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2016届山西省晋中市高考数学一模试卷(文科)(解析版)


2016 年山西省晋中市高考数学一模试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.若复数 z 满足 1+z=i,则|z|=( ) A. B.1 C. D.

2.某同学将全班某次数学考试成绩整理成频率分布直方图后,并将每个小矩形上方线段的 中点连接起来得到频率分布折线图(如图所示) ,据此估计此次考试成绩的众数是( )

A.100 B.110 C.115 D.120 3.“|m|<2”是“m≤2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.实数 x,y 满足

,则

的最小值是(



A.﹣5 B.﹣

C.

D.5 )

5.公差不为零的等差数列{an}中,a7=2a5,则数列{an}中与 4a5 的值相等的项是( A.a11 B.a12 C.a13 D.a14 6.已知 F1,F2 分别是双曲线 ﹣

=1(a,b>0)的左、右焦点,且|F1F2|=2,若 P 是

该双曲线右支上的一点,且满足|PF2|=|F1F2|,则△PF1F2 面积的最大值是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 7. AB=6, 在△ABC 中, ∠ABC=90°, 点 D 在边 AC 上, 且2 = , 则 ? 的值是 ( A.48 B.24 C.12 D.6 8.若函数 f(x)=sin(2x+φ) (|φ|< , A. )的图象关于直线 x= )



对称,且当 x1,x2∈(﹣

) ,x1≠x2 时,f(x1)=(x2) ,则 f(x1+x2)=( B. C. D.1

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9.过抛物线 y2=4x 的焦点的直线与抛物线交于 A,B 两个不同的点,当|AB|=6 时,△OAB (O 为坐标原点)的面积是( ) A. B. C. D. 10.运行如图所示的程序框图,若输出的点恰有 5 次落在直线 y=x 上,则判断框中可填写 的条件是( )

A.i>6 B.i>7 C.i>8 D.i>9 11.在四棱锥 P﹣ABCD 中,四条侧棱长均为 2,底面 ABCD 为正方形,E 为 PC 的中点, 且∠BED=90°,若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积是( ) A. B. C. D.π

12.已知 f(x)= A.6 B.5 C.4 D.3

则方程 f[f(x)]=3 的根的个数是(



二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13.设全集 U={x∈Z|﹣2≤x≤4},A={﹣1,0,1,2,3},若 B? ?UA,则集合 B 的个数 是 . 14.设四个函数:①y=x ;②y=21﹣x;③y=ln(x+1) ;④y=|1﹣x|.其中在区间(0,

1)内单调递减的函数的序号是 . 15.某几何体的三视图如图所示,当 xy 取得最大值时,该几何体的体积是



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16.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3(2n﹣1) ,数列{bn}的通项公式为 bn=5n﹣2.数列{an} 和{bn}的所有公共项按从小到大的顺序构成数列{cn}.若数列{cn}的第 n 项恰为数列{an}第 kn 项,则数列{kn}的前 32 项的和是 . 三、简答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 18.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 acosB﹣bcosA=c. (Ⅰ)求角 A; (Ⅱ)当△ABC 的面积等于 4 时,求 a 的最小值. 19.某市小型机动车驾照“科二”考试共有 5 项考察项目,分别记作①,②,③,④,⑤ (Ⅰ)某教练将所带 10 名学员“科二”模拟考试成绩进行统计(如表所示) ,并打算从恰有 2 项成绩不合格的学员中任意抽出 2 人进行补测(只侧不合格项目) ,求补测项目种类不超过 3 项的概率. 项目/学号编号 ① ② ③ ④ ⑤ T T T (1) T T T (2) T T T T (3) T T T (4) T T T T (5) T T T (6) T T T T (7) T T T T T (8) 9 T T T ( ) T T T T T (10) 注:“T”表示合格,空白表示不合格 (Ⅱ)如图,某次模拟演练中,教练要求学员甲倒车并转向 90°,在车边缘不压射线 AC 与 射线 BD 的前提下,将汽车驶入指定的停车位.根据经验,学员甲转向 90°后可使车尾边缘 完全落在线段 CD 上,且位于 CD 内各处的机会相等.若 CA=BD=0.3m,AB=2.4m,汽车宽 度为 1.8m,求学员甲能按教练要求完成任务的概率.

20.已知几何体 ABCDEF 中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,四边形 ACFE 是矩 形,FB= ,M,N 分别为 EF,AB 的中点. (Ⅰ)求证:MN∥平面 FCB; (Ⅱ)若 FC=1,求点 A 到平面 MCB 的距离.

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21.已知直线 y=x+1 与函数 f(x)=aex+b 的图象相切,且 f′(1)=e. (I)求实数 a,b 的值; (Ⅱ)若存在 x∈(0, ) ,使得 2mf(x﹣1)+nf(x)=mx(m≠0)成立,求 的取值范 围. 22.已知椭圆 E: 下顶点. (I)若 N 为 AC 的中点,△BAN 的面积为 ,椭圆的离心率为 .求椭圆 E 的方程; + =1(a>b>0) ,A 为椭圆 E 的右顶点,B,C 分别为椭圆 E 的上、

(Ⅱ)F 为椭圆 E 的右焦点,线段 CF 的延长线与线段 AB 交于点 M,与椭圆 E 交于点 P, 求 的最小值.

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修 4-1: 几何证明选讲] 23.如图,已知 A,B,C,D 四点共圆,BA,DC 的延长线交于点 M,CA,DB 的延长线 交于点 F,连接 FM,且 FM⊥MD.过点 B 作 FD 的垂线,交 FM 于点 E (Ⅰ)证明:△FAB∽△FDC (Ⅱ)证明:MA?MB=ME?MF.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 24.已知曲线 C1:x+ y= 和 C2: (φ 为参数) ,以原点 O 为极点,x 轴

的正半轴为极轴,建立极坐标系,且两种坐标系中取相同的长度单位. (1)把曲线 C1、C2 的方程化为极坐标方程 (2)设 C1 与 x 轴、y 轴交于 M,N 两点,且线段 MN 的中点为 P.若射线 OP 与 C1、C2 交于 P、Q 两点,求 P,Q 两点间的距离. [选修 4-5:不等式选讲]
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25.设函数 f(x)=|x+1|﹣|2x﹣a| (Ⅰ)当 a=2,解不等式 f(x)<0 (Ⅱ)若 a>0,且对于任意的实数 x,都有 f(x)≤3,求 a 的取值范围.

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2016 年山西省晋中市高考数学一模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.若复数 z 满足 1+z=i,则|z|=( ) A. B.1 C. D.

【考点】复数求模. 【分析】根据复数模的计算方法计算即可. 【解答】解:复数 z 满足 1+z=i, ∴z=﹣1+i, ∴|z|= 故选:A. 2.某同学将全班某次数学考试成绩整理成频率分布直方图后,并将每个小矩形上方线段的 中点连接起来得到频率分布折线图(如图所示) ,据此估计此次考试成绩的众数是( ) = ,

A.100 B.110 C.115 D.120 【考点】众数、中位数、平均数. 【分析】 根据频率分布折线图中折线的最高点对应的数值, 估计此次考试成绩的众数是什么. 【解答】解:根据频率分布折线图,得; 折线的最高点对应的值是 115, 据此估计此次考试成绩的众数是 115. 故选:C. 3.“|m|<2”是“m≤2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】“|m|<2”?﹣2<m<2,即可判断出结论. 【解答】解:“|m|<2”?﹣2<m<2, 因此“|m|<2”是“m≤2”的充分不必要条件. 故选:A.
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4.实数 x,y 满足

,则

的最小值是(



A.﹣5 B.﹣

C.

D.5

【考点】简单线性规划. 【分析】作出平面区域,则 表示过点(1,1)的直线的斜率,根据平面区域观察最优

解. 【解答】解:作出平面区域如图所示:

由平面区域可知过 P(1,1)的直线过点 A 时斜率最小, 解方程组 得 x= ,y= .



的最小值为

=﹣ .

故选:B. 5.公差不为零的等差数列{an}中,a7=2a5,则数列{an}中与 4a5 的值相等的项是( A.a11 B.a12 C.a13 D.a14 【考点】等差数列的通项公式. 【分析】根据等差数列和等差数列的通项公式即可求出. 【解答】解:∵公差不为零的等差数列{an}中,设公差为 d,a7=2a5, ∴a1+6d=2(a1+4d) , ∴a1=﹣2d, ∴an=a1+(n﹣1)d=(n﹣3)d, ∴4a5=4(a1+4d)=8d=(n﹣3)d,
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∴n=11, 故选:A.

6.已知 F1,F2 分别是双曲线



=1(a,b>0)的左、右焦点,且|F1F2|=2,若 P 是 )

该双曲线右支上的一点,且满足|PF2|=|F1F2|,则△PF1F2 面积的最大值是( A.4 B.3 C.2 D.1

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】利用双曲线的定义求得|PF1|,作 PF1 边上的高 AF2,由 A 为中点,可知 AF1 的长 度,进而利用勾股定理求得 AF2,运用基本不等式可得△PF1F2 的面积的最大值. 【解答】解:由题意可得|PF2|=|F1F2|=2, 由双曲线的定义可得,|PF1|﹣|PF2|=2a, 即为|PF1|=2+2a, 过 F2 作 AF2⊥PF1,垂足为 A, 由等腰三角形的性质可得 A 为中点, 由勾股定理可得|AF2|= ,

即有△PF1F2 面积为 |AF2|?|PF1|= (2+2a)? = =2, ﹣1 时,取得等号.

?



当且仅当(1+a)2=4﹣(1+a)2,即 a= 则△PF1F2 面积的最大值是 2. 故选:C.

7. AB=6, 在△ABC 中, ∠ABC=90°, 点 D 在边 AC 上, 且2 A.48 B.24 C.12 D.6 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】由平面向量的线性运算化简可得 而求得. 【解答】解:∵2 ∴ = ? ?( = + ?( )
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=

, 则

?

的值是 (



?

=

?(

+

)=

?

+

?

,从

= +

,∴ )

=



= =

?( ?

+ ( + ?

﹣ ,

) )

又∵∠ABC=90°,AB=6, ? =0, ∴ ? =36, 故 ? = ×36=24.

故选 B.

8.若函数 f(x)=sin(2x+φ) (|φ|< , A.

)的图象关于直线 x= )

对称,且当 x1,x2∈(﹣

) ,x1≠x2 时,f(x1)=(x2) ,则 f(x1+x2)=( B. C. D.1

【考点】正弦函数的图象. 【分析】根据对称轴列出方程解出 φ 得到 f(x)的解析式,根据对称性可知 x1+x2= 【解答】解:令 2x+φ= ∴f(x)的对称轴为 x= 令 = ﹣ + +kπ,解得 x= ﹣ + . +kπ. ﹣ + . .

.解得 φ= . ) .

∵|φ|<

,∴φ=

∴f(x)=sin(2x+ ∵f(x)关于 x= ∴x1+x2= .

对称,当 x1,x2∈(﹣



) ,x1≠x2 时,f(x1)=(x2) ,

∴f(x1+x2)=f( 故选:C.

)=sin

=



9.过抛物线 y2=4x 的焦点的直线与抛物线交于 A,B 两个不同的点,当|AB|=6 时,△OAB (O 为坐标原点)的面积是( ) A. B. C. D. 【考点】抛物线的简单性质.

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【分析】先设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,并将直线设为 x=my+1,代入抛物线 y2=4x,运用 抛物线定义和韦达定理计算 x1+x2 和 y1﹣y2 的值, 再由△OAB (O 为坐标原点) 的面积 S= |OF||y1﹣y2|得到答案. 【解答】解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 2 抛物线 y =4x 焦点 F 坐标为(1,0) ,准线方程为 x=﹣1 依据抛物线定义,|AB|=x1+x2+2=6, ∴x1+x2=4, 设直线方程为 x=my+1 代入 y2=4x, 得 y2﹣4my﹣4=0 ∴y1y2=﹣4 ∵y12+y22=(y1﹣y2)2+2y1y2=(y1﹣y2)2﹣8=4(x1+x2)=16, ∴y1﹣y2=±2 , △OAB(O 为坐标原点)的面积 S= |OF||y1﹣y2|= 故选:B. 10.运行如图所示的程序框图,若输出的点恰有 5 次落在直线 y=x 上,则判断框中可填写 的条件是( ) ,

A.i>6 B.i>7 C.i>8 D.i>9 【考点】程序框图. 【分析】模拟执行程序,依次写出每次循环输出的点的坐标,当满足条件,退出循环体,从 而得到判定框中应填. 【解答】解:模拟执行程序,可得 i=1,y=0 x=1,y=1,i=2,输出点(1,1) ,此输出的点恰落在直线 y=x 上, 不满足条件,x=0,y=1,i=3,输出点(0,1) 不满足条件,x=﹣1,y=0,i=4,输出点(﹣1,0) 不满足条件,x=0,y=0,i=5,输出点(0,0) ,此输出的点恰落在直线 y=x 上
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不满足条件,x=1,y=1,i=6,输出点(1,1) ,此输出的点恰落在直线 y=x 上 不满足条件,x=0,y=1,i=7,输出点(0,1) 不满足条件,x=﹣1,y=0,i=8,输出点(﹣1,0) 不满足条件,x=0,y=0,i=9,输出点(0,0) ,此输出的点恰落在直线 y=x 上 不满足条件,x=1,y=1,i=10,输出点(1,1) ,此输出的点恰落在直线 y=x 上 由题意,此时,应该满足条件,退出循环, 故判断框中可填写的条件是 i>9?. 故选:D. 11.在四棱锥 P﹣ABCD 中,四条侧棱长均为 2,底面 ABCD 为正方形,E 为 PC 的中点, 且∠BED=90°,若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积是( ) A. B. C. D.π

【考点】球的体积和表面积. 【分析】设四棱锥 P﹣ABCD 底面棱长为 x,则 BE=DE=x,根据相似三角形的性质,求出 x 值,进而求出棱锥的底面的外接圆半径和高,进而求出棱锥的外接球半径,可得答案. 【解答】解:设四棱锥 P﹣ABCD 底面棱长为 x, ∵E 为 PC 的中点,且∠BED=90°, 则 BE=DE=x,



,解得:x=



则正方形 ABCD 的外接圆半径 r=1, 棱锥的高 h= , 设棱锥外接球的半径为 R, 则 解得:R= , , ,

故棱锥的外接球的表面积 S=4πR2= 故选:A

12.已知 f(x)= A.6 B.5 C.4 D.3

则方程 f[f(x)]=3 的根的个数是(



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【考点】根的存在性及根的个数判断;函数零点的判定定理. 【分析】由题意得 2f(x)+1=3 或|lnf(x)|=3,从而解得 f(x)=e3 或 f(x)=e﹣3;从而 再讨论即可. 【解答】解:由题意得, 2f(x)+1=3 或|lnf(x)|=3, 即 f(x)=1(舍去)或 f(x)=e3 或 f(x)=e﹣3; 若 f(x)=e3, 则 2x+1=e3 或|lnx|=e3, 故 x= (舍去)或 x= 或 x= ;

若 f(x)=e﹣3, 则 2x+1=e﹣3 或|lnx|=e﹣3, 故 x= 或 x= 或 x= ;

故方程 f[f(x)]=3 共有 5 个解, 故选:B. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13.设全集 U={x∈Z|﹣2≤x≤4},A={﹣1,0,1,2,3},若 B? ?UA,则集合 B 的个数 是 4 . 【考点】集合的包含关系判断及应用. 【分析】全集 U={x∈Z|﹣2≤x≤4}={﹣2,﹣1,0,1,2,3,4},A={﹣1,0,1,2,3}, ?UA={﹣2,4},Ly B? ?UA,即可得出满足条件的集合 B 的个数. 【解答】解:全集 U={x∈Z|﹣2≤x≤4}={﹣2,﹣1,0,1,2,3,4},A={﹣1,0,1,2, 3}, ?UA={﹣2,4}, ∵B? ?UA,则集合 B=?,{﹣2},{4},{﹣2,4}, 因此满足条件的集合 B 的个数是 4. 故答案为:4. ;②y=21﹣x;③y=ln(x+1) ;④y=|1﹣x|.其中在区间(0,

14.设四个函数:①y=x

1)内单调递减的函数的序号是 ②④ . 【考点】函数单调性的判断与证明;利用导数研究函数的单调性. 【分析】利用幂函数、指数函数、对数函数及绝对值函数的性质对①②③④逐个判断即 可. 【解答】解:①y=x 在(0,1)单调递增函数,

②y=21﹣x=2×( )x,单调递减函数, ③y=ln(x+1)单调递增函数,

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④y=|1﹣x|=

,故在(0,1)上单调递减函数,

故综上所述,②④为(0,1)上的减函数. 故答案为:②④

15.某几何体的三视图如图所示,当 xy 取得最大值时,该几何体的体积是



【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由已知中的三视图,可知该几何体是一个四棱锥,求出底面面积,代入棱锥体积公 式,可得答案. 【解答】解:由已知中的三视图,可知该几何体是一个放倒的四棱锥,如图,当 xy 取得最 大值时, 由 x2+y2=25≥2xy, 当且仅当 x=y 时 xy 最大,此时 x=y= 所以棱锥的体积 V= 故答案为: . , = ;

16.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3(2n﹣1) ,数列{bn}的通项公式为 bn=5n﹣2.数列{an} 和{bn}的所有公共项按从小到大的顺序构成数列{cn}.若数列{cn}的第 n 项恰为数列{an}第 kn 项,则数列{kn}的前 32 项的和是 2016 . 【考点】数列的求和. 【分析】数列{an}的前 n 项和 Sn=3(2n﹣1) ,当 n=1 时,a1=3;当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1, n﹣1 可得:an=3×2 .数列{bn}的通项公式为 bn=5n﹣2.数列{an}和{bn}的所有公共项按从小

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到大的顺序构成数列{cn}:3,48,768,…,分别为数列{an}第 1,5,9,…,kn 项.利用等 差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出. 【解答】解:数列{an}的前 n 项和 Sn=3(2n﹣1) , ∴当 n=1 时,a1=3;当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=3(2n﹣1)﹣3(2n﹣1﹣1)=3×2n﹣1, 当 n=1 时上式也成立,∴an=3×2n﹣1. 数列{bn}的通项公式为 bn=5n﹣2. 数列{an}和{bn}的所有公共项按从小到大的顺序构成数列{cn}:3,48,768,…, 分别为数列{an}第 1,5,9,…,kn 项. 可得 kn=1+4(n﹣1)=4n﹣3. ∴则数列{kn}的前 32 项的和是 故答案为:2016. 三、简答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 18.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 acosB﹣bcosA=c. (Ⅰ)求角 A; (Ⅱ)当△ABC 的面积等于 4 时,求 a 的最小值. 【考点】余弦定理;正弦定理. sinAcosB﹣sinBcosA=sinC, 【分析】 (I) 由 acosB﹣bcosA=c, 根据正弦定理可得: 又 sinC=sin A B sinBcosA=0 A B 0 π ( + ) ,化简整理可得: ,利用 , ∈( , ) ,即可得出. (II)由(I)可得:S△ ABC= bc=4,bc=8.b2+c2=a2,利用基本不等式的性质即可得出. 【解答】解: (I)在△ABC 中,∵acosB﹣bcosA=c, 根据正弦定理可得:sinAcosB﹣sinBcosA=sinC,又 sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA, ∴sinBcosA=0,∵A,B∈(0,π) ,∴cosA=0,解得 A= (II)由(I)可得:S△ ABC= bc=4,∴bc=8. b2+c2=a2, ∴a2≥2bc=16, 解得 a≥4,当且仅当 b=c=2 因此 a 的最小值为 4. . =2016.

时取等号.

19.某市小型机动车驾照“科二”考试共有 5 项考察项目,分别记作①,②,③,④,⑤ (Ⅰ)某教练将所带 10 名学员“科二”模拟考试成绩进行统计(如表所示) ,并打算从恰有 2 项成绩不合格的学员中任意抽出 2 人进行补测(只侧不合格项目) ,求补测项目种类不超过 3 项的概率. 项目/学号编号 ① ② ③ ④ ⑤ T T T (1) T T T (2) 3 T T T T ( ) T T T (4) T T T T (5) T T T (6)
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T T T (7) T T T T (8) T T T (9) T T T T (10) 注:“T”表示合格,空白表示不合格

T T T

(Ⅱ)如图,某次模拟演练中,教练要求学员甲倒车并转向 90°,在车边缘不压射线 AC 与 射线 BD 的前提下,将汽车驶入指定的停车位.根据经验,学员甲转向 90°后可使车尾边缘 完全落在线段 CD 上,且位于 CD 内各处的机会相等.若 CA=BD=0.3m,AB=2.4m,汽车宽 度为 1.8m,求学员甲能按教练要求完成任务的概率.

【考点】几何概型;列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【分析】 (I)使用列举法求出古典概型的概率; (II)使用几何法求出几何概型的概率. 【解答】解: (I)由题意得共有 5 名学员(1) , (2) , (4) , (6) , (9)恰有 2 两项成绩不合 格,从中任意抽取 2 人进行补测,共有 10 种情况: 学员编号 补测项目 项数 ②③⑤ 3 (1) (2) ②③④⑤ 4 (1) (4) ③④⑤ 3 (1) (6) ①③⑤ 3 (1) (9) ②④⑤ 3 (2) (4) ②③④⑤ 4 (2) (6) 2 9 ①②⑤ 3 ( ) ( ) ②③④ 3 (4) (6) ①②④⑤ 4 (4) (9) ①③④⑤ 4 (6) (9) 由表格可知全部的 10 种情况中有 6 种情况补测项目不超过 3, ∴补测项目不超过 3 项的概率为 P= .

(II)在线段 CD 上取两点 B′,D′,使得 BB′=DD′=1.8m, 记汽车尾部左端点为 M,则当 M 位于线段 AB′上时,学员可按教练要求完成任务. ∴学员甲能按要求完成任务的概率 P= = = .

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20.已知几何体 ABCDEF 中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,四边形 ACFE 是矩 形,FB= ,M,N 分别为 EF,AB 的中点. (Ⅰ)求证:MN∥平面 FCB; (Ⅱ)若 FC=1,求点 A 到平面 MCB 的距离.

【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面平行的判定. 【分析】 (I)取 BC 的中点 Q,连接 NQ,FQ,利用三角形中位线定理与平行四边形的判定 可得四边形 MNQF 是平行四边形,因此 MN∥FQ,再利用线面平行的判定定理即可证明. (II)由 AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,可得∠ACB=90°,AC= ,AB=2.进而 得到 FC⊥BC,AC⊥BC,BC⊥平面 ACFE.设点 A 到平面 MCB 的距离为 h,则 VA﹣
MCB=

?h.四边形 ACFE 为矩形,又 VA﹣MCB=VB﹣ACM=

,即可得

出. 【解答】 (I)证明:取 BC 的中点 Q,连接 NQ,FQ,则 NQ= AC,NQ∥AC, 又 MF= AC,MF∥AC, ∴MF=NQ,MF∥NQ,则四边形 MNQF 是平行四边形, ∴MN∥FQ,FQ? 平面 FCB,MN?平面 FCB, ∴MN∥平面 FCB. (II)解:∵AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,可得∠ACB=90°,AC= ,AB=2. 又 FC=1,FB= ,BC=1,∴FC⊥BC,又∠ACB=90°,即 AC⊥BC.∴BC⊥平面 ACFE. 设点 A 到平面 MCB 的距离为 h,则 VA﹣MCB= 四边形 ACFE 为矩形,又 VA﹣MCB=VB﹣ACM= S△ MCB= = , ?h. = = ,

∴h=

=

,则点 A 到平面 MCB 的距离为



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21.已知直线 y=x+1 与函数 f(x)=aex+b 的图象相切,且 f′(1)=e. (I)求实数 a,b 的值; (Ⅱ)若存在 x∈(0, ) ,使得 2mf(x﹣1)+nf(x)=mx(m≠0)成立,求 的取值范 围. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】 (I)求出函数 f(x)的导数,设出切点,求得切线的斜率,由条件可得 b=1,解方 程可得 a=1; (Ⅱ)由于 f(x)=ex,由题意可得 + = 在 x∈(0, )有解,构造 g(x)= ,求

得导数,求出单调区间和极值、最值,可得 g(x)的范围,解不等式即可得到所求范围. 【解答】解: (I)函数 f(x)=aex+b 的导数为 f′(x)=aex, 由且 f′(1)=e,可得 ae=e,即 a=1; 设切点为(m,m+1) ,可得切线的斜率为 aem=1, 又 m+1=aem+b,解得 b=1, 综上可得,a=b=1; (Ⅱ)由于 f(x)=ex, 存在 x∈(0, ) ,使得 2mf(x﹣1)+nf(x)=mx(m≠0)成立, 即为 + = 在 x∈(0, )有解,

由 g(x)=

的导数为



可得 0<x<1 时,g′(x)>0,g(x)递增; 1<x< 时,g′(x)<0,g(x)递减. 即有 g(x)在 x=1 处取得极大值,且为最大值 , 由 g(0)=0,g( )= ,

即有 g(x)的范围是(0, ], 则 0< + ≤ ,解得﹣ < ≤﹣ . 故 的取值范围为(﹣ ,﹣ ].

22.已知椭圆 E: 下顶点.

+

=1(a>b>0) ,A 为椭圆 E 的右顶点,B,C 分别为椭圆 E 的上、

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(I)若 N 为 AC 的中点,△BAN 的面积为

,椭圆的离心率为

.求椭圆 E 的方程;

(Ⅱ)F 为椭圆 E 的右焦点,线段 CF 的延长线与线段 AB 交于点 M,与椭圆 E 交于点 P, 求 的最小值.

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (I)由题意可得 A(a,0) ,B(0,b) ,C(0,﹣b) ,由两点的距离公式及点到直 线的距离公式,运用三角形的面积公式,结合离心率公式,可得 a,b,进而得到椭圆方程; (Ⅱ)设 F(c,0) ,C(0,﹣b) ,A(a,0) ,B(0,b) ,求得直线 CF,AB 的方程,联立 求得 M 的坐标,再联立椭圆方程,可得 P 的坐标,由 = ,化简整理,转化为 e 的

式子,运用基本不等式可得最小值. 【解答】解: (I)由题意可得 A(a,0) ,B(0,b) ,C(0,﹣b) , |AN|= |AC|= ,

直线 AC 的方程为 bx﹣ay﹣ab=0,可得 B 到 AC 的距离为 d= , ,可得 )= ,

由△BAN 的面积为 ? 即有 ab=2 又 e= = ?( ,

,a2﹣b2=c2, , + =1;

解得 a=2,b=c= 即有椭圆的方程为

(Ⅱ)设 F(c,0) ,C(0,﹣b) ,A(a,0) ,B(0,b) , 可得直线 CF:y= x﹣b,直线 AB 的方程为 y=﹣ x+b, 联立直线 CF 和 AB 的方程,可得 M( , ) ,

将直线 CF 的方程代入椭圆方程 b2x2+a2y2=a2b2, 可得 x=0 或 ,

即有 P(



) ,

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=

=



由 e= ∈(0,1) ,可得

= 当且仅当 1+e=

=(1+e)+ ,即 e=

﹣2≥2 ﹣1,可得最小值 2

﹣2=2 ﹣2.

﹣2.

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修 4-1: 几何证明选讲] 23.如图,已知 A,B,C,D 四点共圆,BA,DC 的延长线交于点 M,CA,DB 的延长线 交于点 F,连接 FM,且 FM⊥MD.过点 B 作 FD 的垂线,交 FM 于点 E (Ⅰ)证明:△FAB∽△FDC (Ⅱ)证明:MA?MB=ME?MF.

【考点】与圆有关的比例线段;相似三角形的判定. 【分析】 (Ⅰ)利用:A,B,C,D 四点共圆,可得∠FBA=∠FCD,结合公共角,即可证明 △FAB∽△FDC; (Ⅱ)证明:F,E,A,B 四点共圆,利用割线定理证明 MA?MB=ME?MF. 【解答】证明: (Ⅰ)∵A,B,C,D 四点共圆, ∴∠FBA=∠FCD, ∵∠AFB=∠DFC, ∴△FAB∽△FDC (Ⅱ)如图,在△FBE,△FMD 中,∠FBE=∠FMD=90°,∠BFE=∠MFD, 由三角形内角和定理,可得∠BEF=∠MDF, ∵ABDC 为圆的内接四边形, ∴∠MDF=∠BAF, ∴∠BEF=∠BAF, ∴F,E,A,B 四点共圆, ∴MA?MB=ME?MF. [选修 4-4:坐标系与参数方程]

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24.已知曲线 C1:x+

y=

和 C2:

(φ 为参数) ,以原点 O 为极点,x 轴

的正半轴为极轴,建立极坐标系,且两种坐标系中取相同的长度单位. (1)把曲线 C1、C2 的方程化为极坐标方程 (2)设 C1 与 x 轴、y 轴交于 M,N 两点,且线段 MN 的中点为 P.若射线 OP 与 C1、C2 交于 P、Q 两点,求 P,Q 两点间的距离. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (1)利用 x=ρcosθ,y=ρsinθ,将普通方程化为极坐标方程即可; 2 ( )求出 M,N,P 的坐标,得到射线的极坐标方程,分别代入 C1、C2 得到,P,Q 的极 坐标,求距离即可. 【解答】解: (1)线 C1:x+ y= 和 C2: (φ 为参数) ,以原点 O 为极点,

x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,因为 x=ρcosθ,y=ρsinθ, 所以 C1: ; ,即 ,所以

C2 的普通方程为 . (2)由题意 M( , 把 把

,所以其极坐标方程为

,即

,0) ,N(0,1) ,所以 P(

) ,所以射线 OP 的极坐标方程为:

代入 C1 得到 ρ1=1,P(1, 代入 C2 得到 ρ2=2,Q(2,

) ; ) ,

所以|PQ|=|ρ2﹣ρ1|=1,即 P,Q 两点间的距离为 1. [选修 4-5:不等式选讲] 25.设函数 f(x)=|x+1|﹣|2x﹣a| (Ⅰ)当 a=2,解不等式 f(x)<0 (Ⅱ)若 a>0,且对于任意的实数 x,都有 f(x)≤3,求 a 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法. 【分析】 (Ⅰ)将 a=2 代入,不等式两边平方,解出即可; (Ⅱ)通过讨论 x 的范围,得到 f (x)的分段函数,求出 f(x)的最大值,从而求出 a 的范围即可. 【解答】解: (Ⅰ)a=2 时,原不等式为:|x+1|﹣|2x﹣2|<0, 即|x+1|<|2x﹣2|,平方: (x+1)2<(2x﹣2)2,

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化简得: (3x﹣1) (x﹣3)>0,解得:x< 或 x>3, 故解集为:{x|x< 或 x>3}; (Ⅱ)∵a>0,∴ >0, ∴原函数可化为:

f(x)=



即 f(x)=



∴f(x)max=f( )= +1, ∴ +1≤3,解得:a≤4, 综上,a 的范围是(0,4].

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2016 年 8 月 24 日

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