)+ x 有两个极值点,且 h(x)=ax﹣e 在(1,+∞)有最大值, 求 a 的取值范围; (3)讨论方程 f(x)=0 解的个数,并证明你的结论. 考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:分类讨论;导数的概念及应用;导数的综合应用. 分析: (1)求出函数 f(x)的导数,由题意可得 f′(2)=1,f(2)=2﹣b,解方程可得 a,b; 2 2 (2)求出 g(x)的导数,由题意可得 x ﹣ax+1=0 有两个正根,则△ =a ﹣4>0,且 a>0, 解得 a>2,求得 h(x)的导数,对 a 讨论,若 2<a≤e,若 a>e,判断 h(x)的单调性,即 可得到 a 的范围;
2 x

(3)方程 f(x)=0 即为 a=

,令 m(x)=

(x>0) ,求得导数,求出单调区间和最

值,作出图象,通过图象对 a 讨论,即可得到解的个数. 解答: 解: (1)函数 f(x)=lnx﹣ax 的导数 f′(x)= ﹣a, 由函数 f(x)在 x=2 处的切线方程为 y=x﹣b, 可得 f′(2)=1,f(2)=2﹣b, 即为 ﹣a=1,ln2﹣2a=2﹣b, 解得 a=﹣ ,b=1﹣ln2;

(2)g(x)=lnx﹣ax+ x 的导数为 g′(x)= ﹣a+x= g(x)有两个极值点,即有 x ﹣ax+1=0 有两个正根, 2 则△ =a ﹣4>0,且 a>0,解得 a>2, x x h(x)=ax﹣e 的导数为 h′(x)=a﹣e , 若 2<a≤e,h′(x)<0,h(x)在(1,+∞)单调递减,无最大值; 若 a>e,则当 1<x<lna,h′(x)>0,h(x)递增,当 x>lna 时,h′(x)<0,h(x)递 减. 即有 x=lna 处取得最大值 h(lna) , 则有 a>e 成立; (3)方程 f(x)=0 即为 a= ,
2

2

由 m(x)=

(x>0)的导数为 m′(x)=



当 x∈(0,e)时,m′(x)>0,m(x)递增, 当 x∈(e,+∞)时,m′(x)<0,m(x)递减. 即有 m(x)的最大值为 m(e)= , y=m(x)的图象如右. 则当 a> 时,y=a 和 y=m(x)无交点,即方程解的个数为 0; 当 0<a< ,y=a 和 y=m(x)有两个交点,即方程解的个数为 2; 当 a≤0 时,y=a 和 y=m(x)有一个交点,即方程解的个数为 1.

点评:本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调区间和极值、最值,考查函数方程的转化 思想的运用,运用分类讨论的思想方法是解题的关键.


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