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广东省揭阳市2016届高三第二次高考模拟数学文试题(解析版)


绝密★启用前

揭阳市 2016 年高中毕业班第二次高考模拟考试题

数学(文科)
本试卷共 4 页,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答题前,考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,答在本试卷上无效. 4.考试结束,将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
(1)已知复数 z ? 2i(1 ? i) ( i 为虚数单位), z 的共轭复数为 z ,则 z ? z ? (A) 4i 答案:C 解析:复数 z ? 2i(1 ? i) =2+2 i , z ? 2 ? 2i ,所以, z ? z ? 4。 (2)已知集合 A ? {x | y ? (A) (2, ??) 答案:B (B) ? 4i (C)4 (D) ?4

x ?1}, B ? {x | y ? ln(2x ? x2 )} ,则 A ? B ?
(C) (0, 2) (D) [1, 2]

(B) [1, 2)

解析:集合 A= ?x | x ? 1 ? ,B= ?x | 0 ? x ? 2? ,故 A ? B ? [1, 2)

(3)已知向量 a ? ( 3,1), b ? (0, ?1), c ? (k , 3) ,若( a ? 2b )与 c 互相垂直,则 k 的值为 (A)-3 答案:A (B)-1 (C)1 (D)3

?

?

?

?

?

?

解析: a ? 2b = ( 3,3) ,因为 a ? 2b 与 c 垂直,所以, 3 k+3 3 =0,所以,k=-3 (4)已知命题 p : ?x ? R, cos x ? sin x ,命题 q : ?x ? (0, ? ),sin x ? 是 (A)命题 p ? q 是假命题 (C)命题 p ? (?q) 是假命题 答案:D

?

?

?

?

?

1 ? 2 ,则下列判断正确的 sin x

(B)命题 p ? q 是真命题 (D)命题 p ? (?q) 是真命题

? ? 1 ? 2, 时, cos x ? sin x 成立,所以,命题 p 是真命题;当 x ? 时, sin x ? 2 sin x 6 故 q 是假命题,从而有 p ? (?q) 是真命题。
解析:当 x=

(5)已知双曲线 (A)

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 两条渐近线的夹角为 60? ,则该双曲线的离心率为 2 a b
(B)

2 3 3

4 3

(C)

2 3 或2 3

(D)4

答案:C 解析:(1)双曲线两条渐近线在 y 轴两旁的夹角为 60°时,由双曲线的对称线知,两条渐近线的

b ? tan 60? ? 3 , a c 又 c2 ? a2 ? b2 ? a2 ? ( 3a)2 ,解得离心率 e ? ? 2 。 a
倾斜角分别为 60°、120°,所以, (2)双曲线两条渐近线在 x 轴两旁的夹角为 60°时,其中一条渐近线的倾斜角为 30°,所以,

b 3 , ? tan 30? ? a 3
c 2 3 3 2 。 a) ,解得离心率 e ? ? a 3 3 ?2 x , ( x ? 1) (6)已知函数 f ( x) ? ? ,则 f (log2 9) 的值为 ? f ( x ? 1), ( x ? 1) 9 9 (A)9 (B) (C) 2 4
又c ? a ?b ? a ?(
2 2 2 2

(D)

9 8

答案:D 解析: log 2 9 ? log 2 8 ? 3 ,所以, f (log2 9) = f (log 2 9 ? 1) = f (log2 9 ? 2) = f (log2 9 ? 3) =2
(log 2 9 ?3)

2log2 9 9 ? 3 = 。 8 2
1 , 1 ,1 成等比数列, 设 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 a a 2 4
n(n ? 1) 2
2

(7) 已知等差数列 {an } 的公差不为 0,a1 ? 1 , 且 则 Sn ? (A) 答案:C

(n ? 1) 2 4

( B)

n( n ? 3) 4

(C)

(D)

n2 ? 1 2

解析:依题意,得: a1a4 ? a22 ,所以, 1? (1 ? 3d ) ? (1 ? d ) ,得公差 d=1, an ? n ;故选 C. (8)函数 f ( x) ?

x log a | x | ( 0 ? a ? 1 )图象的大致形状是 | x|

答案:C 解析:特殊值法。取 a ?

1 ,当 x=2 时,f(2)=-1<0,排除 A,B; 2

当 x=-2 时,f(-2)=1>0,排除 D,所以,选 C。

? x ? y ? 3 ? 0, ? (9)若直线 y ? 2 x 上存在点 ( x, y ) 满足条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0, 则实数 m 的最大值为 ? x ? m. ?
(A) ?2 答案:B 解析:不等式表示的平面区域如图所示,解 ? (B) ?1 (C)1 (D)3

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? x ? ?1 得: ? ,所以,当 m>-1 时,由 ? y ? 2x ? y ? ?2

图可知,直线 y ? 2 x 与图没有交点,故 m 的最大值为-1。

(10)圆柱形容器内盛有高度为 6cm 的水,若放入 3 个相同的铁球球(球的半 径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球,则球的半径为 (A)1 cm (C)3cm 答案:C 解析:设球的半径为 r ,则由 3V 球+V 水=V 柱,得 3 ? ? r ? ? r (6r ? 6) ? r ? 3
3 2

(B)2cm (D)4cm

4 3

(11)某组合体的三视图如图示,则该组合体的表面积为 (A) (6 ? 2 2)? ? 12 (C) 4(2? ? 1) (B) 8(? ? 1) (D) (12 ? 2 2)?

答案:A 解析:该组合体下面为半圆柱,上面为半圆锥,故其表面积为:

1 1 1 1 ? ? ? 22 ? ? 2? ? 2 ? 2 ? ? ? ? 2 ? 2 2 ? 4 ? 2 ? ? 4 ? 2 2 2 2 2

? 2? ? 4? ? 2 2? ? 8 ? 4 ? (6 ? 2 2)? ?12 .
(12)已知 P 是直线 kx ? y ? 4 ? 0(k ? 0) 上一动点,PA、PB 是 圆 C: x ? y ? 2 y ? 0 的两条切线,切点分别为 A、B,若四边形 PACB 的最小面积为 2,则
2 2

k 的值为

(A)3 答案:B

(B)2

(C)1

(D)

1 2

解析: S四边形PACB ? PA ? AC ? PA ? CP2 ? CA2 ? CP2 ?1 , 可知当| CP | 最小时,即 CP ? l 时,其面积最小,由最小面积 CP2 ?1 ? 2 得 | CP |min ? 5 , 由点到直线的距离公式得: | CP |min ?

5 1? k 2

? 5 ,因 k ? 0 ,所以 k ? 2 .

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考 生都必须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把正确的答案填写在答题卡相 应的横线上.
(13)某高级中学共有学生 3200 人,其中高二级与高三级各有学生 1000 人,现采用分层抽样的方 法,抽取容量为 160 的样本,则应抽取的高一级学生人数为 ___________. 答案:60 解析:高一学生有 3200-1000-1000=1200 人, 共抽取高一学生人数: 1200 ?

160 =60 3200
.

(14)执行如图所示的程序框图,则输出的 k 值为 答案:6 解析:第 1 步:s=1,k=2; 第 2 步:s=2,k=3; 第 3 步:s=6,k=4; 第 4 步:s=15,k=5; 第 5 步:s=31,k=6; 第 6 步:s=56,退出循环,此时 k=6

2 (15)已知函数 f ( x) ? x ? ax 的图象在点 A (1, f (1)) 处的切线 l 与直

线 x ? 3 y ? 1 ? 0 垂直,记数列 { 的值为 .

1 } 的前 n 项和为 Sn ,则 S2016 f (n)

答案: 2016 2017 2 解析:依题意知函数 f ( x) ? x ? ax 的图象在点 A (1, f (1)) 处的切线斜率

k ? f '(1) ? 2 ? a ? 3 ? a ? ?1 ,故

1 1 1 1 ? ? ? , f (n) n(n ? 1) n n ? 1

1 2016 1 1 1 1 1 ? 1? ? S 2016 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? . 2017 2017 2 2 3 2016 2017
(16) 已知梯形 ABCD 中,AD//BC, ?ABC ? 90 ,AD=2,BC=1,
?

P 是腰 AB 上的动点,则 | PC ? PD | 的最小值为 答案:3

??? ? ??? ?

.

解析:如图以 PC、PD 为邻边作平行四边形 PCQD,则 PC ? PD ? PQ ? 2 PE ,要 | PQ | 取最小值, 只需 | PE | 取最小值,因 E 为 CD 的中点,故当

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

PE ? AB 时, | PE | 取最小值,这时 PE 为梯形的 ??? ? 1 3 中位线,即 | PE |min ? (| BC | ? | AD |) ? , 2 2
故 | PQ |min ? 3 .

??? ?

??? ?

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分 12 分) 已知如图 4,△ABC 中,AD 是 BC 边的中线, ?BAC ? 120 ,且
?

??? ? ??? ? AB ? AC ? ? 15 . 2
(Ⅰ)求△ABC 的面积; (Ⅱ)若 AB ? 5 ,求 AD 的长.

A

B

D

C
图4

??? ? ??? ? 1 15 解析:解:(Ⅰ)∵ AB ? AC ? ? 15 ,∴ AB ? AC ? cos ?BAC ? ? AB ? AC ? ? ,----2 分 2 2 2 即 AB ? AC ? 15 ,----------------------------------------------------3 分
A

3 ? 15 3 .-------5 分 1 1 ∴ S ?ABC ? AB ? AC sin ?BAC ? ? 15 ? 2 2 2 4 B (Ⅱ)解法 1:由 AB ? 5 得 AC ? 3 ,
延长 AD 到 E,使 AD=DE,连结 BE,---------------6 分 ∵BD=DC,

D

C

E ? ∴四边形 ABEC 为平行四边形,∴ ?ABE ? 60 ,且 BE ? AC ? 3 -----------8 分

设 AD ? x ,则 AE ? 2 x ,在△ABE 中,由余弦定理得:

(2 x)2 ? AB2 ? BE 2 ? 2 AB ? BE cos ?ABE ? 25 ? 9 ?15 ? 19 ,-----------------------10 分
19 19 ,即 AD 的长为 .--------------------------------------12 分 2 2 【解法 2:由 AB ? 5 得 AC ? 3 ,
解得 x ? 在△ABC 中,由余弦定理得: BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC cos ?BAC ? 25 ? 9 ? 15 ? 49 ,
2 2 2

得 BC ? 7 ,----------------------------------------------------------------------------------------------7 分 由正弦定理得:

BC AB ? , sin ?BAC sin ?ACD

3 2 ? 5 3 ,----------------------------------------9 分 7 14 11 2 ? ? ∵ 0 ? ?ACD ? 90 ∴ cos ?ACD ? 1 ? sin ?ACD ? ,--------------10 分 14 49 7 11 19 2 2 2 ? 2 ? 3? ? ? , 在△ADC 中, AD ? AC ? CD ? 2 AC ? CD cos ?ACD ? 9 ? 4 2 14 4 AB sin ?BAC ? 得 sin ?ACD ? BC 5?

19 .------------------------------------------------------12 分】 2 【解法 3:由 AB ? 5 得 AC ? 3 ,
解得 AD ? 在△ABC 中,由余弦定理得: BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC cos ?BAC ? 25 ? 9 ? 15 ? 49 ,
2 2 2

得 BC ? 7 ,--------------------------------------------------------------------------------------7 分 在△ABC 中, cos ?ACB ?

AC 2 ? BC 2 ? AB 2 9 ? 49 ? 25 11 ? ? ,------------9 分 2 AC ? BC 2 ? 3? 7 14 49 7 11 19 2 2 2 ? 2 ? 3? ? ? , 在△ADC 中,由 AD ? AC ? CD ? 2 AC ? CD cos ?ACD ? 9 ? 4 2 14 4

解得 AD ?

19 .-------------------------------------------------------12 分】 2

(18)(本小题满分 12 分) 某人租用一块土地种植一种瓜类作物,根据以往的年产 量数据,得到年产量频率分布直方图如图 5 示,以各区间中 点值作为该区间的年产量,得到平均年产量为 455kg. 已知当 年产量低于 450 kg 时,单位售价为 12 元/ kg,当年产量不低于 450 kg 时,单位售价为 10 元/ kg. (Ⅰ)求图中 a、b 的值; (Ⅱ)估计年销售额大于 3600 元小于 6000 元的概率. 解析: 解:(Ⅰ)由 100(a ? 0.0015 ? b ? 0.004) ? 1 ,
0.0015 0.0040

频率/组距

b
图5

a
0

年产量/kg 250 350 450 550 650

得 100(a ? b) ? 0.45 ,-------------------------------------------------2 分 由 300 ?100a ? 400 ? 0.4 ? 500 ?100b ? 600 ? 0.15 ? 455 , 得 300a ? 500b ? 2.05 ,-----------------------------------------------4 分 解得 a ? 0.0010 , b ? 0.0035 ;----------------------------------------6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)结合直方图知, 当年产量为 300kg 时,其年销售额为 3600 元, 当年产量为 400kg 时,其年销售额为 4800 元, 当年产量为 500kg 时,其年销售额为 5000 元, 当年产量为 600kg 时,其年销售额为 6000 元,-------------------------8 分 因为年产量为 400kg 的频率为 0.4,即年销售额为 4800 元的频率为 0.4,-----------9 分

而年产量为 500kg 的频率为 0.35,即年销售额为 5000 元的频率为 0.35,-----------10 分 故估计年销售额大于 3600 元小于 6000 元的概率为:0.35+0.4=0.75, -----------12 分 (19)(本小题满分 12 分) 如图 6, 已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为菱形, 且 ?ABC ? 60 , AB=PC=2, PA=PB= 2 .
?

(Ⅰ)求证:平面 PAB ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求点 D 到平面 APC 的距离.

图6 解析:解:(Ⅰ)取 AB 得中点 O,连结 PO、CO,----1 分 由 PA=PB= 2 ,AB=2 知△PAB 为等腰直角三角形, ∴PO⊥AB,PO=1,------------------------------------------------------------------2 分 又 AB=BC=2, ?ABC ? 60 知△ ABC 为等边三角形,∴ CO ? 3 ---3 分
?

2 2 2 又由 PC ? 2 得 PO ? CO ? PC ,

∴PO⊥CO,-----------4 分

∴PO⊥平面 ABC,-------------------------------------------5 分 又∵ PO ? 平面 PAB,∴平面 PAB ? 平面 ABCD -----------------------6 分 (Ⅱ)设点 D 到平面 APC 的距离为 h, 由(Ⅰ)知△ADC 是边长为 2 的等边三角形,△PAC 为等腰三角形, 由 VD? PAC ? VP? ADC 得 S ?PAC ? h ? ∵ S?ADC ? ∴h ?

1 3

1 S ?ADC ? PO ---------------------------------------------8 分 3

1 1 7 3 2 ,---------------------10 分 ? 2 ? 3 , S?PAC ? PA ? PC 2 ? ( PA)2 ? 4 2 2 2

S?ADC ? PO 3 ?1 2 21 2 21 ,即点 D 到平面 APC 的距离为 .-------12 分 ? ? 7 7 S?PAC 7 2
y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与抛物线 C2 : x2 ? y ? 1 有公共弦 AB(A 在 B 左边), a 2 b2

(20)(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C1 :

AB=2, C2 的顶点是 C1 的一个焦点,过点 B 且斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 与 C1 、 C2 分别交于点 M、 N(均异于点 A、B). (Ⅰ)求 C1 的方程; (Ⅱ)若点 A 在以线段 MN 为直径的圆外,求 k 的取值范围. 解析:解:(Ⅰ)∵抛物线 y ? x ?1 的顶点为 (0, ?1) ,即椭圆的下焦点为 (0, ?1) ,
2

∴ c ? 1 ,----------------------------------------------------------------------------------------1 分 由 AB=2 知 xB ? 1 ,代入抛物线得 B(1, 0) ,得 b ? 1 ,----------------------2 分

y2 ? x 2 ? 1;---------------------------4 分 ∴ a ? b ? c =2, C1 的方程为 2 (Ⅱ)依题意知直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,-------------------------------5 分
2 2 2

联立

y2 ? x 2 ? 1消去 y 得: (k 2 ? 2) x2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 2 ? 0 , 2
2 2

k ? 2 ,得 x ? k ? 2 , y ? ?4k ,-------------------------7 分 则 xM ? x B ? 2 M 2 M 2


?

k ?2

k ?2

k ?2

y ? k ( x ? 1) 2 ,得 x ? kx ? k ? 1 ? 0 , x2 ? y ? 1

由 ? ? k 2 ? 4(k ?1) ? (k ? 2)2 ? 0 ,得 k ? 2 , 则 xN ? xB ? k ?1 ,得 xN ? k ?1 , yN ? k (k ? 2) ,----------------------------9 分 ∵点 A 在以 MN 为直径的圆外,即 ? AM , AN ? ?[0, ? ) ,----------------------10 分

???? ? ????

2 ???? ? ???? ∴ AM ? AN ? 0 ,又 A(?1, 0) , 2 2 ???? ? ???? k 2 ? k ? ?4k (k ? 2) ? 2k (4 ? k ) ? 0 , ∴ AM ? AN ? ( xM ?1, yM ) ? ( xN ?1, yN ) ? 2 k2 ? 2 k2 ? 2 k2 ? 2 解得 k ? 4 ,综上知 k ? (??,0) ? (0, 2) ? (2, 4) .-----------------------------12 分
(21)(本小题满分 12 分)

ln( x ? 1) ( x ? 2 ). x?2 (Ⅰ) 判断函数 f ( x ) 的单调性;
已知函数 f ( x ) ? (Ⅱ)若存在实数 a ,使得 f ( x) ? a 对 ?x ? (2, ??) 均成立,求 a 的取值范围.

x?2 ? ln( x ? 1) ( x ? 2) ? ( x ? 1) ln( x ? 1) ? 解析:解:(Ⅰ) 解法 1: f '( x) ? x ? 1 , -----------2 分 2 ( x ? 2) ( x ? 1)( x ? 2)2
记 g ( x) ? ( x ? 2) ? ( x ? 1) ln( x ? 1) ( x ? 2 ), g '( x) ? ? ln( x ? 1) ? 0 ,----------3 分 即 g ( x) 在 (2, ??) 上单调递减,∴ g ( x) ? g (2) ? 0 从而 f '( x) ? 0 ,∴函数 f ( x ) 在 (2, ??) 上的单调递减.----------------------------5 分

x?2 ? ln( x ? 1) 【解法 2:依题意得 f '( x) ? x ? 1 , --------------------------------------------2 分 ( x ? 2) 2
记 g ( x) ? 则 g '( x) ? ∵x?2

x?2 ? ln( x ? 1) ( x ? 2 ) x ?1

1 1 2? x ? ? ,---------------------------------------------------------3 分 2 ( x ? 1) x ? 1 ( x ? 1) 2
∴ g '( x) ? 0 ,即函数 g ( x) 在 (2, ??) 上单调递减,

∴ g ( x) ? g (2) ? 0 ,从而得 f '( x) ? 0 , ∴函数 f ( x ) 在 (2, ??) 上的单调递减.--------------------------------------------------5 分】

(Ⅱ) 解法 1: f ( x) ? a 对 ?x ? (2, ??) 均成立, 等价于 ln( x ? 1) ? a( x ? 2) 对 ?x ? (2, ??) 均成立,-------------------------------------6 分 由 y ? ln( x ? 1) 得 y ' ?

1 ,由此可得函数 y ? ln( x ? 1) 的图象在点(2,0)处的切线 x ?1

为 y=x-2,-----------------------------------------------------------------------------------------7 分 (1)当 a ? 1 时,在 (2, ??) 上,直线 y ? a( x ? 2) 与函数 y ? ln( x ? 1) 的图象相交,不合题意; ---9 分 (2)当 a ? 1 时,在 (2, ??) 上,直线 y ? a( x ? 2) 在函数 y ? ln( x ? 1) 的图象的上方,符合题意 ---------------11 分 综上得:要使 f ( x) ? a 对 ?x ? (2, ??) 均成立, a ? [1, ??) .------------------------------12 分 【解法 2: f ( x) ? a 对 ?x ? (2, ??) 均成立, 等价于 ln( x ? 1) ? a( x ? 2) 对 ?x ? (2, ??) 均成立---------------------------------------5 分 记 h( x) ? ln( x ? 1) ? a( x ? 2) ,则 h '( x ) ?

1 1 ? a ? ax ?a a ?1 ?a ? ? (x ? ) -------6 分 x ?1 x ?1 x ?1 a

1? a , a ?1 ? 2 ? 0 ? a ? 1, a a (1)当 a ? 0 时,对 ?x ? (2, ??) , h '( x) ? 0 ,即函数 h( x) 在 (2, ??) 单调递增,

h(2) ? 0 ,令 h '( x) ? 0 得 x ?

故 h( x) ? h(2) ? 0 ,即 ln( x ? 1) ? a( x ? 2) ? 0 ,不符合题意;---------------------------8 分 (2)当 0 ? a ? 1 时,对 ?x ? (2, 此时函数 h( x) 在 (2,

1? a ) , h '( x) ? 0 , a

1? a ) 上为增函数,即 ln( x ? 1) ? a( x ? 2) ? 0 ,不符合题意;-----10 分 a (3)当 a ? 1 时,对 ?x ? (2, ??) ,有 h '( x) ? 0 ,函数 h( x) 在 (2, ??) 单调递减,
因此 ln( x ? 1) ? a( x ? 2) ? h(2) ? 0 ,符合题意; 综上得:要使 f ( x) ? a 对 ?x ? (2, ??) 均成立, a ? [1, ??) .------------------------12 分】 请考生在第(22)、(23)、(24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一个题目计分. (22)(本小题满分 10 分)选修 4 ? 1:几何证明选讲 如图 7 所示,⊙O 和⊙P 相交于 A, B 两点,过 A 作两圆的切线 分别交两圆于 C,D 两点,连接 DB 并延长交⊙O 于点 E. (Ⅰ) 若 BC=2,BD=4,求 AB 的长; (Ⅱ) 若 AC=3,求 AE 的长. E O A P


D

B C 解析:解:(Ⅰ)由弦切角定理得 ?BAC ? ?BDA ,---------1 分 图7 ?BAD ? ?BCA , ----------------------------------------------------2 5 分 所以 ?BAC ∽ ?BDA ,------------------------------------------------------------------3 分

得 AB ? BC ,----------------------------------------------------------------------------4 分

BD

AB

AB2 ? BC ? BD ? 8 , AB ? 2 2 ;---------------------------------5 分
(Ⅱ)连接 EC,∵ ?AEC ? ?AEB ? ?BEC ,-----------------------------------------6 分 ?ACE ? ?ABE ? ?BAD ? ?ADB -------------------------------------------------7 分 ∵ ?AEB ? ?BAD , ?BAC ? ?BDA = ?BEC ,----------------------8 分 ∴ ?AEC ? ?ACE ------------------------------------------------9 分 ∴AE=AC=3.--------------------------------------------------------------------------------10 分 (23)(本小题满分 10 分)选修 4 ? 4:坐标系与参数方程 已知椭圆 C 的普通方程为:

x2 y 2 ? ? 1. 9 4

(Ⅰ) 设 y ? 2t ,求椭圆 C 以 t 为参数的参数方程; (Ⅱ) 设 C 与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴的交点分别为 A、B,点 P 是 C 上位于第一象限的动 点,求四边形 AOBP 面积的最大值.(其中 O 为坐标原点) 解析:解:(Ⅰ)将 y ? 2t 代入椭圆的普通方程得 x ? 9(1 ?
2

4t 2 ) ? 9(1 ? t 2 ) ,------------1 分 4

于是得 x ? ?3 1 ? t 2 ,-----------------------------------------------------------------------------2 分 ∴椭圆 C 的参数方程为 ?

? ? ?x ? 3 1? t2 , ? x ? ?3 1 ? t 2 , ( t 为参数)和 ? ( t 为参数)---4 分 ? ? ? y ? 2t. ? y ? 2t.

(Ⅱ)依题意知点 A(3,0),B(0,2),--------------------------------------------------------------------5 分 设点 P 的坐标为 (3cos ? , 2sin ? ) , (0 ? ? ? 则 S四边形AOBP ? S?BPO ? S?OPA ?

?

2

) ---------------------------------------------6 分

1 1 ? 2 ? 3cos ? ? ? 3 ? 2sin ? ---------------------------8 分 2 2

当 sin(? ?

?
4

? 3sin ? ? 3cos ? ? 3 2 sin(? ? ) , (0 ? ? ? ) ----------------9 分 2 4
) ? 1 ,即 ? ?

?

?

?

4

时,四边形 AOBP 面积取得最大值,其值为 3 2 .------10 分

(24)(本小题满分 10 分)选修 4 ? 5:不等式选讲 已知 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? a | (a ? R, a ? 0) , (Ⅰ) 若 f ( x ) 的最小值是 ?3 ,求 a 的值; (Ⅱ)求 | f ( x) |? 2 的解集. 解析:解:(Ⅰ)解法 1:∵ a ? 0 , ∴ f ( x) ? ?2 x ? 2 ? a,(?2 ? x ? a) ,--------------2 分

?(a ? 2), ? ? ? ? a ? 2,

( x ? ?2) ( x ? a)

当 ?2 ? x ? a 时, ?2 ? a ? f ( x) ? a ? 2 ,∴当 x ? R 时, ?2 ? a ? f ( x) ? a ? 2 ,---4 分 ∴ f ( x)min ? ?(a ? 2) ? ?3 ,∴a=1;--------------------------------------------------5 分

【解法 2:∵ || x ? 2 | ? | x ? a ||?| ( x ? 2) ? ( x ? a) | ? a ? 2 ,----------------------2 分 ∴ | f ( x) |? a ? 2 , f ( x)min ? ?(a ? 2) ,---------------------------------------------3 分 又已知 f ( x)min ? ?3 , ∴a=1;----------------------------------------------------------5 分】 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? ?2 x ? 2 ? a,(?2 ? x ? a) ,( a ? 0 )

?(a ? 2), ? ? ? ? a ? 2,

( x ? ?2) ( x ? a)

当 x ? ?2 时, f ( x) ? ?(a ? 2) ? ?2 , | f ( x) |? 2 ,不等式 | f ( x) |? 2 解集为空集----6 分 当 x ? a 时, f ( x) ? a ? 2 ? 2 ,不等式 | f ( x) |? 2 解集也为空集;----------------7 分 当 ?2 ? x ? a 时, | f ( x) |? 2 ,即 ?2 ? 2 x ? 2 ? a ? 2 ? a ? 2 ? x ? a

2

2

a a ? 2 ? ?2 , ? a ,∴当 ?2 ? x ? a 时, | f ( x) |? 2 的解为 a ? 2 ? x ? a -----9 分 2 2 2 2 综上得所求不等式的解集为 {x | a ? 2 ? x ? a } ----------------------------10 分 2 2



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