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2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第8章 第5节 椭圆


课时作业 一、选择题 x2 y2 1.(2014· 浙江绍兴一模)椭圆25+ 9 =1 上一点 M 到焦点 F1 的距离为 2,N 是 MF1 的中点, 则|ON|等于 ( ) A.2 C.8 B 3 D.2 B.4

[连接 MF2,已知|MF1|=2,又|MF1|+|MF2|=10,

∴|MF2|=10-|MF1|=8. 1 如图,|

ON|=2|MF2|=4.故选 B.] 3 2.已知椭圆的长轴长是 8,离心率是4,则此椭圆的标准方程是 ( ) x2 y2 x2 y2 x2 y2 A.16+ 7 =1 B.16+ 7 =1 或 7 +16=1 x2 y2 x2 y2 x2 y2 C.16+25=1 D.16+25=1 或25+16=1 B 3 [∵a=4,e=4,∴c=3.

∴b2=a2-c2=16-9=7. x2 y2 x2 y2 ∴椭圆的标准方程是16+ 7 =1 或 7 +16=1.] x2 y2 3.(2014· 广东韶关 4 月调研)F1,F2 分别是椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点,与直线 y =b 相切的⊙F2 交椭圆于点 E,E 恰好是直线 EF1 与⊙F2 的切点,则椭圆的离心率为 ( )

3 A. 2 5 C. 3

3 B. 3 5 D. 4

C [依题意,△EF1F2 为直角三角形,∠F1EF2=90°, |F1F2|=2c,|EF2|=b,由椭圆的定义知|EF1|=2a-b, 又|EF1|2+|EF2|2=|F1F2|2, 2 即(2a-b)2+b2=(2c)2,整理得 b=3a, c2 a2-b2 5 5 所以,e2=a2= a2 =9,故 e= 3 .选 C.] x2 4.(2014· 沈阳二中月考)已知椭圆 4 +y2=1 的两焦点为 F1,F2,点 M 在椭圆上,MF1― →,· MF2―→,=0,则 M 到 y 轴的距离为 ( ) 2 3 A. 3 3 C. 3 2 6 B. 3 D. 3

B [由条件知,点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆上, 该圆的方程是 x2+y2=3,即 y2=3-x2, x2 8 代入椭圆方程得 4 +3-x2=1,解得 x2=3, 2 6 2 6 则|x|= 3 ,即点 M 到 y 轴的距离为 3 .] x2 y2 1 5.(2014· 温州模拟)设椭圆a2+b2=1(a>b>0)的离心率 e=2,右焦点为 F(c,0),方程 ax2 +bx-c=0 的两个实根分别为 x1 和 x2,则点 P(x1,x2) ( ) A.必在圆 x2+y2=2 内 B.必在圆 x2+y2=2 上 C.必在圆 x2+y2=2 外 D.以上三种情形都有可能 A c 1 a [由已知得 e=a=2,则 c=2.

b c 又 x1+x2=-a,x1x2=-a, b2 2c b2+2ca b2+a2 2a2 所以 x2 1+x2 2=(x1+x2)2-2x1x2=a2+ a = a2 = a2 < a2 =2, 因此点 P(x1,x2)必在圆 x2+y2=2 内.] 二、填空题 3 6.已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 2 ,且椭圆上一点到椭圆的两 个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为________________. x2 y2 c 3 解析 设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0),根据椭圆定义知 2a=12,即 a=6,由a= 2 ,得 x2 y2 c=3 3,b2=a2-c2=36-27=9,故所求椭圆方程为36+ 9 =1.

x2 y2 答案 36+ 9 =1 7.(2014· 乌鲁木齐第一次诊断)如图,椭圆的中心在坐标原点 O,顶点分别是 A1,A2,B1, B2,焦点分别为 F1,F2,延长 B1F2 与 A2B2 交于 P 点,若∠B1PA2 为钝角,则此椭圆的离 心率的取值范围为________.

x2 y2 解析 设椭圆的方程为a2+b2=1(a>b>0), → → ∠B1PA2 为钝角可转化为B2A2,F2B1所夹的角为钝角,则(a,-b)· (-c,-b)<0,得 b2< 2 5-1 - 5-1 ? c? c ac,即 a2-c2<ac,故 a +a-1>0,即 e2+e-1>0,e> 2 或 e< ,又 0< 2 ? ? e<1,∴ 答案 ? 5-1 2 <e<1.

? 5-1 ? ,1? ? 2 ?

三、解答题 x2 y2 6 8.已知椭圆 G:a2+b2=1(a>b>0)的离心率为 3 ,右焦点为(2 2,0).斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A,B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (1)求椭圆 G 的方程; (2)求△PAB 的面积. c 6 解析 (1)由已知得 c=2 2,a= 3 .解得 a=2 3, 又 b2=a2-c2=4. x2 y2 所以椭圆 G 的方程为12+ 4 =1. (2)设直线 l 的方程为 y=x+m. ?y=x+m,

由? x2 y2 得 4x2+6mx+3m2-12=0.① + = 1 ? ?12 4 设 A、B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2), AB 中点为 E(x0,y0), x1+x2 3m m 则 x0= 2 =- 4 ,y0=x0+m= 4 . 因为 AB 是等腰△PAB 的底边,所以 PE⊥AB. m 2- 4

?

所以 PE 的斜率 k= 3m=-1.解得 m=2. -3+ 4 此时方程①为 4x2+12x=0.解得 x1=-3,x2=0.

所以 y1=-1,y2=2.所以|AB|=3 2. 此时,点 P(-3,2)到直线 AB:x-y+2=0 的距离 d= 1 9 所以△PAB 的面积 S=2|AB|·d=2. y2 x2 9.(2013· 烟台一模)设 A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)上两点,已知 m 3 ?x1 y1? ?x2 y2? = b , a ,n= b , a ,若 m· n=0 且椭圆的离心率 e= 2 ,短轴长为 2,O 为坐标原点. ? ? ? ? (1)求椭圆的方程; (2)△AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由. a2-b2 c 3 解析 (1)∵2b=2,∴b=1,∴e=a= =2. a y2 ∴a=2,c= 3.∴椭圆的方程为 4 +x2=1. (2)①当直线 AB 的斜率不存在,即 x1=x2 时, y2 1 y1=-y2,由 m· n=0 得 x2 1- 4 =0,∴y2 1=4x2 1. 又 A(x1,y1)在椭圆上, 4x2 1 ∴x2 1+ 4 =1, 2 1 1 ∴|x1|= 2 ,|y1|= 2,△AOB 的面积 S=2|x1||y1-y2|=2|x1|·2|y1|=1. y2 ②当直线 AB 的斜率存在时,设 AB 的方程为 y=kx+b(其中 b≠0),代入 4 +x2=1,得 (k2+4)x2+2kbx+b2-4=0. Δ =(2kb)2-4(k2+4)(b2-4)=16(k2-b2+4), -2kb b2-4 x1+x2= ,x1x2= , k2+4 k2+4 y1y2 由已知 m· n=0 得 x1x2+ 4 =0, (kx1+b)(kx2+b) ∴x1x2+ =0,代入整理得 2b2-k2=4,代入 Δ 中,满足题意, 4 |b| 4k2-4b2+16 1 |b| 1 ∴△AOB 的面积 S=2· |AB|=2|b|· (x1+x2)2-4x1x2= = k2+4 1+k2 4b2 2|b| =1. ∴△AOB 的面积为定值 1 |-3-2+2| 3 2 = 2 , 2


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