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§4 数学归纳法


§4 数学归纳法
教学目标 1.了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指导,理解数学归纳法的操 作步骤. 2.抽象思维和概括能力进一步得到提高. 教学重点与难点 重点:数学归纳法产生过程的分析. 难点:数学归纳法中递推思想的理解. 教学过程设计 (一)引入 师:从今天开始,我们来学习数学归纳法.什么是数学归纳法呢?应该从认 识什么是归纳法开始. (板书课题:数学归纳法)

(二)什么是归纳法(板书) 师:请看下面几个问题,并由此思考什么是归纳法,归纳法有什么特点. 问题 1:这里有一袋球共十二个,我们要判断这一袋球是白球,还是黑球, 请问怎么办? (可准备一袋白球、问题用小黑板或投影幻灯片事先准备好) 生:把它倒出来看一看就可以了. 师:方法是正确的,但操作上缺乏顺序性.顺序操作怎么做? 生:一个一个拿,拿一个看一个. 师:对.问题的结果是什么呢? (演示操作过程) 第一个白球,第二个白球,第三个白球,??,第十二个白球,由此得到: 这一袋球都是白球.

a2,a3,a4。的值,再推测通项 an 的公式.(问题由小黑板或投影幻灯片给 出)

师:同学们解决以上两个问题用的都是归纳法,你能说说什么是归纳法,归 纳法有什么特点吗? 生:归纳法是由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点是由特殊→一般(板书). 师:很好!其实在中学数学中,归纳法我们早就接触到了.例如,给出数列 的前四项,求它的一个通项公式用的是归纳法,确定等差数列、等比数列通项公 式用的也是归纳法,今后的学习还会看到归纳法的运用. 在生活和生产实际中,归纳法也有广泛应用.例如气象工作者、水文工作者 依据积累的历史资料作气象预测,水文预报,用的就是归纳法. 还应该指出,问题 1 和问题 2 运用的归纳法还是有区别的.问题 1 中,一共 12 个球,全看了,由此而得到了结论.这种把研究对象一一都考查到了而推出 结论的归纳法称为完全归纳法.对于问题 2,由于自然数有无数个,用完全归纳 法去推出结论就不可能,它是由前 4 项体现的规律,进行推测,得出结论的,这 种归纳法称为不完全归纳法. (三)归纳法的认识(板书) 归纳法分完全归纳法和不完全归纳法(板书). 师:用不完全归纳法既然要推测,推测是要有点勇气的,请大家鼓起勇气研 究问题 3. 问题 3:对于任意自然数 n,比较 7n-3 与 6(7n+9)的大小.(问题由小黑板 或投影幻灯片给出) (给学生一定的计算、思考时间) 生:经过计算,我的结论是:对任意 n∈N+,7n-3<6(7n+9). 师:你计算了几个数得到的结论?

生:4 个. 师:你算了 n=1,n=2,n=3,n=4 这 4 个数,而得到的结论,是吧? 生:对. 师:有没有不同意见? 生:我验了 n=8,这时有 7n-3>6(7n+9),而不是 7n-3<6(7n+9).他的结 论不对吧! 师:那你的结论是什么呢? (动员大家思考,纠正) 生:我的结论是: 当 n=1,2,3,4,5 时,7n-3<6(7n+9); 当 n=6,7,8,?时,7n-3>6(7n+9). 师:由以上的研究过程,我们应该总结什么经验呢? 首先要仔细地占有准确的材料,不能随便算几个数,就作推测.请把你们计 算结果填入下表内:

师:依据数据作推测,决不是乱猜.要注意对数据作出谨慎地分析.由上表 可看到,当 n 依 1,2,3,4,?变动时,相应的 7n-3 的值以后一个是前一个的 7 倍的速度在增加,而 6(7n+9)相应值的增长速度还不到 2 倍.完全有理由确认, 当 n 取较大值时,7n-3>6(7n+9)会成立的. 师:对问题 3 推测有误的同学完全不必过于自责,接受教训就可以了.其实 在数学史上,一些世界级的数学大师在运用归纳法时,也曾有过失误.

资料 1(事先准备好,由学生阅读) 费马(Fermat)是 17 世纪法国著名的数学家,他是解析几何的发明者之一, 是对微积分的创立作出贡献最多的人之一,是概率论的创始者之一,他对数论也 有许多贡献. 但是,费马曾认为,当 n∈N 时,22n+1 一定都是质数,这是他对 n=0,1,2, 3,4 作了验证后得到的. 18 世纪伟大的瑞士科学家欧拉(Euler)却证明了 225+1=4 294 967 297=6 700 417×641,从而否定了费马的推测. 师: 有的同学说, 费马为什么不再多算一个数呢?今天我们是无法回答的. 但 是要告诉同学们,失误的关键不在于多算一个上! 再请看数学史上的另一个资料(仍由学生阅读): 资料 2 f(n)=n2+n+41,当 n∈N 时,f(n)是否都为质数? f(0)=41,f(1)=43,f(2)=47,f(3)=53,f(4)=61, f(5)=71,f(6)=83,f(7)=97,f(8)=113,f(9)=131, f(10)=151,? f(39)=1 601.

但是 f(40)=1 681=412 是合数 师:算了 39 个数不算少了吧,但还不行!我们介绍以上两个资料,不是说 世界级大师还出错,我们有错就可以原谅,也不是说归纳法不行,不去学了,而 是要找出运用归纳法出错的原因,并研究出对策来. 师:归纳法为什么会出错呢? 生:完全归纳法不会出错. 师:对!但运用不完全归纳法是不可避免的,它为什么会出错呢? 生:由于用不完全归纳法时,一般结论的得出带有猜测的成份. 师:完全同意.那么怎么办呢? 生:应该予以证明.

师:大家同意吧?对于生活、生产中的实际问题,得出的结论的正确性,应 接受实践的检验,因为实践是检验真理的唯一标准.对于数学问题,应寻求数学 证明. (四)归纳与证明(板书) 师:怎么证明呢?请结合以上问题 1 思考. 生:问题 1 共 12 个球,都看了,它的正确性不用证明了. 师:也可以换个角度看,12 个球,一一验看了,这一一验看就可以看作证 明.数学上称这种证法为穷举法.它体现了分类讨论的思想. 师:如果这里不是 12 个球,而是无数个球,我们用不完全归纳法得到,这 袋球全是白球,那么怎么证明呢? (稍作酝酿,使学生把注意力更集中起来) 师: 这类问题的证明确不是一个容易的课题,在数学史上也经历了多年的酝 酿. 第一个正式研究此课题的是意大利科学家莫罗利科.他运用递推的思想予以 证明. 结合问题 1 来说,他首先确定第一次拿出来的是白球. 然后再构造一个命题予以证明. 命题的条件是: “设某一次拿出来的是白球” , 结论是“下一次拿出来的也是白球”. 这个命题不是孤立地研究“某一次”,“下一次”取的到底是不是白球,而 是研究若某一次是白球这个条件能保证下一次也是白球的逻辑必然性. 大家看,是否证明了上述两条,就使问题得到解决了呢? 生:是.第一次拿出的是白球已确认,反复运用上述构造的命题,可得第二 次、第三次、第四次、??拿出的都是白球. 师:对.它使一个原来无法作出一一验证的命题,用一个推一个的递推思想 得到了证明. 生活上,体现这种递推思想的例子也是不少的,你能举出例子来吗? 生:一排排放很近的自行车,只要碰倒一辆,就会倒下一排. 生:再例如多米诺骨牌游戏. (有条件可放一段此种游戏的录相)

师:多米诺骨牌游戏要取得成功,必须靠两条: (1)骨牌的排列,保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒; (2)第一张牌被推倒. 用这种思想设计出来的, 用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证 明方法就是数学归纳法. (五)数学归纳法(板书) 师:用数学归纳法证明以上问题 2 推测而得的命题,应该证明什么呢? 生:先证 n=1 时,公式成立(第一步); 再证明:若对某个自然数(n=k)公式成立,则对下一个自然数(n=k+1)公 式也成立(第二步). 师:这两步的证明自己会进行吗?请先证明第一步.

(应追问各步计算推理的依据) 师:再证明第二步.先明确要证明什么?

师:于是由上述两步,命题得到了证明.这就是用数学归纳法进行证明的基 本要求.

师:请小结一下用数学归纳法作证明应有的基本步骤. 生:共两步(学生说,教师板书): (1)n=1 时,命题成立; (2)设 n=k 时命题成立,则当 n=k+1 时,命题也成立. 师:其实第一步一般来说,是证明开头者命题成立.例如,对于问题 3 推测 得的命题:当 n=6,7,8,?时,7n-3>6(7n+9).第一步应证明 n=6 时,不等 式成立. (若有时间还可讨论此不等关系证明的第二步, 若无时间可布置学生课下思 考) (六)小结 师:把本节课内容归纳一下: (1)本节的中心内容是归纳法和数学归纳法. (2)归纳法是一种由特殊到一般的推理方法.分完全归纳法和不完全归纳 法二种. (3)由于不完全归纳法中推测所得结论可能不正确,因而必须作出证明, 证明可用数学归纳法进行. (4)数学归纳法作为一种证明方法,它的基本思想是递推(递归)思想, 它的操作步骤必须是二步. 数学归纳法在数学中有广泛的应用,将从下节课开始学习. 课堂教学设计说明 1.数学归纳法是一种用于证明与自然数 n 有关的命题的正确性的证明方 法.它的操作步骤简单、明确,教学重点应该是方法的应用.但是我们认为不能 把教学过程当作方法的灌输,技能的操练.对方法作简单的灌输,学生必然疑虑 重重.为什么必须是二步呢?于是教师反复举例,说明二步缺一不可.你怎么知 道 n=k 时命题成立呢?教师又不得不作出解释,可学生仍未完全接受.学完了数 学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起来的问题,等等.为此,我们设想强 化数学归纳法产生过程的教学, 把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识 当中, 把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来.这样不仅使学生可 以看到数学归纳法产生的背景, 从一开始就注意它的功能,为使用它打下良好的 基础, 而且可以强化归纳思想的教学,这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的 教学的重要补充,也是引导学生发展创新能力的良机.

数学归纳法产生的过程分二个阶段,第一阶段从对归纳法的认识开始,到对 不完全归纳法的认识,再到不完全归纳法可靠性的认识,直到怎么办结束.第二 阶段是对策酝酿,从介绍递推思想开始,到认识递推思想,运用递推思想,直到 归纳出二个步骤结束. 把递推思想的介绍、理解、运用放在主要位置,必然对理解数学归纳法的实 质带来指导意义, 也是在教学过程中努力挖掘、渗透隐含于教学内容中的数学思 想的一种尝试. 2. 在教学方法上, 这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、 探索的方法. 目 的是在于加强学生对教学过程的参与程度.为了使这种参与有一定的智能度,教 师应做好发动、组织、引导和点拨.学生的思维参与往往是从问题开始的,尽快 提出适当的问题,并提出思维要求,让学生尽快投入到思维活动中来,是十分重 要的.这就要求教师把每节课的课题作出层次分明的分解,并选择适当的问题, 把课题的研究内容落于问题中,在逐渐展开中,引导学生用已学的知识、方法予 以解决,并获得新的发展.本节课的教学设计也想在这方面作些研究. 3.理解数学归纳法中的递推思想,还要注意其中第二步,证明 n=k+1 命题 成立时必须用到 n=k 时命题成立这个条件.

即 n=k+1 时等式也成立. 这是不正确的.因为递推思想要求的不是 n=k,n=k+1 时命题到底成立不成 立, 而是 n=k 时命题成立作为条件能否保证 n=k+1 时命题成立这个结论正确,即 要求的这种逻辑关系是否成立.证明的主要部分应改为

以上理解不仅是正确认识数学归纳法的需要, 也为第二步证明过程的设计指 明了正确的思维方向.


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