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等差数列的通项公式教案


第 1-2 课时
【教学题目】§6.2.2 等差数列的通项公式 【教学目标】
1.掌握等差数列的通项公式; 2.会应用等差数列的通项公式解答相关问题.

【教学内容】
1.等差数列的通项公式; 2.应用等差数列的通项公式解答相关问题.

【教学重点】
等差数列的通项公式.

【教学难点】
应用等差数列的通项公式解答相关问题.

【教学过程】
一、导课 (一)重做§6.2.1 等差数列的定义例 1,并指出这个数列的第 101 项 例 1、已知等差数列的首项为 12,公差为-5,试写出这个数列的第 2 项到第 5 项. 解:由于 a1 ? 12 , d ? ?5 ,因此有等差数列的通项公式得:

a2 ? a1 ? d ? 12 ? ? ?5? ? 7 ; a3 ? a2 ? d ? 7 ? ? ?5? ? 2 ; a4 ? a3 ? d ? 2 ? ? ?5? ? ?3 ;
…… 显然,依据公式(6.1)写出这个等差数列的第 101 项,是比较困难的,那有没有比较简单的做 法呢? (二)思路提示 根据数列的通项公式的定义,我们只要求出这个等差数列的通项公式,就可以方便地求出这个 数列的任意项(包括第 101 项). 注:数列的通项公式的定义: 1.数列的通项公式的概念 一个数列的第 n 项 an 如果能用关于项数 n 的一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通 项公式. 2.用数列的通项公式表示对应的无穷数列: ?an ? ={数列的通项公式}. 二、新授——等差数列的通项公式 (一)公式推导 1

a5 ? a4 ? d ? ?3 ? ? ?5? ? ?8 ;

设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,则

a1 ? a1 ,
a2 ? a1 ? d ,

a3 ? a2 ? d ? ? a1 ? d ? ? d ? a1 ? 2d , a4 ? a3 ? d ? ? a1 ? 2d ? ? d ? a1 ? 3d ,
…… 以此类推,通过观察可以得到等差数列的通项公式

an ? a1 ? ? n ?1? d .
(二)等差数列的通项公式 . an ? a 1? d ? n? 1 ? (6.2) 知道了等差数列 ?an ? 中的 a1 和 d ,利用公式(6.2) ,可以直接计算出数列的任意一项. 如果一个数列从第 2 项开始,每一项与它前一项的差都等于同一个常数,那么,这个数列叫做 等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,一般用字母 d 表示. 注:在例 1 的等差数列 ?an ? 中,首项 a1 ? 12 , d ? ?5 ,所以数列的通项公式为

an ? 12 ? ? n ?1? ? ? ?5? ? 17 ? 5n ,
所以数列的第 101 项为

a101 ? 17 ? 5 ?101 ? ?488 .
三、例题讲解 例 1、求等差数列

?1,5,11,17,
的第 50 项. 解:由于 a1 ? ?1 , d ? a2 ? a1 ? 5 ? ? ?1? ? 6 d ? ?5 ,因此 即 故

an ? a1 ? ? n ?1? d ? ?1? ? n ?1? ? 6 ? 6n ? 7 ,
an ? 6n ? 7 . a50 ? 6 ? 50 ? 7 ? 293 . 1 ? 48 ,公差 d ? ,求首项 a1 . 3

例 2、在等差数列 ?an ? 中, a100 解:由于公差 d ?

1 ,故设等差数列的通项公式为 3 1 an ? a1 ? ? n ? 1? ? . 3

由于 a100 ? 48 ,故

2

1 48 ? a1 ? ?100 ? 1? ? , 3
解得

a1 ? 15 .
注:本题目初看是知道 2 个条件,实际上是 3 个条件: n ? 100 , a100 ? 48 , d ?

1 . 3

例 3、小明、小明的爸爸和小明的爷爷三个人的年龄恰好构成一个等差数列,他们三人的年龄之和 为 120 岁,爷爷的年龄比小明的年龄的 4 倍还多 5 岁,求他们祖孙三人的年龄.

a?d 分析: 知道三个数构成等差数列, 并且知道这三个数的和, 可以将这三个数设为 a ? d , a,
这样可以方便地求出 a ,从而解决问题. 解:设小明、小明的爸爸和小明的爷爷三个人的年龄 a ? d , a , a ? d ,其中 d 为公差,则

? a ? d ? ? a ? ? a ? d ? ? 120
4 ? a ? d ? +5=a ? d
解得

a =40 , d ? 25 ,
从而

a ? d ? 15 , a ? d ? 65 .
答:小明、小明的爸爸和小明的爷爷三个人的年龄分别为 15 岁、40 岁和 65 岁. 注:将构成等差数列的三个数设为 a ? d , a , a ? d ,是经常使用的方法. 四、学生练习 在等差数列 ?an ? 中, a5 ? 0 , a10 ? 10 ,求首项 a1 与公差 d . 解:因为

a5 ? a1 ? ?5 ?1? d ? a1 ? 4d ? 0 a10 ? a1 ? ?10 ?1? d ? a1 ? 9d ? 10
解得

a1 ? ?8 , d ? 2 .
五、课堂小结 (一)等差数列的通项公式; (二)应用等差数列的通项公式解答相关问题. 六、作业布置 课本 P8 练习 6.2.2 第 1 题、第 2 题、第 3 题、第 4 题. 七、教学反思

3

学生通过学习等差数列的通项公式, 对等差数列有了进一步的掌握, 知道了首项 a1 与公差 d 是 等差数列的通项公式中非常重要的两个参量, 也是等差数列的非常重要的参量.本节课的重点在于使 学生掌握等差数列的通项公式并学会对等差数列的应用, 特别要使学生明白等差数列的通项公式中, 共有四个量: an 、 a1 、 n 和 d ,只要知道了其中的任意三个量,就可以求出另外的一个量.针对 不同情况,应该分别采用怎样的计算方法?这个问题应使学生深入思考的基础上,教师给出答案: (一)已知 a1 、 n 和 d ,求 an : an ? a1 ? ? n ?1? d ; (二)已知 n 、 d 和 an ,求 a1 : a1 ? an ? ? n ?1? d ;

an ? a1 ? 1; d a ? a1 (四)已知 a1 、 an 和 n ,求 d : d ? n . n ?1
(三)已知 a1 、 d 和 an ,求 n : n ? 通过教学实践和作业反映的情况看,学生等差数列通项公式及其应用掌握较好,能根据等差数 列的 a1 、 n 和 d ,求出数列的指定项,但对于 an 、 a1 、 n 和 d ,只要知道了其中的任意三个量, 就可以求出另外的一个量的情况,掌握的不太好,另外,有些学生的基础计算能力较差,须继续加 强指导和训练.

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