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2014-2015学年山东省泰安一中高二(下)4月学情检测数学试卷(文科)


2014-2015 学年山东省泰安一中高二(下)4 月学情检测数学试卷 (文科)
一、选择题: (共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.) 1. (2015 春?泰安校级月考)在复平面内,复数 1﹣ 所对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 考点:复数的代数表示法及其几何意义. 专题:数系的扩充和复数. 分析:根据复数的几何意义进行判断. C.第三象限 ) D.第四象限

解答: 解:1﹣ =1+i,对应的坐标为(1,1)位于第一象限, 故选:A. 点评:本题主要考查复数的基本运算和复数的几何意义,比较基础. 2. (2014?民乐县校级三模)下列表述正确的是( ) ①归纳推理是由部分到整体的推理; ②归纳推理是由一般到一般的推理; ③演绎推理是由一般到特殊的推理; ④类比推理是由特殊到一般的推理; ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A.①②③ B.②③④ C.②④⑤ D.①③⑤ 考点:归纳推理;演绎推理的意义. 专题:阅读型. 分析:本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义,根据定义对 5 个命题逐 一判断即可得到答案. 解答: 解:归纳推理是由部分到整体的推理, 演绎推理是由一般到特殊的推理, 类比推理是由特殊到特殊的推理. 故①③⑤是正确的 故选 D 点评:判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义,即是否是由 特殊到一般的推理过程. 判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定 义, 即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程. 判断一个推理过程是否是演绎推理 关键是看他是否符合演绎推理的定义,即是否是由一般到特殊的推理过程. 3. (2011?郓城县校级模拟)设命题 p:?x∈R,|x|≥x;q:?x∈R, =0.则下列判断正确的是 ( ) A. p假q真 p假q假 考点:命题的真假判断与应用. 专题:计算题.

B.p 真 q 假

C. p 真 q 真 D .

分析:由|x|≥x 对任意 x∈R 都成立,知命题 p 是真命题;由 =0 无解,知不存在 x∈R,使 =0, 故命题 q 是假命题. 解答: 解:∵|x|≥x 对任意 x∈R 都成立, ∴命题 p 是真命题, ∵ =0 无解,∴不存在 x∈R,使 =0, ∴命题 q 是假命题, 故选 B. 点评:本题考查命题的真假判断,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进 行等价转化. 4. (2012?江西)若函数 f(x)= ,则 f(f(10) )=( ) D .0

A. lg101 B. 2 C.1 考点:函数的值. 专题:计算题. 分析:通过分段函数,直接求出 f(10) ,然后求出 f(f(10)的值. 解答: 解:因为函数 f(x)= ,

所以 f(10)=lg10=1; f(f(10)=f(1)=2. 故选 B. 点评:本题考查分段函数的值的求法,考查计算能力. 5. (2011?宝安区校级模拟)集合 M={x|x ﹣1=0},集合 N={x|x ﹣3x+2=0},全集为 U,则图 中阴影部分表示的集合是( )
2 2

A. {﹣1,1} B.{﹣1} C. {1} D. ? 考点:Venn 图表达集合的关系及运算. 专题:计算题;图表型. 2 2 分析:由题意分别求方程 x ﹣1=0 和 x ﹣3x+2=0 的解,从而求出集合 M、N;再根据图形阴 影部分表示的集合是
2

∩M.

解答: 解:由 x ﹣1=0,解得 x=﹣1 或 1, 2 则 M={1,﹣1};由 x ﹣3x+2=0, 解得 x=1 或 2,则 N={1,2}, 则图中阴影部分表示的集合是 ∩M={﹣1}.

故选 B. 点评:本题考查了求 Venn 图表示得集合,关键是根据图形会判断出阴影部分表示的集合元素 特征,再通过集合运算求出. 6. (2014 春?西华县校级期末)复数 z= A. B. ﹣ 的模为 1,则 a 的值为( C.± ) D.

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:利用复数模的运算性质即可求得答案. 解答: 解:∵| ∴a = , 解得:a=± .
2

|=

=

=1,

故选:C. 点评:本题考查复数的求模,熟练掌握模的运算性质是解决问题的关键,属于基础题. 7. (2011?湖南)通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联 表: 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由 算得,

附表: 2 p(k ≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 参照附表,得到的正确结论是( ) A. 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B. 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C. 在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” D. 在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” 考点:独立性检验的应用. 专题:计算题. 分析:根据条件中所给的观测值,同题目中节选的观测值表进行检验,得到观测值对应的结 果,得到结论有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.

解答: 解:由题意知本题所给的观测值, ∵7.8>6.635, ∴这个结论有 0.01=1%的机会说错, 即有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 故选 A. 点评:本题考查独立性检验的应用,考查对于观测值表的认识,这种题目一般运算量比较大, 主要要考查运算能力, 本题有所创新, 只要我们看出观测值对应的意义就可以, 是一个基础题. 8. (2014 秋?岳阳县校级期末)如图,根据程序框图,当输入 10 时,输出的是( )

. A. 12 B. 19 C. 14.1 D. ﹣30 考点:选择结构. 专题:图表型. 分析:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用 是计算分段函数 解答: 解:由图可知: 该程序的作用是计算分段函数 的函数值. 的函数值.

当当输入 10 时,输出的是:1.9×10﹣4.9=14.1. 故选 C. 点评:根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处理 方法是:①分析流程图(或伪代码) ,从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型,又要 分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多,也可使用表格对数据进行分析管理) ?②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③解模. 9. (2013?深圳模拟)下列有关选项正确的是( ) A. 若 p∨q 为真命题,则 p∧q 为真命题 2 B. “x=5”是“x ﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件 2 2 C. 命题“若 x<﹣1,则 x ﹣2x﹣3>0”的否定为:“若 x≥﹣1,则 x ﹣3x+2≤0” 2 2 D. 已知命题 p:?x∈R,使得 x +x﹣1<0,则?p:?x∈R,使得 x +x﹣1≥0 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;命题的否定. 分析:本题需要逐一判断,到满足题意的选项为止, (选择题四选一) ;可以采用先熟悉后生 疏的策略判定解答.

解答: 解:由复合命题真值表知:若 p∨q 为真命题,则 p、q 至少有一个为真命题,有可 能一真一假,也可能两个都真,推不出 p∧q 为真命题∴选项 A 错误; 由 x=5 可以得到 x ﹣4x﹣5=0,但由 x ﹣4x﹣5=0 不一定能得到 x=5,∴选项 B 成立; 选项 C 错在把命题的否定写成了否命题; 选项 D 错在没有搞清楚特称命题的否定是全称命题. 故选 B. 点评:本题涉及到四个命题,真值表,充要条件,命题的否定,分析中逐一判断,到满足题 意的选项为止, (选择题四选一) ,先熟悉后生疏,提供解题策略;解答中分析的比较清晰. 10. (2014 春?汇川区校级期中) 如图, 第 n 个图形是由正 n+2 边形“扩展”而来, (n=1、 2、 3、 …) 则在第 n 个图形中共有( )个顶点.
2 2

A. (n+1) (n+2) B.(n+2) (n+3) C. n D . n 考点:归纳推理. 专题:探究型. 分析:本题考查的知识点是归纳推理, 由已知图形中, 我们可以列出顶点个数与多边形边数 n, 然后分析其中的变化规律,然后用归纳推理可以推断出一个一般性的结论. 解答: 解:由已知中的图形我们可以得到: 当 n=1 时,顶点共有 12=3×4(个) , n=2 时,顶点共有 20=4×5(个) , n=3 时,顶点共有 30=5×6(个) , n=4 时,顶点共有 42=6×7(个) , … 由此我们可以推断: 第 n 个图形共有顶点(n+2) (n+3)个, 故选 B 点评:本类题解答的关键是:先通过观察个别情况发现某些相同性质;然后从已知的相同性 质中推出一个明确表达的一般性命题或猜想. 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (2015 春?泰安校级月考)函数 y= +(x+2) 的定义域为 {x|﹣2<x<1 或 1<
0

2

x≤2} . 考点:函数的定义域及其求法. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据函数成立的条件即可求函数的定义域.

解答: 解:要使函数有意义,则







即﹣2<x<1 或 1<x≤2, 故函数的定义域为{x|﹣2<x<1 或 1<x≤2}, 故答案为:{x|﹣2<x<1 或 1<x≤2} 点评:本题主要考查函数的定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件. 2 2 12. (2015 春?泰安校级月考)设 x,y∈R,则“x≥2 且 y≥2”是“x +y ≥4”的 充分不必要 条件 (从充分不必要、必要不充分、充分必要、既不充分也不必要四个中选一个填入空格) . 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:常规题型. 分析:由 x≥2 且 y≥2,可得 x ≥4,y ≥4,再进行判断命题之间的关系; 解答: 解:∵x≥2 且 y≥2, 2 2 2 2 2 2 ∴x ≥4,y ≥4,∴x +y ≥8?x +y ≥4, 2 2 2 2 若 x +y ≥4,则推不出 x≥2 且 y≥2,例如当 x=2,y=1 时,有 x +y ≥5≥4, 2 2 ∴“x≥2 且 y≥2”是“x +y ≥4”的充分不必要条件, 故答案为充分不必要条件. 点评:此题主要考查必要条件和充分条件的判断,此类题是高考常考的一道选择题,做题时 要知道必要条件和充分条件的定义即可求解. 13.已知 a,b 为常数,若 f(x)=x +4x+3,f(ax+b)=x +10x+24,则 5a﹣b= 2 . 考点:函数解析式的求解及常用方法. 专题:计算题;压轴题. 分析:将 ax+b 代入函数 f(x)的解析式求出 f(ax+b) ,代入已知等式,令等式左右两边的对 应项的系数相等,列出方程组,求出 a,b 的值. 解答: 解:由 f(x)=x +4x+3,f(ax+b)=x +10x+24,得 2 2 (ax+b) +4(ax+b)+3=x +10x+24, 2 2 2 2 即 a x +2abx+b +4ax+4b+3=x +10x+24.
2 2 2 2 2 2

比较系数得

求得 a=﹣1,b=﹣7,或 a=1,b=3,则 5a﹣b=2. 故答案为 2 点评:本题考查知 f(x)的解析式求 f(ax+b)的解析式用代入法. 14. (2012?惠安县校级模拟)满足{0,1,2}?A?{0,1,2,3,4,5}的集合 A 的个数是 6 个. 考点:子集与真子集. 专题:计算题;转化思想. 分析:由题意知集合 A 中一定含有 0,1,2 三个元素,问题转化为求{3,4,5}的子集,根据 非空真子集的公式,写出结果. 解答: 解:由题意知集合 A 中一定含有 0,1,2 三个元素, ∴问题转化为求{3,4,5}的子集, ∵并且是求非空真子集,

∴有 2 ﹣2=6 个, 故答案为:6 点评:本题考查集合的子集与真子集,注意条件中所要求的是要求的集合与{0,1,2}的真包 含的关系,不要出错,本题是一个基础题. 15. (2013?宛城区校级三模)如图,它满足①第 n 行首尾两数均为 n,②表中的递推关系类 似杨辉三角,则第 n 行(n≥2)第 2 个数是 .

3

考点:归纳推理. 专题:压轴题;探究型;等差数列与等比数列. 分析:依据“中间的数从第三行起, 每一个数等于它两肩上的数之和”则第二个数等于上一行第 一个数与第二个数的和,即有 an+1=an+n(n≥2) ,再由累加法求解即可. 解答: 解:依题意 an+1=an+n(n≥2) ,a2=2 所以 a3﹣a2=2,a4﹣a3=3,…,an﹣an﹣1=n 累加得 an﹣a2=2+3+…+(n﹣1)= ∴ 故答案为: 点评:本题考查学生的读图能力,通过三角数表构造了一系列数列,考查了数列的通项及求 和的方法,属于中档题. 三.解答题: 16. (2013 秋?清浦区校级期末)实数 m 取什么数值时, 复数 z=m ﹣1+ (m ﹣m﹣2)i 分别是: (1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数. 考点:复数的基本概念. 专题:计算题. 分析: (1)根据复数的基本概念,当复数是一个实数时,需要使得虚部等于 0,得到关于 m 的方程,得到结果. (2)根据复数的基本概念,当复数是一个虚数时,需要使得虚部不等于 0,得到关于 m 的方 程,得到结果. (3)根据复数的基本概念,当复数是一个纯虚数时,需要使得虚部不等于 0,实部等于 0,得 到关于 m 的方程,得到结果. 2 2 解答: 解: (1)∵复数 z=m ﹣1+(m ﹣m﹣2)i 是实数, 2 ∴m ﹣m﹣2=0, ∴m=﹣1.m=2 2 2 (2)复数 z=m ﹣1+(m ﹣m﹣2)i 是虚数, 2 ∴m ﹣m﹣2≠0 ∴m≠﹣1.m≠2 2 2 (3)复数 z=m ﹣1+(m +3m+2)i 是纯虚数
2 2

∴m ﹣m﹣2≠0 且 m ﹣1=0 ∴m=1. 点评:本题考查复数的基本概念,本题解题的关键是对于一个复数是一个实数,虚数,纯虚 数的充要条件的理解,本题考查的比较全面,是一个基础题. 17. (2015 春?泰安校级月考)证明下列不等式 3 3 2 2 (1)已知 a>0,b>0,判断 a +b 与 a b+ab 的大小,并证明你的结论. (2)已知 x∈R,a=x + ,b=2﹣x,c=x ﹣x+1,证明 a,b,c 至少有一个不小于 1. 考点:不等式的证明. 专题:证明题;推理和证明. 3 3 2 2 2 2 2 2 分析: (1)证明使 a +b >a b+ab 成立的充分条件成立,即要证 a +b >a b+ab 成立,只 2 2 2 2 需证(a+b) (a ﹣ab+b )>ab(a+b)成立,只需证 a ﹣ab+b >ab 成立,而依题设 a≠b,则 2 (a﹣b) >0 显然成立,从而得到证明; (2)根据题意,首先假设命题错误,即假设 a,b,c 均小于 1,进而可得 a+b+c<3,再分析 a、b、c 三项的和,可得矛盾,即可证原命题成立. 2 2 2 2 解答: 证明: (1)要证 a +b >a b+ab 成立, 2 2 只需证(a+b) (a ﹣ab+b )>ab(a+b)成立 又因为 a>0, 2 2 只需证 a ﹣ab+b >ab 成立, 2 而依题设 a≠b,则(a﹣b) >0 显然成立, 由此命题得证. (2)证明:假设 a,b,c 均小于 1,即 a<1,b<1,c<1,则有 a+b+c<3 而 a+b+c=2x ﹣2x+ +3=2(x﹣ ) +3≥3, 两者矛盾; 故 a,b,c 至少有一个不小于 1 点评:本题考查不等式的证明,体会不同方法间的区别联系.注意用反证法时,需要首先否 定原命题,特别是带至少、最多词语一类的否定. 18. (2015 春?泰安校级月考)通过市场调查,得到某产品的资金投入 x(万元)与获得的利 润 y(万元)的数据,如下表所示: 资金投入 x 2 3 4 5 6 利润 y 2 3 5 6 9
2 2 2 2

2

2

参考公式:

(1)画出数据对应的散点图; (2)根据上表提供的数据,用最小二乘法求线性回归直线方程 =bx+a; (3)现投入资金 10(万元) ,求估计获得的利润为多少万元. 考点:线性回归方程;独立性检验. 专题:概率与统计.

分析: (1)利用点的坐标直接画出散点图即可. (2)求出样本中心坐标,求出回归方程的几何量,得到回归方程即可. (3)利用回归直线方程直接求出现投入资金 10(万元) ,估计获得的利润. 解答: 解: (1)作图(2 分) (2) , ,

=

=1.7



=﹣1.8,∴



(3)当 x=10(万元) ,y=17﹣1.8=15.2(万元)

点评:本题考查回归直线方程的求法,散点图的作法,考查计算能力. 2 2 19. (2012?开福区校级模拟)已知命题 p:?x∈,x ﹣a≥0;命题 q:?x0∈R,使得 x0 +(a﹣1) x0+1<0.若“p 或 q”为真,“p 且 q”为假,求实数 a 的取值范围. 考点:复合命题的真假. 专题:计算题. 分析:先求出命题 p,q 为真命题时,a 的范围,据复合函数的真假得到 p,q 中必有一个为真, 另一个为假,分两类求出 a 的范围. 解答: 解:p 真,则 a≤1 …(2 分) 2 q 真,则△ =(a﹣1) ﹣4>0 即 a>3 或 a<﹣1 …(4 分) ∵“p 或 q”为真,“p 且 q”为假, ∴p,q 中必有一个为真,另一个为假 …(6 分) 当 p 真 q 假时,有 当 p 假 q 真时,有 得 a>3 ∴实数 a 的取值范围为﹣1≤a≤1 或 a>3 … …(10 分) 得﹣1≤a≤1 …(8 分)

点评:本题考查复合函数的真假与构成其简单命题的真假的关系,解决此类问题应该先求出 简单命题为真时参数的范围,属于基础题. 20.设集合 ,B={x|x ﹣3mx+2m ﹣m﹣1<0}.
2 2

(1)当 x∈Z 时,求 A 的非空真子集的个数. (2)若 B=?,求 m 的取值范围. (3)若 A?B,求 m 的取值范围. 考点:子集与真子集;集合的包含关系判断及应用;空集的定义、性质及运算. 专题:计算题;压轴题. 分析: (1)由条件:“x∈Z”知集合 A 中的元素是整数,进而求它的子集的个数; (2)由条件:“B=?”知集合 B 中的没有任何元素是,得不等式的解集是空集,进而求 m; (3)由条件:“A?B”知集合 B 是 A 的子集,结合端点的不等关系列出不等式后解之即得. 解答: 解:化简集合 A={x|﹣2≤x≤5},集合 B 可写为 B={x|(x﹣m+1) (x﹣2m﹣1)<0} (1)∵x∈Z,∴A={﹣2,﹣1,0,1,2,3,4,5},即 A 中含有 8 个元素,∴A 的非空真子 8 集数为 2 ﹣2=254(个) . (2)显然只有当 m﹣1=2m+1 即 m=﹣2 时,B=?. (3)当 B=?即 m=﹣2 时,B=??A; 当 B≠?即 m≠﹣2 时, (ⅰ)当 m<﹣2 时,B=(2m+1,m﹣1) ,要 B?A,只要 以 m 的值不存在; (ⅱ)当 m>﹣2 时,B=(m﹣1,2m+1) ,要 B?A,只要 . ,所

点评:本题考查集合的子集、集合的包含关系判断及应用以及空集的性质及运算.是一道中 档题. 21.已知函数 f(x)=a +
x

(a>1)

(1)证明:函数 f(x)在(﹣1,+∞)上为增函数; (2)用反证法证明 f(x)=0 没有负数根. 考点:反证法与放缩法;函数单调性的判断与证明. 专题:证明题;函数的性质及应用. 分析: (1)由于函数 f(x)=a +1﹣
x

,而函数 y=a (a>1)和函数 y=﹣

x

在(﹣1,

+∞)上都为增函数,可得函数 f(x)在(﹣1,+∞)上为增函数. (2)假设 f(x)=0 有负数根为 x=x0<0,则有 当 x0∈(﹣∞,﹣1)两种情况,分别根据 综上可得假设不成立,命题得证. 解答: 解: (1)由于函数 f(x)=a + 而函数 y=a (a>1)和函数 y=﹣
x x

+1= 和

①.分当 x0∈(﹣1,0)时、 +1 的范围,可得①根本不可能成立,

(a>1)=a +1﹣

x



在(﹣1,+∞)上都为增函数,

故函数 f(x)在(﹣1,+∞)上为增函数. (2)假设 f(x)=0 有负数根为 x=x0,且 x0<0,则有 f(x0)=0,故有 由于函数 y=a +1 在 R 上式增函数,且 a +1=2,∴ 由于函数 y=
x 0

+1=

①.

+1<2. =3,∴ >3,

在(﹣1,+∞)上是减函数,当 x0∈(﹣1,0)时,

∴①根本不可能成立,故①矛盾. 由于由于函数 y= 而, 在(﹣∞,﹣1)上是减函数,当 x0∈(﹣∞,﹣1)时, <0,

+1>1,∴①根本不可能成立,故①矛盾.

综上可得,①根本不可能成立,故假设不成立,故 f(x)=0 没有负数根. 点评:本题主要考查函数的单调性的判断和证明,用反证法证明不等式,属于中档题.


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